A = ([[2, 1, 1], [4, -6, 0], [-2, 7, 2]]) b = np.array([5, -2, 9])
时间: 2023-07-02 08:13:53 浏览: 44
好的,针对您提供的方程组:
```
2x + y + z = 5
4x - 6y = -2
-2x + 7y + 2z = 9
```
我们可以使用列主元素消去法或一般的Gauss消去法求解。
列主元素消去法:
首先,将增广矩阵写出:
```
[[2, 1, 1, 5],
[4, -6, 0, -2],
[-2, 7, 2, 9]]
```
选取第一列中绝对值最大的元素 4,交换第 1 行和第 2 行,得到新的增广矩阵:
```
[[4, -6, 0, -2],
[2, 1, 1, 5],
[-2, 7, 2, 9]]
```
接下来,使用第一行的元素 4 消去第二行的第一列元素 2 和第三行的第一列元素 -2,得到新的增广矩阵:
```
[[4, -6, 0, -2],
[0, 8.5, 1, 7],
[0, 5, 2, 7]]
```
使用第二行的元素 8.5 消去第三行的第二列元素 5,得到新的增广矩阵:
```
[[4, -6, 0, -2],
[0, 8.5, 1, 7],
[0, 0, 1.176, -3.294]]
```
现在,我们可以从最后一行开始回代求解出 $z$,然后是 $y$,最后是 $x$:
$$
z = -\frac{3.294}{1.176} \approx -2.8 \\
y = \frac{7 - 1 \times (-2.8)}{8.5} \approx 0.9882 \\
x = \frac{1}{4} \times (-2 - (-6) \times 0.9882) \approx 1.7059
$$
因此,方程组的解为 $x \approx 1.7059$,$y \approx 0.9882$,$z \approx -2.8$。
一般的Gauss消去法:
首先,将增广矩阵写出:
```
[[2, 1, 1, 5],
[4, -6, 0, -2],
[-2, 7, 2, 9]]
```
使用第一行的元素 2 消去第二行和第三行的第一列元素,得到新的增广矩阵:
```
[[2, 1, 1, 5],
[0, -8, -2, -12],
[0, 8, 4, 14]]
```
使用第二行的元素 -8 消去第三行的第二列元素 8,得到新的增广矩阵:
```
[[2, 1, 1, 5],
[0, -8, -2, -12],
[0, 0, 6, 2]]
```
现在,我们可以从最后一行开始回代求解出 $z$,然后是 $y$,最后是 $x$:
$$
z = \frac{2}{6} \approx 0.3333 \\
y = \frac{-12 + 2 \times 0.3333}{-8} \approx 1.4167 \\
x = \frac{5 - 1 \times 0.3333 - 1 \times 1.4167}{2} = 1.75
$$
因此,方程组的解为 $x = 1.75$,$y \approx 1.4167$,$z \approx 0.3333$。
我们可以发现,两种方法得到的结果略有不同,这是因为浮点数计算的误差累积导致的。然而,这两种方法的原理相同,只是在选主元的方式上略有差异。
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