如果你被给予一个整数N,包含1到9的数字,你可以在这个整数的任意位置插入加号。可以在多个位置插入加号,或者一个也不插入,但是在一个位置上只能插入一个加号,不得连续插入多个加号。这样就能通过加法得到一个新的整数。请计算出按这种方法得到的所有整数的总和。
时间: 2024-05-25 11:17:43 浏览: 11
这是一个比较简单的数学问题。首先考虑只有一个加号的情况,那么总和就是每个数字都可以作为加号插入的位置,即有8种情况,每种情况的和是原数字乘以10再加上插入的数字,例如对于数字123,插入加号后得到的8个数字分别是:
1+23=24
12+3=15
1+2+3=6
1+32=33
13+2=15
123=123
2+31=33
23+1=24
它们的总和是306。
现在考虑有两个加号的情况。假设第一个加号插在位置i上,第二个加号插在位置j上(i<j),那么得到的数字是:原数字乘以100加上第一个加号插入的数字乘以10再加上第二个加号插入的数字。例如对于数字123,插入两个加号后得到的数字有:
1+2+3=6
1+23=24
12+3=15
1+2+3=6
1+32=33
13+2=15
123=123
2+31=33
23+1=24
这样得到的数字有36个,它们的总和是30600。
接下来考虑有三个加号的情况。同样假设第一个加号插在位置i上,第二个加号插在位置j上,第三个加号插在位置k上(i<j<k),那么得到的数字是:原数字乘以1000加上第一个加号插入的数字乘以100加上第二个加号插入的数字乘以10再加上第三个加号插入的数字。以数字123为例,插入三个加号后得到的数字有:
1+2+3=6
1+23=24
12+3=15
1+2+3=6
1+32=33
13+2=15
123=123
2+31=33
23+1=24
这样得到的数字有84个,它们的总和是3060000。
依此类推,可以发现,有n个加号时,得到的数字总数是9的n-1次方乘以n,总和是原数字乘以10的n次方再乘以n个1的和。因此,对于任意一个N,得到的所有整数的总和可以用以下公式计算:
sum = N * (1 + 10 + 10^2 + ... + 10^(n-1)) * (1 + 1 + ... + 1) + N * 10^n * (1 + 1 + ... + 1) * (9^(n-1))
其中n是N的位数。公式中第一个括号表示插入1个加号的情况,第二个括号表示插入2个加号的情况,以此类推。第二个括号中的1表示每种情况的和都是N乘以一些数字,因此这些数字的和是n个1的和。第三个括号中的9表示每个数字都有9种可能性可以插入,在n个位置上分别计算,共有9的n-1次方种情况。
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