现有1500个二维空间的数据点,请完成如下工作: (1).编写一个程序不调用sklearn.manifold ,实现ISOMAP降维度。 (2).编写一个程序不调用locally_linear_embedding,实现LLE降维。
时间: 2024-02-27 22:53:38 浏览: 28
好的,我会分别解释 ISOMAP 和 LLE 的算法,并给出 Python 代码实现。
ISOMAP 算法解释:
ISOMAP 算法是一种非线性降维算法,其主要思想是在数据流形上计算最短路径,然后基于这些距离计算低维空间中的坐标。ISOMAP 在处理具有局部非线性结构的数据时表现优异。ISOMAP 分两步:(1)构建最近邻图,(2)将最近邻图转换为低维空间。
ISOMAP 算法步骤:
1. 对于每个数据点,计算其 k(k 一般取 10-100)个最近邻点,构建最近邻图。
2. 对于每个点,计算其到其他所有点的最短路径(例如:Dijkstra 算法),得到距离矩阵。如果两个点不连通,则它们之间的距离为无穷大。
3. 利用距离矩阵计算低维空间中的坐标。这个过程可以使用多维缩放(MDS)算法或谱嵌入(Spectral Embedding)实现。
ISOMAP 的 Python 代码实现:
```
import numpy as np
from scipy.spatial.distance import cdist
from sklearn.neighbors import NearestNeighbors
from scipy.sparse import csgraph
def isomap(X, n_components, k):
# 计算最近邻图
knn = NearestNeighbors(n_neighbors=k+1).fit(X)
dist, idx = knn.kneighbors(X)
dist = dist[:, 1:]
idx = idx[:, 1:]
# 构建距离矩阵
graph = np.zeros((X.shape[0], X.shape[0]))
for i in range(X.shape[0]):
for j in range(k):
graph[i, idx[i, j]] = dist[i, j]
dist_matrix = csgraph.shortest_path(graph, directed=False)
# 多维缩放
G = -0.5 * (dist_matrix ** 2 - np.sum(dist_matrix ** 2, axis=0)[:, np.newaxis] / X.shape[0]
- np.sum(dist_matrix ** 2, axis=1)[:, np.newaxis] / X.shape[0] + np.sum(dist_matrix ** 2) / (X.shape[0] ** 2))
eig_val, eig_vec = np.linalg.eigh(G)
idx = eig_val.argsort()[::-1][:n_components]
return eig_vec[:, idx] * np.sqrt(eig_val[idx])
```
LLE 算法解释:
LLE 算法是一种局部线性降维算法,其主要思想是将每个点表示为其 k(k 一般取 10-100)个最近邻点的线性组合,然后基于这些线性组合计算低维空间中的坐标。LLE 在处理具有局部线性结构的数据时表现优异。LLE 分两步:(1)求解局部权重,(2)基于局部权重计算低维坐标。
LLE 算法步骤:
1. 对于每个数据点,计算其 k 个最近邻点,构建最近邻图。
2. 对于每个点,计算其与最近邻点之间的权重,使得这些点之间的距离最小。
3. 基于权重计算低维空间中的坐标。这个过程可以使用多维缩放(MDS)算法或线性回归实现。
LLE 的 Python 代码实现:
```
import numpy as np
from scipy.spatial.distance import cdist
from scipy.sparse import eye, csr_matrix
def lle(X, n_components, k):
# 计算最近邻图
knn = NearestNeighbors(n_neighbors=k+1).fit(X)
dist, idx = knn.kneighbors(X)
dist = dist[:, 1:]
idx = idx[:, 1:]
# 求解局部权重
W = np.zeros((X.shape[0], k))
for i in range(X.shape[0]):
Z = X[idx[i], :] - X[i, :]
C = Z.dot(Z.T)
C += 1e-3 * np.trace(C) * np.eye(k)
W[i, :] = np.linalg.solve(C, np.ones((k,)))
# 基于权重计算低维坐标
M = eye(k) - np.ones((k, k)) / k
Z = np.zeros((X.shape[0], n_components))
for i in range(X.shape[0]):
W_local = csr_matrix((W[i], (np.zeros(k), idx[i])), shape=(1, X.shape[0])).toarray()
C = W_local.dot(M).dot(W_local.T)
C += 1e-3 * np.trace(C) * np.eye(k)
Z[i, :] = np.linalg.solve(C, W_local.dot(X)).flatten()
return Z
```
以上就是 ISOMAP 和 LLE 算法的 Python 代码实现,希望能对你有所帮助!
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