求XYZ欧拉角转ZYX欧拉角的所有解

首先，我们需要了解什么是XYZ欧拉角和ZYX欧拉角。

XYZ欧拉角指的是绕着X轴、Y轴和Z轴分别旋转一定角度所得到的欧拉角，通常表示为$(\alpha,\beta,\gamma)$，其中$\alpha$表示绕X轴旋转的角度，$\beta$表示绕Y轴旋转的角度，$\gamma$表示绕Z轴旋转的角度。

ZYX欧拉角指的是绕着Z轴、Y轴和X轴分别旋转一定角度所得到的欧拉角，通常表示为$(\gamma,\beta,\alpha)$，其中$\gamma$表示绕Z轴旋转的角度，$\beta$表示绕Y轴旋转的角度，$\alpha$表示绕X轴旋转的角度。

现在我们来推导从XYZ欧拉角转换到ZYX欧拉角的公式：

设旋转矩阵$R=R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma)$表示绕X轴、Y轴和Z轴旋转的矩阵，旋转顺序为先绕X轴旋转$\alpha$度，再绕Y轴旋转$\beta$度，最后绕Z轴旋转$\gamma$度。

我们可以将$R$表示成三个旋转矩阵的乘积：

$$R=R_{x}(\alpha)R_{y}(\beta)R_{z}(\gamma)$$

其中$R_x(\alpha)$表示绕X轴旋转$\alpha$度的矩阵，$R_y(\beta)$表示绕Y轴旋转$\beta$度的矩阵，$R_z(\gamma)$表示绕Z轴旋转$\gamma$度的矩阵。

我们知道，旋转矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即$R^{-1}=R^T$。因此，可以将上式两边同时取逆矩阵，得到：

$$R^{-1}=(R_{x}(\alpha)R_{y}(\beta)R_{z}(\gamma))^{-1}=R_{z}^{-1}(\gamma)R_{y}^{-1}(\beta)R_{x}^{-1}(\alpha)$$

由于$R_{x}(\alpha)$、$R_{y}(\beta)$和$R_{z}(\gamma)$都是绕坐标轴旋转的矩阵，因此它们的逆矩阵可以表示成绕相反坐标轴旋转的矩阵，即$R_x^{-1}(\alpha)=R_x(-\alpha)$，$R_y^{-1}(\beta)=R_y(-\beta)$，$R_z^{-1}(\gamma)=R_z(-\gamma)$。代入上式，得到：

$$R^{-1}=R_{z}(-\gamma)R_{y}(-\beta)R_{x}(-\alpha)$$

我们知道，欧拉角与旋转矩阵之间的关系为：

$$R=R_{z}(\gamma)R_{y}(\beta)R_{x}(\alpha)$$

$$\begin{bmatrix}
\cos\beta\cos\gamma & \cos\gamma\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\sin\gamma & \cos\alpha\cos\gamma\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma \\
\cos\beta\sin\gamma & \cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma & -\cos\gamma\sin\alpha+\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma \\
-\sin\beta & \cos\beta\sin\alpha & \cos\alpha\cos\beta
\end{bmatrix}$$

因此，我们可以将$R^{-1}$表示为：

$$R^{-1}=\begin{bmatrix}
\cos\beta\cos\gamma & \cos\beta\sin\gamma & -\sin\beta \\
-\cos\alpha\sin\gamma+\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma & \cos\beta\sin\alpha \\
\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta & -\cos\gamma\sin\alpha+\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma & \cos\alpha\cos\beta
\end{bmatrix}$$

因此，从XYZ欧拉角$(\alpha,\beta,\gamma)$转换到ZYX欧拉角$(\gamma',\beta',\alpha')$的公式为：

$$\begin{cases}
\gamma'=\arctan\left(\frac{\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta}{\cos\beta\sin\gamma}\right) \\
\beta'=\arcsin\left(-\cos\gamma\sin\alpha+\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right) \\
\alpha'=\arctan\left(\frac{\cos\alpha\sin\gamma+\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}\right)
\end{cases}$$

这就是从XYZ欧拉角转换到ZYX欧拉角的所有解。