EM算法解析：从最大似然到高斯混合模型

"机器学习EM算法.pdf" EM算法，全称为期望最大化（Expectation-Maximization），是一种用于含有隐变量的概率模型参数估计的迭代算法。在机器学习领域，EM算法常被用于解决最大似然估计的问题，尤其是在数据存在未观测变量时，如高斯混合模型（GMM）。 最大似然估计是统计学中常用的一种参数估计方法，其基本思想是找到一组参数，使得给定观测数据出现的概率最大。以100名学生身高问题为例，假设这些学生的身高分别由两个高斯分布（男生和女生）决定，但不知道每个样本属于哪个分布。最大似然函数的目标是找到使得所有样本出现的概率最大的参数，即男生和女生身高的均值和方差。 在EM算法中，问题复杂化是因为样本可能属于多个类别（例如，男生或女生），而我们并不知道每个样本的确切类别。为了解决这个问题，引入了隐变量Z，用来表示样本所属的类别。对于每个样本，Z取值为0或1，分别对应于男生和女生。最大似然函数会考虑所有可能的类别分配，并进行优化。 EM算法包含两个主要步骤：E（期望）步和M（最大化）步。在E步，我们根据当前的参数估计计算每个样本属于每个类别的概率（后验概率）。在M步，我们固定这些概率，并更新参数，使数据在当前类别分配下的似然性最大化。这两个步骤交替进行，直到参数收敛或达到预设的迭代次数。 以两个硬币的例子来解释，假设我们有两个硬币A和B，分别有不同的正面朝上的概率。我们不知道每个硬币投掷的结果，但可以根据已知的投掷数据（比如5个正面，5个反面）来估计每个硬币的概率。EM算法首先假设初始概率，然后通过E步计算每个硬币被选中的概率，接着在M步更新硬币正面概率的估计，重复这个过程直到概率不再显著变化。 EM算法的关键在于其迭代过程能够逐步改进参数估计，即使在数据中存在未观测变量的情况下也能有效工作。然而，EM算法并不保证找到全局最优解，而是可能会陷入局部最优。此外，算法的效率和收敛速度依赖于初始参数的选择，因此合理设置初始值至关重要。 总结来说，EM算法是一种处理含有隐变量的最大似然估计方法，广泛应用于机器学习，特别是在需要估计混合模型参数的情景下，如GMM。通过E和M步骤的迭代，EM算法能够在无法直接观测到所有信息的情况下，逐步优化模型参数的估计。