计算几何中的计算机图形学应用：从建模到渲染（打造逼真世界）

# 1. 计算几何学基础

计算几何学是计算机科学的一个分支，它研究几何问题在计算机中的表示和处理。它在计算机图形学、计算机辅助设计和机器人学等领域有着广泛的应用。

本章将介绍计算几何学的基础知识，包括几何原语（如点、线和多边形）的表示、几何操作（如平移、旋转和缩放）以及几何算法（如凸包计算和最近邻搜索）。这些基础知识为理解计算机图形学中更高级的概念奠定了基础。

# 2. 计算机图形学中的几何建模

计算机图形学中的几何建模是将现实世界中的物体数字化为计算机可处理的形式，为计算机图形学中的渲染、动画和交互等后续操作提供基础。

### 2.1 多边形建模

多边形建模是使用多边形网格来表示物体的表面。多边形网格由一组顶点、边和面组成，其中顶点表示物体的角点，边连接顶点，而面由连接的边围成的区域表示。

#### 2.1.1 多边形网格的表示

多边形网格可以通过两种主要方式表示：顶点数组和索引数组。顶点数组存储每个顶点的坐标，而索引数组存储组成每个面的顶点索引。

#### 2.1.2 多边形网格的生成

多边形网格可以通过多种方法生成，包括：

- **手工建模：**使用建模软件手动创建顶点和面。
- **扫描：**使用 3D 扫描仪扫描物理对象并生成多边形网格。
- **算法生成：**使用算法从数学方程或点云中生成多边形网格。

### 2.2 曲面建模

曲面建模是使用曲面来表示物体的平滑表面。曲面可以通过多种方式表示，包括：

#### 2.2.1 曲面的参数化表示

参数化表示使用一组参数来定义曲面。例如，球体的参数化表示为：

x = r * cos(theta) * sin(phi)
y = r * sin(theta) * sin(phi)
z = r * cos(phi)

其中，r 是球体的半径，theta 和 phi 是球面坐标系中的角度。

#### 2.2.2 曲面的离散化

为了在计算机中处理曲面，需要将其离散化为多边形网格。这可以通过多种算法实现，例如：

- **三角剖分：**将曲面细分为三角形。
- **NURBS 细分：**使用非均匀有理 B 样条 (NURBS) 曲线细分曲面。

### 2.3 体积建模

体积建模是使用体积来表示物体的内部结构。体积可以通过多种方式表示，包括：

#### 2.3.1 体积的表示和操作

体积可以通过以下方式表示：

- **体素：**将体积划分为规则的单元格，每个单元格表示体积中的一小部分。
- **隐式表面：**使用数学方程来定义体积的边界。

体积的操作包括：

- **布尔运算：**执行并集、交集和差集等布尔运算。
- **变形：**通过缩放、旋转和移动等变换来变形体积。

#### 2.3.2 体积的离散化

为了在计算机中处理体积，需要将其离散化为体素网格。这可以通过以下算法实现：

- **行进立方体：**使用立方体来近似体积中的表面。
- **Marching Tetrahedra：**使用四面体来近似体积中的表面。

# 3. 计算机图形学中的几何变换

### 3.1 刚体变换

刚体变换是指物体在空间中位置和方向的变化，但其形状和体积保持不变。刚体变换包括平移、旋转和缩放。

#### 3.1.1 平移、旋转和缩放

**平移**：将物体沿直线移动一定距离，不会改变物体的方向或大小。平移矩阵为：

T = [1 0 0 Tx]
    [0 1 0 Ty]
    [0 0 1 Tz]
    [0 0 0 1]

其中，`Tx`、`Ty` 和 `Tz` 分别表示沿 x、y 和 z 轴的平移距离。

**旋转**：将物体绕某个轴旋转一定角度，不会改变物体的形状或大小。旋转矩阵为：

Rx = [1 0 0 0]
     [0 cos(θ) -sin(θ) 0]
     [0 sin(θ) cos(θ) 0]
     [0 0 0 1]

其中，`θ` 表示绕 x 轴旋转的角度。类似地，可以定义绕 y 轴和 z 轴旋转的矩阵 `Ry` 和 `Rz`。

**缩放**：将物体沿各个轴进行缩放，可以改变物体的尺寸。缩放矩阵为：

S = [Sx 0 0 0]
    [0 Sy 0 0]
    [0 0 Sz 0]
    [0 0 0 1]

其中，`Sx`、`Sy` 和 `Sz` 分别表示沿 x、y 和 z 轴的缩放因子。

#### 3.1.2 仿射变换

仿射变换是一种特殊的刚体变换，它将平移、旋转、缩放和剪切结合在一起。仿射变换矩阵为：

A = [a11 a12 a13 Tx]
    [a21 a22 a23 Ty]
    [a31 a32 a33 Tz]
    [0 0 0 1]

其中，`a11` 至 `a33` 为仿射变换矩阵的元素，`Tx`、`Ty` 和 `Tz` 为平移距离。

### 3.2 非刚体变换

非刚体变换是指物体在空间中形状和体积发生变化的变换。非刚体变换包括形变和分形。

#### 3.2.1 形变

形变是指物体在保持其拓扑结构不变的情况下，其形状和尺寸发生变化。形变可以是线性的或非线性的。

**线性形变**：物体沿某个方向均匀拉伸或压缩。线性形变矩阵为：

D = [Sx 0 0 0]
    [0 Sy 0 0]
    [0 0 Sz 0]
    [0 0 0 1]

其中，`S