分数阶动态不等式：时标上的凸函数协调分析

"这篇论文是2017年发表在《应用数学与物理学》(Journal of Applied Mathematics and Physics)上的，作者是Muhammad Jibril Shahab Sahir，来自巴基斯坦苏尔古达大学巴赫卡分校。论文研究了时标上协调的凸函数的动态不等式，涉及到三角洲Nabla、Diamond-α时间尺度以及分数积分不等式等概念，旨在对多变量凸函数的动力学性质进行深入探讨。" 本文的重点在于发展和推广分数阶Schl？milch型和Rogers-H？lder型动态不等式在时标理论中的应用。首先，作者介绍了时标上的一般分数阶Schl？milch型动力不等式，这些不等式对于理解和分析时变系统中的函数行为至关重要。利用伯努利不等式，这是一种在数学分析中常见的不等式，常用于简化和证明其他不等式，作者将这些动态不等式扩展到了多变量的凸函数。伯努利不等式的基本思想是指数函数的增长速度超过线性函数，这一特性在此处被用来强化不等式的性质。 接着，作者引入了广义Jensen不等式，这是凸函数理论中的一个关键工具。Jensen不等式表明，如果一个函数是凸的，那么它的平均值总是小于或等于其在各个点值上的函数值的平均。通过这种方式，作者进一步拓展了分数阶Schl？milch型动力不等式的应用范围。 此外，文章还利用了钻石-α微积分的Fubini定理。Fubini定理在积分理论中扮演着核心角色，它允许我们将多维积分转化为一系列的一维积分，这在处理复杂积分问题时非常有用。在时标理论的背景下，这个定理帮助作者将多变量问题化简为单变量问题，从而简化了证明过程。 最后，作者通过在π>1的条件下利用钻石-α微积分上的一般分数阶Schl？milch型动力不等式，推导出了关于凸函数的分数阶Rogers-H？lder型动态不等式。Rogers-H？lder不等式是分析学中的另一重要不等式，它扩展了传统的Holder不等式，提供了更灵活的度量方式来比较函数的积分。 该研究为时标理论中的凸函数不等式提供了新的见解，不仅扩展了已知不等式的形式，也深化了我们对分数阶动力系统中函数行为的理解。这对于研究非均匀时间尺度上的动力系统，尤其是在工程、物理和经济学等领域具有重要的理论和实际意义。