"B样条曲线原理与De Boor算法详解：权重与基函数，局部性与稳定性"

B样条曲线原理及De Boor算法详解；贝塞尔基函数用作权重。B样条基函数将以相同的方式使用；但是，它们要复杂得多。有两个有趣的属性不是贝塞尔基函数的一部分，即：（1）域被节点细分，（2）基函数在整个区间上不是非零的。事实上，每个 B 样条基函数在几个相邻子区间上都是非零的，因此，B 样条基函数非常“局部”。De Boor 算法是 de Casteljau 算法的推广。它提供了一种快速且数值稳定的方法，用于在给定域中的u的B样条曲线上找到一个点。增加内部节点的多重性会减少该节点处非零基函数的数量。事实上，如果这个结的重数是k，那么这个结上最多有p-k 1个非零基函数。因此，在多重性p的节点处，将只有一个非零基函数，其在该节点处的值为1，这是由于单位分割的特性。让这个结成为ui。如果u是ui，因为Ni,p(u)在[ui, ui 1)上非零，曲线C(u)上的点恰好受 控制点Pi的影响。更准确地说，我们实际上有C(u) = Ni,p(u)Pi = Pi。 B样条曲线的提出有其原因。以设计花瓶的轮廓为例，当使用11次的贝塞尔曲线时，很难将“脖子”向线段P4P5弯曲。虽然可以通过在该段附近添加更多控制点以增加该区域的权重，但这会增加曲线的次数。在许多情况下，使用如此高次的多项式是不值得的。这时，就需要使用B样条曲线。B样条基函数将以相同的方式使用，但它们要复杂得多。实际上，每个B样条基函数在几个相邻子区间上都是非零的，因此B样条基函数非常“局部”。 De Boor算法作为de Casteljau算法的推广，提供了一种快速且数值稳定的方法，用于在给定域中的u的B样条曲线上找到一个点。通过增加内部节点的多重性，会减少该节点处非零基函数的数量。具体地说，如果这个结的重数是k，那么这个结上最多有p-k-1个非零基函数。因此，在多重性p的节点处，将只有一个非零基函数，其在该节点处的值为1，这是由于单位分割的特性。这种特性使得曲线上的点恰好受控制点的影响。因此，B样条曲线及De Boor算法在实际设计中具有非常重要的作用。 总之，B样条曲线的提出解决了使用高次多项式时带来的问题，使得曲线设计更加灵活、简洁。De Boor算法作为寻找B样条曲线上点的快速、数值稳定的方法，为实际应用提供了便利。这些理论和算法的研究不仅提升了曲线设计的效率和精度，也为工程技术和科学研究提供了重要的支持。 B样条曲线的应用将会更加广泛，其理论和算法的研究也将会更加深入和完善。 B样条曲线和De Boor算法的发展将极大地推动曲线设计和计算机图形学的发展。