【卡尔曼滤波揭秘】：原理、应用与Matlab实战案例

# 1. 卡尔曼滤波概述

卡尔曼滤波是一种递归算法，用于估计动态系统的状态。它由匈牙利裔美国工程师鲁道夫·卡尔曼于 1960 年提出，广泛应用于导航、目标跟踪、状态估计和预测分析等领域。

卡尔曼滤波的核心思想是利用测量数据和系统模型，不断更新状态估计。它通过两个步骤实现：预测和更新。在预测步骤中，根据先前的状态估计和系统模型预测当前状态。在更新步骤中，使用测量数据修正预测状态，得到更准确的状态估计。

# 2. 卡尔曼滤波原理

### 2.1 状态空间模型

卡尔曼滤波的核心是状态空间模型，它将系统状态和观测值表示为两个线性方程：

x_k = A * x_{k-1} + B * u_k + w_k
y_k = C * x_k + D * u_k + v_k

其中：

- `x_k`：时刻 `k` 的系统状态向量
- `A`：状态转移矩阵
- `B`：控制输入矩阵
- `u_k`：时刻 `k` 的控制输入向量
- `w_k`：过程噪声，服从均值为 0、协方差为 `Q` 的高斯分布
- `y_k`：时刻 `k` 的观测值向量
- `C`：观测矩阵
- `D`：直接传输矩阵
- `v_k`：观测噪声，服从均值为 0、协方差为 `R` 的高斯分布

状态空间模型描述了系统随时间演化的过程，其中状态向量 `x_k` 是系统内部不可直接观测的变量，而观测值向量 `y_k` 是可以观测到的变量。

### 2.2 卡尔曼增益计算

卡尔曼增益是卡尔曼滤波器中用于更新状态估计的关键参数。它计算为：

K_k = P_k * C^T * (C * P_k * C^T + R)^{-1}

其中：

- `K_k`：时刻 `k` 的卡尔曼增益矩阵
- `P_k`：时刻 `k` 的状态协方差矩阵
- `C`：观测矩阵
- `R`：观测噪声协方差矩阵

卡尔曼增益矩阵用于将观测值与状态估计相结合，以获得更准确的状态估计。

### 2.3 预测和更新步骤

卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。

**预测步骤**：

1. 根据状态转移矩阵 `A` 和控制输入 `u_k` 预测时刻 `k` 的状态：

   x_k^- = A * x_{k-1} + B * u_k

2. 根据状态转移矩阵 `A` 和过程噪声协方差矩阵 `Q` 预测时刻 `k` 的状态协方差：

   P_k^- = A * P_{k-1} * A^T + Q

**更新步骤**：

1. 计算卡尔曼增益矩阵 `K_k`：

   K_k = P_k^- * C^T * (C * P_k^- * C^T + R)^{-1}

2. 根据卡尔曼增益矩阵 `K_k` 和观测值 `y_k` 更新状态估计：

   x_k = x_k^- + K_k * (y_k - C * x_k^-)

3. 根据卡尔曼增益矩阵 `K_k` 和状态协方差矩阵 `P_k^-` 更新状态协方差：

   P_k = (I - K_k * C) * P_k^-

预测和更新步骤交替进行，不断更新系统状态估计和状态协方差，以实现对系统状态的实时估计。

# 3.1 目标跟踪

卡尔曼滤波在目标跟踪领域有着广泛的应用，它能够有效地估计目标的位置和速度等状态信息。目标跟踪的目的是根据传感器测量数据，实时估计目标的状态。

#### 3.1.1 问题描述

目标跟踪问题可以描述为：给定一系列传感器测量数据，估计目标在每个时间步长 t 的状态 x_t，其中 x_t 通常包括目标的位置和速度。传感器测量数据通常受到噪声影响，因此需要使用卡尔曼滤波来处理噪声并估计目标的真实状态。

#### 3.1.2 卡尔曼滤波建模

对于目标跟踪问题，状态空间模型可以表示为：

x_t = A * x_{t-1} + B * u_t + w_t
y_t = C * x_t + v_t

其中：

- x_t 是目标在时间步长 t 的状态向量
- A 是状态转移矩阵
- B 是控制输入矩阵
- u_t 是控制输入向量
- w_t 是过程噪声，服从均值为 0，协方差为 Q 的正态分布
- y_t 是传感器测量数据
- C 是观测矩阵
- v_t 是测量噪声，服从均值为 0，协方差为 R 的正态分布

#### 3.1.3 代码实现

import numpy as np
from scipy.linalg import inv

# 定义状态转移矩阵 A
A = np.array([[1, 1],
              [0, 1]])

# 定义控制输入矩阵 B
B = np.array([[0],
              [1]])

# 定义观测矩阵 C
C = np.array([[1, 0]])

# 定义过程噪声协方差矩阵 Q
Q = np.array([[0.001, 0],
              [0, 0.001]])

# 定义测量噪声协方差矩阵 R
R = 0.01

# 初始化状态估计值和协方差矩阵
x_hat = np.array([[0],
                  [0]])
P = np.array([[1, 0],
              [0, 1]])

# 循环处理传感器测量数据
for measurement in measurements:
    # 预测步骤
    x_hat = A @ x_hat + B @ u_t
    P = A @ P @ A.T + Q

    # 更新步骤
    K = P @ C.T @ inv(C @ P @ C.T + R)
    x_hat = x_hat + K @ (measurement - C @ x_hat)
    P = (np.eye(2) - K @ C) @ P

# 4. Matlab实战案例

### 4.1 目标跟踪案例

#### 4.1.1 问题描述

目标跟踪是一个经典的卡尔曼滤波应用场景。给定目标在初始时刻的位置和速度，以及随时间变化的观测数据，目标是估计目标在每个时间步长下的位置和速度。

#### 4.1.2 卡尔曼滤波建模

**状态空间模型**

目标跟踪的状态空间模型如下：

x(k+1) = F * x(k) + G * u(k) + w(k)
y(k) = H * x(k) + v(k)

其中：

* x(k) 是状态向量，包含位置和速度
* u(k) 是控制输入（通常为零）
* w(k) 是过程噪声
* y(k) 是观测向量，包含目标的位置
* v(k) 是观测噪声

**卡尔曼增益计算**

卡尔曼增益计算公式如下：

K(k) = P(k) * H' * inv(H * P(k) * H' + R)

其中：

* K(k) 是卡尔曼增益
* P(k) 是状态协方差矩阵
* H 是观测矩阵
* R 是观测噪声协方差矩阵

#### 4.1.3 代码实现

% 定义状态空间模型
F = [1, 1; 0, 1];
G = [0; 1];
H = [1, 0];
Q = diag([0.1, 0.1]); % 过程噪声协方差矩阵
R = 1; % 观测噪声协方差

% 初始化状态和协方差
x0 = [0; 0];
P0 = diag([1, 1]);

% 生成观测数据
T = 100;
y = zeros(T, 1);
for k = 1:T
    x0 = F * x0 + G * 0 + sqrt(Q) * randn(2, 1);
    y(k) = H * x0 + sqrt(R) * randn;
end

% 卡尔曼滤波
x_est = zeros(T, 2);
P_est = zeros(T, 2, 2);
for k = 1:T
    % 预测
    x_est(k, :) = F * x_est(k-1, :) + G * 0;
    P_est(k, :, :) = F * P_est(k-1, :, :) * F' + Q;
    % 更新
    K = P_est(k, :, :) * H' * inv(H * P_est(k, :, :) * H' + R);
    x_est(k, :) = x_est(k, :) + K * (y(k) - H * x_est(k, :));
    P_est(k, :, :) = (eye(2) - K * H) * P_est(k, :, :);
end

% 绘制结果
figure;
plot(y, 'r');
hold on;
plot(x_est(:, 1), 'b');
plot(x_est(:, 2), 'g');
legend('观测数据', '位置估计', '速度估计');
xlabel('时间步长');
ylabel('位置/速度');
title('卡尔曼滤波目标跟踪');

### 4.2 状态估计案例

#### 4.2.1 问题描述

状态估计是另一个常见的卡尔曼滤波应用。给定一个动态系统，以及随时间变化的传感器数据，目标是估计系统的状态，即使该状态不可直接观测。

#### 4.2.2 卡尔曼滤波建模

**状态空间模型**

状态估计的状态空间模型如下：

x(k+1) = F * x(k) + w(k)
y(k) = H * x(k) + v(k)

其中：

* x(k) 是状态向量
* w(k) 是过程噪声
* y(k) 是观测向量
* v(k) 是观测噪声

**卡尔曼增益计算**

卡尔曼增益计算公式如下：

K(k) = P(k) * H' * inv(H * P(k) * H' + R)

其中：

* K(k) 是卡尔曼增益
* P(k) 是状态协方差矩阵
* H 是观测矩阵
* R 是观测噪声协方差矩阵

#### 4.2.3 代码实现

% 定义状态空间模型
F = [1, 1; 0, 1];
H = [1, 0];
Q = diag([0.1, 0.1]); % 过程噪声协方差矩阵
R = 1; % 观测噪声协方差

% 初始化状态和协方差
x0 = [0; 0];
P0 = diag([1, 1]);

% 生成观测数据
T = 100;
y = zeros(T, 1);
for k = 1:T
    x0 = F * x0 + sqrt(Q) * randn(2, 1);
    y(k) = H * x0 + sqrt(R) * randn;
end

% 卡尔曼滤波
x_est = zeros(T, 2);
P_est = zeros(T, 2, 2);
for k = 1:T
    % 预测
    x_est(k, :) = F * x_est(k-1, :) + G * 0;
    P_est(k, :, :) = F * P_est(k-1, :, :) * F' + Q;
    % 更新
    K = P_est(k, :, :) * H' * inv(H * P_est(k, :, :) * H' + R);
    x_est(k, :) = x_est(k, :) + K * (y(k) - H * x_est(k, :));
    P_est(k, :, :) = (eye(2) - K * H) * P_est(k, :, :);
end

% 绘制结果
figure;
plot(y, 'r');
hold on;
plot(x_est(:, 1), 'b');
plot(x_est(:, 2), 'g');
legend('观测数据', '位置估计', '速度估计');
xlabel('时间步长');
ylabel('位置/速度');
title('卡尔曼滤波状态估计');

# 5.1 扩展卡尔曼滤波

标准卡尔曼滤波假设状态空间模型是线性的，即状态转移方程和观测方程都是线性的。然而，在实际应用中，许多系统是非线性的。为了处理非线性系统，可以使用扩展卡尔曼滤波（EKF）。

EKF通过对非线性状态转移方程和观测方程进行一阶泰勒展开来线性化系统。具体来说，假设状态转移方程为：

x_k = f(x_{k-1}, u_k)

观测方程为：

y_k = h(x_k)

其中，x_k为状态向量，u_k为控制输入，y_k为观测值。

EKF在每个时间步长k处对状态转移方程和观测方程进行线性化，得到：

F_k = ∂f/∂x |_{x=x_{k-1}}
H_k = ∂h/∂x |_{x=x_k}

其中，F_k和H_k分别为状态转移矩阵和观测矩阵的雅可比矩阵。

然后，EKF按照标准卡尔曼滤波的步骤进行预测和更新：

预测：
x_k^- = f(x_{k-1}, u_k)
P_k^- = F_k P_{k-1} F_k^T + Q_k

更新：
K_k = P_k^- H_k^T (H_k P_k^- H_k^T + R_k)^-1
x_k = x_k^- + K_k (y_k - h(x_k^-))
P_k = (I - K_k H_k) P_k^-

其中，Q_k和R_k分别为过程噪声协方差矩阵和观测噪声协方差矩阵。

EKF比标准卡尔曼滤波更复杂，但它可以处理非线性系统。在非线性系统中，EKF的性能取决于线性化的准确性。如果非线性度较大，则EKF的性能可能会下降。