用推广的Newton差商求满足以下条件的多项式P(x),并估计误差项。 其中P(1)=2. P(2)=4 P(3)=8. P'(1)=5 P'(2)=-2 P''(1)=10
时间: 2023-06-24 11:05:28 浏览: 32
我们可以列出以下的差商表:
| x | f(x) | 1st Diff | 2nd Diff |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 | | |
| 2 | 4 | 2 | |
| 3 | 8 | 4 | 2 |
根据Newton插值公式,我们有:
$$P(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)$$
其中,$f[x_0,x_1]$ 和 $f[x_0,x_1,x_2]$ 分别为一阶和二阶差商。
代入已知条件,我们得到:
$$P(x) = 2 + 5(x-1) - \frac{1}{2}(x-1)(x-2)$$
误差项可以使用Lagrange余项公式来估计。在这种情况下,我们可以使用三次导数的最大值来估计误差的上限。因此,我们需要计算 $P'''(x)$:
$$P'''(x) = -1$$
由于 $|f'''(x)| \leq 1$,所以误差项的上限为:
$$|R_2(x)| \leq \frac{1}{3!} \max_{x\in[1,3]} |(x-1)(x-2)| = \frac{1}{6}$$
因此,我们可以得到以下估计值:
$$P(1.5) \approx 5.25,\quad |P(1.5)-6| \leq \frac{1}{6}$$
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4次Newton插值多项式余项matlab程序
以下是使用matlab编写的4次Newton插值多项式余项程序:
```matlab
% 4次Newton插值多项式余项程序
% 输入:f-函数表格,x-插值点,t-在x处的余项展开点
% 输出:R-在t处的余项值
function R = NewtonInterpolationRemainder(f, x, t)
n = length(x) - 1; % 插值节点数量
syms X;
% 构造差商表
for i = 1:n+1
F(i, 1) = f(x(i));
end
for j = 2:n+1
for i = j:n+1
F(i, j) = (F(i, j-1) - F(i-1, j-1)) / (x(i) - x(i-j+1));
end
end
% 计算余项
P = F(1, 1); % 初始化插值多项式
for i = 2:n+1
P = P + F(i, i) * prod(X - x(1:i-1));
end
% 计算余项
R = subs(P, X, t);
```
该程序需要输入函数表格f、插值点x和余项展开点t,输出在t处的余项值R。其中,函数表格f可以是一个函数句柄或者一个数组,插值点x和余项展开点t都是一个数组。
以下是一个示例:
```matlab
% 示例:计算函数f(x)=x^2在x=1,2,3,4,5处的4次Newton插值多项式余项
f = @(x) x.^2; % 定义函数句柄
x = [1, 2, 3, 4, 5]; % 插值节点
t = 3.5; % 余项展开点
R = NewtonInterpolationRemainder(f, x, t); % 计算余项值
disp(R); % 输出余项值
```
运行该程序可以得到余项值R的输出结果。
newton插值法matlab程序求4次插值多项式
以下是使用Newton插值法求解4次插值多项式的MATLAB程序:
```matlab
% 确定插值节点和函数值
x = [1, 2, 3, 4];
y = [0, 1, 0, 1];
% 计算差商表
n = length(x);
F = zeros(n, n);
F(:,1) = y';
for j = 2:n
for i = j:n
F(i,j) = (F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));
end
end
% 计算插值多项式
syms t;
p = y(1);
for i = 2:n
term = F(i,i);
for j = 1:i-1
term = term * (t - x(j));
end
p = p + term;
end
% 绘制插值多项式和原始函数曲线
xx = linspace(0,5,100);
yy = subs(p, t, xx);
plot(xx, yy, 'r-', x, y, 'bo');
legend('插值多项式', '原始函数');
```
在上述代码中,我们首先定义了插值节点和相应的函数值,然后计算出差商表,最后利用插值多项式的定义计算出4次插值多项式并绘制出来。