动态规划解析：以斐波那契数列与广告牌选址为例

"动态规划讲义，讲解了使用分治法计算斐波那契数列以及动态规划的概念和应用，通过实例分析动态规划与贪婪算法的区别，并以数塔问题为例展示了动态规划的解决步骤。" 在计算机科学中，动态规划是一种强大的算法设计方法，尤其在解决最优化问题时显得尤为有效。这个概念由狄更斯所引用，表示其内在的复杂性和自我解释性。动态规划通常用于处理具有重叠子问题和最优子结构的问题，这些问题可以通过将大问题分解为多个小问题并逐步求解来解决。 动态规划的核心在于它不是简单地线性决策，而是根据当前状态做出决策，这些决策会引发状态的转变，并逐步形成最优解。这与贪婪算法不同，后者在每个步骤中总是选择局部最优解，但不保证全局最优解。 例如，描述中提到的斐波那契数列问题是一个经典的动态规划应用。斐波那契数列的定义是：F(0) = 0，F(1) = 1，对于 n > 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)。当 n=5 时，计算 F(5) 的过程涉及递归地计算较小的斐波那契数，如 F(4)，F(3)，直到 F(1) 和 F(0)。分治法在这里意味着将大问题分解为更小的子问题，然后合并子问题的解以获得原问题的解。 动态规划的例子还可以扩展到广告牌选址问题。在这个问题中，目标是最大化广告牌收益，同时满足至少5英里的间隔限制。动态规划的策略是自底向上或自顶向下地逐步构建最优解决方案，每次决策都基于当前的子问题解，直至找到整个问题的最优解。 例如，在数塔问题中，我们需要找到一条从顶层到底层的路径，使得路径上的数字之和最大。贪婪算法在此可能无法找到最优解，因为它仅关注当前一步的最大值，而忽视了全局最优。而动态规划则会考虑所有可能的路径，通过逐层决策，确保在到达最后一层时选择的路径是全局最优的。 在动态规划的设计过程中，首先需要对问题进行阶段划分。以数塔问题为例，第五层的决策会影响到第四层的子问题，从而递推出第四层的最优解。这种递推关系可以继续向下，直到问题的最基本阶段，即没有更多子问题需要解决。 总结起来，动态规划是一种多阶段决策的最优化方法，它通过综合考虑所有可能的决策路径来寻找全局最优解。它与贪婪算法的关键区别在于，动态规划重视整个决策过程，而贪婪算法仅关注局部最优。在实际应用中，动态规划广泛应用于诸如斐波那契数列、背包问题、最长公共子序列等许多复杂问题的求解。