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首页非光滑分析法下的线性控制系统无界多面体不变集研究
本文主要探讨的是线性控制系统的无界多面体不变集问题,这是一个重要的研究领域,特别是在工程技术和控制理论的应用中。无界多面体不变集指的是在线性控制系统中,系统状态始终保持在某个多面体区域内的集合,这个区域是无限的。研究这类集合对于理解系统的稳定性和行为至关重要。 作者利用非光滑分析方法来处理这个问题。非光滑分析是一种处理非连续和非光滑函数的数学工具,对于线性控制系统的分析尤其适用,因为它能有效地处理系统中的不连续性和复杂性。论文的核心贡献在于,当无界多面体的极方向(即多面体的极端边或顶点方向)满足特定条件时,作者提供了一种判断该多面体是否为一类线性控制系统弱不变集的判别方法。弱不变集是指即使受到控制输入的影响,系统状态仍然会保持在多面体内,但可能在边界上移动。 进一步地,作者拓展了研究范围,给出了更一般线性控制系统下,无界多面体作为强不变集的充分条件。强不变集意味着无论控制输入如何变化,系统状态始终保留在多面体内,不会触及边界。这是对系统稳定性更为严格的定义,对设计稳定性和鲁棒控制策略具有实际意义。 论文的最后部分,通过两个具体的应用实例,展示了非光滑分析方法在实际问题中的应用和有效性。这些实例可能涉及工业过程控制、航空航天系统或者是经济管理系统等领域的线性控制系统,通过无界多面体不变集的分析,可以更好地理解和优化这些系统的动态性能。 这篇文章深入探讨了线性控制系统中的一个关键概念,并通过理论分析和实际案例,展示了非光滑分析在解决此类问题中的重要作用。这对于控制理论的研究者和工程师来说,是一项有价值的研究成果,有助于提升控制系统的稳定性和设计精度。
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第 28 卷第 6 期
2011 年 6 月
控 制 理 论 与 应 用
Control Theory & Applications
Vol. 28 No. 6
Jun. 2011
线线线性性性控控控制制制系系系统统统的的的无无无界界界多多多面面面体体体不不不变变变集集集
文文文章章章编编编号号号: 1000−8152(2011)06−0874−07
张 霞
1,2
, 高 岩
3
, 夏尊铨
1
(1. 大连理工大学 数学科学学院, 辽宁 大连 116024; 2. 浙江财经学院 数学与统计学院, 浙江 杭州 310018;
3. 上海理工大学 管理学院, 上海 200093)
摘要: 本文利用非光滑分析方法, 讨论了线性控制系统的无界多面体不变集问题. 当无界多面体的极方向满足一
定条件时, 得到了该无界多面体为一类线性控制系统弱不变集的判别方法. 然后在更一般的线性控制系统下给出
了无界多面体为强不变集的充分条件. 最后给出两个应用实例.
关键词: 线性控制系统; 不变集; 多面体; 非光滑分析
中图分类号: O231.2;TD350 文献标识码: A
Unbounded polyhedral invariant sets for linear control systems
ZHANG Xia
1,2
, GAO Yan
3
, XIA Zun-quan
1
(1. School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian Liaoling 116024, China;
2. School of Mathematics and Statistics, Zhejiang University of Finance and Economics, Hangzhou Zhejiang 310018, China;
3. School of Management, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)
Abstract: The nonsmooth analysis methods are applied to investigate the unbounded polyhedral invariant sets for linear
control systems. When the extreme directions of an unbounded polyhedron satisfy some conditions, we derive the criterion
for that unbounded polyhedron to be a weak invariant set for a class of linear control systems. The sufficient condition is
also obtained for the unbounded polyhedron to be the strong invariant set for more general linear control systems. Two
applied examples are given for illustration.
Key words: linear control systems; invariant set; polyhedron; nonsmooth analysis
1 引引引言言言(Introduction)
在许多实际系统中, 特别是混杂系统, 如电子振
荡器、行走机器人、人口动态变化等它们的稳定状
态往往不再是平衡点而是一个不变集, 并且系统平
衡点处的稳定性问题也可以看作系统的单点不变
集问题, 所以不变集的研究在系统的稳定性分析与
设计以及吸引域的计算等方面都有广泛的应用
[1∼3]
.
特别是系统强不变集的特点使得系统的稳定具有鲁
棒性, 所以系统的强不变集理论也常用于不确定系
统的稳定性分析和设计
[4, 5]
. 另外, 在微分对策研究
中一个重要的问题即胜利域的确定问题本身可看作
系统强不变集问题
[6, 7]
. 因此, 系统的不变集问题是
现代控制理论及应用中一个重要的研究课题.
系统不变集的判别和不变核的计算是不变性理
论研究中最重要的问题. 目前, 线性系统不变集主要
集中于椭圆不变集和多面体不变集的研究
[8, 9]
. 由于
许多实际控制问题在状态或控制向量上的线性限制
使得多面体不变集比椭圆不变集更方便地近似系统
的可达集和吸引域
[10]
, 而且使用多面体不变集所得
到的的优化问题较易处理
[11]
, 所以无论在理论研究
中还是在工程应用上, 多面体不变集具有重要的研
究价值. 另外, 当利用Lyapunov第二方法研究系统稳
定性时, 不变集还可以通过所构造的Lyapunov函数
的水平集得到
[12]
. 例如, 文献[10]借助Lyapunov函数
的水平集得到不变集的思想以及通过一系列二次规
划方法, 给出了在已知椭圆不变集情况下得到多面
体不变集的算法.
在多面体不变集的研究中, 通常的做法是采用多
面体的外部描述
[1, 13]
, 即使用线性不等式约束描述
的形式, 而文献[14, 15]采用内部描述, 即用极点和极
方向表示多面体, 给出了相应线性控制系统的不变
性判别方法, 该方法与传统方法相比操作较简单. 在
此本文将其主要结论作一说明. 文献 [14]考虑了无
界生存域(又叫弱不变集)的情况, 指出若一个集合
是某系统的生存域, 则该集合沿此系统矩阵的具有
非负特征值的特征向量方向移动得到的集合仍然是
一个生存域. 在文献 [15]中给出了当容许控制集也
为多面体时的线性控制系统关于有界多面体是否生
收稿日期: 2009−04−24; 收修改稿日期: 2010−06−06.
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(10671126, 10971187, 11071029); 上海市重点学科建设资助项目(S30501); 上海市科委地方高校能力
建设资助项目(10550500800); 安徽省高等学校省级自然科学研究资助项目(KJ2010B102).
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