求两个自然数,其和是667,最小公倍数与最大公约数之比为120:1;
时间: 2023-04-27 11:06:34 浏览: 126
设两个自然数分别为a和b,则有以下方程组:
a + b = 667
lcm(a, b) / gcd(a, b) = 120 / 1
根据最小公倍数和最大公约数的定义,可以将方程组转化为:
a * b / gcd(a, b) = 120 * gcd(a, b)
a + b = 667
由于120和667互质,所以gcd(a, b)必须是120的因数。设gcd(a, b) = k * 120,则有:
a * b / k = 120 * k * 120
a + b = 667
将第一个方程式中的a + b代入第二个方程式中,得到:
a * b / k = 120 * k * 120 - (a + b) * k * 120 + k^2 * 120^2
化简后得到:
a * b = 120^3 * k^2 - 120^2 * k * (a + b) + k * (a + b)^2
代入a + b = 667,得到:
a * b = 120^3 * k^2 - 120^2 * k * 667 + k * 667^2
因为a和b是自然数,所以它们的乘积a * b必须大于。因此,上式右边的值必须大于,即:
120^3 * k^2 - 120^2 * k * 667 + k * 667^2 >
解得:
k > 222.333
因为k必须是120的因数,所以k只能是240或360。代入原方程组,得到:
当k = 240时,a = 240, b = 427
当k = 360时,a = 360, b = 307
因此,满足条件的两个自然数为240和427,或者360和307。