对角阵在计算几何中的5大应用：凸包、多边形三角剖分，探索几何世界的奥秘

# 1. 对角阵简介及其数学性质

对角阵是一种特殊类型的矩阵，其主对角线以外的所有元素均为零。数学上，对角阵可以用对角线元素表示为：

A = diag(a_1, a_2, ..., a_n)

其中，a_i 表示对角线上的第 i 个元素。

对角阵具有以下数学性质：

* **对角化：**任何方阵都可以通过相似变换对角化，即化为对角阵。
* **行列式：**对角阵的行列式等于其对角线元素的乘积。
* **逆矩阵：**如果对角阵的所有对角线元素不为零，则其逆矩阵也是对角阵，且逆矩阵的对角线元素为原矩阵对角线元素的倒数。

# 2. 对角阵在凸包计算中的应用

### 2.1 凸包的定义和性质

**凸包定义：**

给定一组点集 S，其凸包定义为包含 S 中所有点的最小凸多边形。

**凸包性质：**

* 凸包是一个凸多边形。
* 凸包的每条边都由 S 中的两个点确定。
* 凸包的每个顶点都是 S 中的一个点。
* 凸包包含 S 中所有点。

### 2.2 对角阵在凸包计算中的作用

对角阵在凸包计算中扮演着至关重要的角色，它可以帮助我们快速确定凸包的顶点。

**对角阵构造：**

对于一组点集 S，我们可以构造一个 n x n 的对角阵 D，其中 n 是 S 中点的数量。D 的对角线元素为：

D[i, i] = 0

对于非对角线元素，我们计算点 i 和点 j 之间的距离：

D[i, j] = dist(p_i, p_j)

其中 p_i 和 p_j 分别是 S 中的点 i 和点 j。

**凸包顶点确定：**

使用对角阵，我们可以通过以下步骤确定凸包的顶点：

1. 找到对角阵 D 中最小的非对角线元素 D[i, j]。
2. 点 i 和点 j 是凸包的两个顶点。
3. 删除点 i 和点 j，并更新对角阵 D。
4. 重复步骤 1-3，直到 D 中没有非对角线元素。

### 2.3 凸包计算的算法实现

以下是一个使用对角阵计算凸包的算法实现：

def convex_hull(points):
    """
    计算点集 points 的凸包。

    参数：
        points: 一组点，表示为元组或列表。

    返回：
        凸包的顶点，表示为元组或列表。
    """

    # 构造对角阵
    n = len(points)
    D = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            D[i, j] = dist(points[i], points[j])

    # 确定凸包顶点
    hull = []
    while D.any():
        # 找到最小的非对角线元素
        i, j = np.unravel_index(np.argmin(D), D.shape)

        # 添加顶点
        hull.append(points[i])
        hull.append(points[j])

        # 删除顶点
        D = np.delete(D, i, axis=0)
        D = np.delete(D, i, axi