c语言高斯消元法求矩阵的秩

高斯消元法可以通过矩阵初等行变换将系数矩阵转化为一个上三角矩阵，从而求出矩阵的秩。具体做法如下：

1. 将矩阵的行列式保存在变量 det 中，并初始化为1。
2. 遍历矩阵的每一列 i，从第i行开始向下遍历每一行 j，找到第一个元素不为零的行 k。
3. 如果 k 不等于 j，则交换第 j 行和第 k 行，det 值变为其相反数。
4. 通过矩阵初等行变换将第 j+1 行到最后一行中第 i 个元素以下的元素消为零，同时更新 det 值。
5. 如果遍历完所有列，或者已经得到一个全零行，则停止遍历。
6. 矩阵的秩即为非零行的个数。

下面是具体的 C 语言实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define ROWS 3
#define COLS 4

int rank(float mat[ROWS][COLS], float eps) {
    int r = 0;   // 矩阵的秩
    float det = 1;  // 矩阵的行列式

    // 遍历每一列
    for (int i = 0; i < COLS-1; i++) {
        int pivot = -1; // 主元所在行的下标
        float max_val = 0; // 绝对值最大的元素的值

        // 从第 i 行向下遍历每一行
        for (int j = r; j < ROWS; j++) {
            // 找到第一个不为零的元素
            if (fabs(mat[j][i]) > max_val) {
                pivot = j;
                max_val = fabs(mat[j][i]);
            }
        }

        // 如果找到主元
        if (pivot != -1) {
            // 如果主元不在第 r 行，则交换两行
            if (pivot != r) {
                for (int k = i; k < COLS; k++) {
                    float temp = mat[r][k];
                    mat[r][k] = mat[pivot][k];
                    mat[pivot][k] = temp;
                }
                det = -det; // 行交换会改变行列式的符号
            }

            // 化主元以下的元素为零
            for (int j = r+1; j < ROWS; j++) {
                float factor = mat[j][i] / mat[r][i];
                for (int k = i; k < COLS; k++) {
                    mat[j][k] -= factor * mat[r][k];
                }
            }
            det *= mat[r][i]; // 累乘主元的值
            r++; // 非零行的个数加1
        }

        // 如果已经得到一个全零行，则停止遍历
        if (pivot == -1) {
            break;
        }
    }

    return r;
}

int main() {
    float mat[ROWS][COLS] = {
        { 1, 2, 3, 4 },
        { 2, 4, 6, 8 },
        { 3, 6, 9, 12 }
    };
    float eps = 1e-6; // 精度

    int r = rank(mat, eps);

    printf("Rank = %d\n", r);

    return 0;
}

上述代码中，我们使用了一个较小的值 eps 来表示零，即当一个数的绝对值小于 eps 时，我们认为它等于零。这是为了避免浮点数运算带来的误差。