马尔科夫链蒙特卡罗方法：非线性状态空间模型求解，2个应用案例

# 1. 马尔科夫链蒙特卡罗方法简介**

马尔科夫链蒙特卡罗（MCMC）方法是一种强大的统计技术，用于从复杂分布中生成随机样本。它结合了马尔科夫链的随机游走性质和蒙特卡罗方法的随机采样能力，以有效地探索难以直接采样的高维分布。

MCMC 方法通过构造一个马尔科夫链，其中每个状态代表分布中的一个样本，并允许链在状态之间随机移动。随着链的运行，它逐渐收敛到目标分布，从而产生一组代表性样本。这些样本可用于各种统计推断，例如参数估计、模型选择和预测。

# 2. 非线性状态空间模型求解中的马尔科夫链蒙特卡罗方法

### 2.1 理论基础

#### 2.1.1 马尔科夫链和蒙特卡罗方法

**马尔科夫链**是一种随机过程，其中每个状态只依赖于前一个状态，而与其他所有先前的状态无关。**蒙特卡罗方法**是一种通过随机抽样来解决复杂问题的数值技术。

#### 2.1.2 非线性状态空间模型

非线性状态空间模型（NLSSM）是一种统计模型，用于描述随时间变化的非线性动态系统。它由两个方程组成：

- 状态方程：描述系统状态如何随时间演变。
- 观测方程：描述如何从系统状态中观测到数据。

### 2.2 算法实现

#### 2.2.1 吉布斯抽样

吉布斯抽样是一种马尔科夫链蒙特卡罗算法，用于从联合分布中抽取样本。它通过依次从条件分布中抽取每个变量的样本，从而构建一个马尔科夫链。

**代码块：**

import numpy as np

def gibbs_sampling(log_posterior, num_samples, burn_in=100):
    # 初始化
    x = np.random.randn(num_samples)

    # 采样
    for i in range(num_samples + burn_in):
        for j in range(x.shape[0]):
            # 从条件分布中抽取样本
            x[j] = np.random.normal(log_posterior.grad(x, j))

    # 丢弃烧入期样本
    return x[burn_in:]

**逻辑分析：**

* `log_posterior` 函数计算联合分布的对数后验概率。
* `num_samples` 指定要抽取的样本数。
* `burn_in` 指定烧入期样本数，这些样本将被丢弃。
* 算法依次遍历每个变量，从其条件分布中抽取样本。
* 条件分布的均值由 `log_posterior.grad(x, j)` 计算，其中 `j` 是变量索引。

#### 2.2.2 Metropolis-Hastings算法

Metropolis-Hastings算法是一种马尔科夫链蒙特卡罗算法，用于从任意分布中抽取样本。它通过提出一个候选样本，并根据其接受概率接受或拒绝该样本，从而构建一个马尔科夫链。

**代码块：**

import numpy as np

def metropolis_hastings(log_posterior, num_samples, burn_in=100):
    # 初始化
    x = np.random.randn(num_samples)

    # 采样
    for i in range(num_samples + burn_in):
        # 提出候选样本
        x_prime = np.random.normal(x)

        # 计算接受概率
        alpha = min(1, np.exp(log_posterior(x_prime) - log_posterior(x)))

        # 接受或拒绝候选样本
        if np.random.rand() < alpha:
            x = x_prime

    # 丢弃烧入期样本
    return x[burn_in:]

**逻辑分析：**

* `log_posterior` 函数计算联合分布的对数后验概率。
* `