线性与非线性状态空间模型：5个区别，掌握预测模型选择

# 1. 状态空间模型概述

状态空间模型是一种强大的统计模型，用于对动态系统进行建模和预测。它将系统的状态（不可直接观测）与观测数据（可观测）联系起来，通过状态转移方程和观测方程描述系统的演化过程。状态空间模型广泛应用于各种领域，包括时间序列分析、控制理论和信号处理。

状态空间模型的关键特征在于其内部状态的概念。内部状态表示系统在给定时间点的隐藏变量，它包含了系统过去和当前状态的信息。通过状态转移方程，内部状态可以随着时间的推移而更新，从而描述系统的动态行为。观测方程则将内部状态与可观测数据联系起来，允许我们从观测数据中推断内部状态。

# 2. 线性状态空间模型

### 2.1 线性状态空间模型的结构和假设

线性状态空间模型（LSSM）是一种时序预测模型，其假设系统状态和观测值之间存在线性关系。LSSM 的一般形式为：

**状态方程：**

x_t = A * x_{t-1} + B * u_t + w_t

**观测方程：**

y_t = C * x_t + D * u_t + v_t

其中：

* `x_t` 是系统状态向量
* `y_t` 是观测向量
* `u_t` 是控制输入向量
* `w_t` 是状态过程噪声向量，服从均值为 0，协方差矩阵为 Q 的正态分布
* `v_t` 是观测噪声向量，服从均值为 0，协方差矩阵为 R 的正态分布
* `A`、`B`、`C` 和 `D` 是状态转移矩阵、控制输入矩阵、观测矩阵和直接透传矩阵

LSSM 的主要假设包括：

* 状态方程和观测方程都是线性的
* 状态噪声和观测噪声是独立的，服从正态分布
* 系统状态在时间 t 仅依赖于时间 t-1 的状态

### 2.2 线性状态空间模型的估计和预测

**参数估计：**

LSSM 的参数（`A`、`B`、`C`、`D`、`Q` 和 `R`）可以通过最大似然估计（MLE）或贝叶斯估计等方法进行估计。

**预测：**

给定估计的参数，我们可以使用卡尔曼滤波器对系统状态和观测值进行预测。卡尔曼滤波器是一个递归算法，它使用先验状态分布和观测值来更新状态分布。

**卡尔曼滤波器步骤：**

1. **预测：**

   x_t^- = A * x_{t-1}^+ + B * u_t
   P_t^- = A * P_{t-1}^+ * A' + Q

2. **更新：**

   K_t = P_t^- * C' * inv(C * P_t^- * C' + R)
   x_t^+ = x_t^- + K_t * (y_t - C * x_t^-)
   P_t^+ = (I - K_t * C) * P_t^-
   ``