揭秘MATLAB随机数分布：掌握常见分布及其应用场景

# 1. MATLAB随机数分布概述

MATLAB随机数分布模块提供了生成和分析各种随机数分布的函数。这些分布广泛应用于统计建模、数据模拟和概率计算中。MATLAB提供了对离散和连续随机分布的全面支持，包括二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布。

随机数分布的概率质量函数或概率密度函数定义了分布中每个值的概率。MATLAB函数可用于计算这些概率，并生成符合特定分布的随机数。

# 2. 离散随机分布

离散随机分布描述的是离散型随机变量的概率分布，即随机变量只能取到有限个或可数个离散值。MATLAB 中提供了多种离散随机分布函数，用于生成离散型随机数和计算概率。

### 2.1 二项分布

#### 2.1.1 定义和概率质量函数

二项分布是一种离散随机分布，它描述了在 n 次独立试验中，成功事件发生 k 次的概率。其概率质量函数为：

P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)

其中：

* X 为随机变量，表示成功事件发生的次数
* n 为试验次数
* p 为每次试验中成功事件发生的概率
* (n choose k) 为组合数，表示从 n 个元素中选出 k 个元素的组合数

#### 2.1.2 应用场景

二项分布广泛应用于各种场景，例如：

* 掷硬币 n 次，正面朝上的次数
* 在 n 个产品中抽取 k 个不良品的概率
* 调查中，n 个人中支持某项政策的 k 个人

### 2.2 泊松分布

#### 2.2.1 定义和概率质量函数

泊松分布是一种离散随机分布，它描述了在给定的时间或空间间隔内发生事件的次数。其概率质量函数为：

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

其中：

* X 为随机变量，表示事件发生的次数
* λ 为事件发生的平均次数
* e 为自然对数的底数
* k! 为阶乘，表示 k 的阶乘

#### 2.2.2 应用场景

泊松分布广泛应用于各种场景，例如：

* 单位时间内到达的电话呼叫次数
* 单位面积内出现的缺陷数量
* 单位时间内发生的交通事故次数

### 2.3 超几何分布

#### 2.3.1 定义和概率质量函数

超几何分布是一种离散随机分布，它描述了从包含 M 个元素的总体中，无放回地抽取 n 个元素时，成功事件发生 k 次的概率。其概率质量函数为：

P(X = k) = (C(K, k) * C(M-K, n-k)) / C(M, n)

其中：

* X 为随机变量，表示成功事件发生的次数
* M 为总体元素个数
* K 为总体中成功事件的个数
* n 为抽取的元素个数
* C(a, b) 为组合数，表示从 a 个元素中选出 b 个元素的组合数

#### 2.3.2 应用场景

超几何分布广泛应用于各种场景，例如：

* 从一批产品中抽取 n 个产品，不良品数量为 k 的概率
* 从一组候选人中选出 n 个候选人，其中 K 个候选人具有特定资格的概率
* 从一组数据中抽取 n 个数据，其中 k 个数据满足特定条件的概率

# 3. 连续随机分布

### 3.1 正态分布

#### 3.1.1 定义和概率密度函数

正态分布，也称为高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数为：

f(x) = (1 / (σ√(2π))) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))

其中：

* μ 是正态分布的均值
* σ 是正态分布的标准差
* π ≈ 3.141592653589793

#### 3.1.2 应用场景

正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如：

* 人口身高和体重分布
* 测量误差分布
* 股票市场价格波动

### 3.2 均匀分布

#### 3.2.1 定义和概率密度函数

均匀分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为：

f(x) = 1 / (b - a)

其中：

* a 和 b 是均匀分布的最小值和最大值

#### 3.2.2 应用场景

均匀分布用于描述随机变量在给定区间内均匀分布的情况，例如：

* 掷骰子的点数分布
* 随机生成一个数落在 [0, 1] 之间

### 3.3 指数分布

#### 3.3.1 定义和概率密度函数

指数分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为：

f(x) = λ * exp(-λ * x)

其中：

* λ 是指数分布的速率参数

#### 3.3.2 应用场景

指数分布用于描述事件发生的间隔时间分布，例如：

* 放射性衰变
* 故障发生时间

# 4. MATLAB随机数分布应用

### 4.1 数据模拟

MATLAB随机数分布函数不仅可以用于概率计算，还可以用于数据模拟。数据模拟是指根据给定的随机分布生成一组随机数，从而模拟真实世界的随机现象。

#### 4.1.1 离散随机分布的数据模拟

离散随机分布的数据模拟可以使用`discrnd`函数。该函数的语法如下：

X = discrnd(P, N)

其中：

* `P`是概率质量函数的向量。
* `N`是要生成的随机数的个数。

例如，模拟一个二项分布，其参数为`n=10`和`p=0.5`：

n = 10;
p = 0.5;
X = discrnd([1-p, p], n);

#### 4.1.2 连续随机分布的数据模拟

连续随机分布的数据模拟可以使用`random`函数。该函数的语法如下：

X = random(Distribution, N)

其中：

* `Distribution`是随机分布的名称，例如`'normal'`、`'uniform'`或`'exponential'`。
* `N`是要生成的随机数的个数。

例如，模拟一个正态分布，其参数为`μ=0`和`σ=1`：

mu = 0;
sigma = 1;
X = random('normal', mu, sigma, 1000);

### 4.2 概率计算

MATLAB随机数分布函数还可以用于计算概率。概率计算是指根据给定的随机分布，计算某个事件发生的概率。

#### 4.2.1 离散随机分布的概率计算

离散随机分布的概率计算可以使用`pmf`函数。该函数的语法如下：

p = pmf(Distribution, x)

其中：

* `Distribution`是随机分布的名称，例如`'binomial'`、`'poisson'`或`'hypergeometric'`。
* `x`是要计算概率的随机变量值。

例如，计算一个二项分布的概率，其参数为`n=10`和`p=0.5`，事件`X=5`发生的概率：

n = 10;
p = 0.5;
x = 5;
p = pmf('binomial', x, n, p);

#### 4.2.2 连续随机分布的概率计算

连续随机分布的概率计算可以使用`pdf`函数。该函数的语法如下：

p = pdf(Distribution, x)

其中：

* `Distribution`是随机分布的名称，例如`'normal'`、`'uniform'`或`'exponential'`。
* `x`是要计算概率的随机变量值。

例如，计算一个正态分布的概率，其参数为`μ=0`和`σ=1`，事件`X=0.5`发生的概率：

mu = 0;
sigma = 1;
x = 0.5;
p = pdf('normal', x, mu, sigma);

# 5.1 多维随机分布

### 5.1.1 联合分布和边缘分布

在多维随机分布中，随机变量之间存在相关性，其联合分布描述了所有随机变量同时取值的概率。联合分布的概率质量函数或概率密度函数可以表示为：

f(x_1, x_2, ..., x_n)

其中，`x_1, x_2, ..., x_n` 是随机变量。

边缘分布描述了单个随机变量的概率分布，它是通过对其他随机变量进行积分或求和得到的。例如，对于二维随机变量 `(X, Y)`，其边缘分布为：

f_X(x) = ∫f(x, y) dy
f_Y(y) = ∫f(x, y) dx

### 5.1.2 多维随机分布的生成

MATLAB 中可以使用 `mvnrnd` 函数生成多维正态分布的随机数，其语法为：

R = mvnrnd(mu, Sigma, n)

其中：

* `mu` 是均值向量
* `Sigma` 是协方差矩阵
* `n` 是生成随机数的个数

例如，生成一个具有均值向量 `[0, 0]` 和协方差矩阵 `[[1, 0.5], [0.5, 1]]` 的二维正态分布的 100 个随机数：

mu = [0, 0];
Sigma = [1, 0.5; 0.5, 1];
n = 100;
R = mvnrnd(mu, Sigma, n);