欧拉图的投影符号及其在测量和抑制杂波方面的应用

理论计算机科学电子笔记134（2005）103-126www.elsevier.com/locate/entcs欧拉图中杂波的测量与抑制克里斯.约翰视觉建模集团布莱顿大学Brighton BN 2 4GJ，英国摘要当用三个或更多的集合建模时，欧拉图可能会变得拥挤或混乱，并且它们直观地表示集合之间关系的能力会减弱。投影是一种符号，它为欧拉图带来了语法效率，并以各种语义等价的方式表示集合之间的关系。本文简要地概述了第一个健全和完整的欧拉图系统，包括投影的符号。 它定义了一个度量用于测量图中的杂波，并概述了一种算法，该算法在给定系统图的情况下，找到具有最小杂波测量的语义等效图。关键词：投影，杂波，拥塞。1介绍欧拉图，或欧拉圆，首次出现在1761年[1]。欧拉的代表性的经典三段论的头脑，而不是集，他的动机似乎已被oerer一个图解替代的逻辑：“这些圆圈.对于揭示逻辑的所有膨胀的奥秘来说，是非常方便的，艺术发现它很难一百多年后，约翰·维恩[2]发展了他的图解结构，用于表示三段论，这是他的名字，大多数人今天将这种类型的图表联系在一起。美国哲学家和数学家查尔斯·皮尔斯发展了几种图解推理系统1电子邮件：C. brighton.ac.uk1571-0661 © 2005由Elsevier B. V.出版，CC BY-NC-ND许可下开放获取。doi：10.1016/j.entcs.2005.01.035104C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103CBCB[3]，也利用了排斥和包容的性质，同时发展了x序列的符号来象征元素的存在。近年来，计算的进步伴随着图解推理领域的复兴埃里克·哈默（EricHammer）提出了一个简单、健全和完整的欧拉图系统[4]。Sun-Joo Shin开发了几个基于维恩图的系统[5]，并且布莱顿大学开发了几个基于维恩图和欧拉图的“蜘蛛图”系统[9]中提出了投影的原始概念，并在[10]和[11]中得到了发展。这种符号是从一个愿望，以限制拥挤，困扰欧拉图作为更多的集考虑。非正式地说，投射是在上下文（话语领域的子域）中表示的集合。在其上下文之外，投影不断言任何东西。投影可以用一种或多种方式由称为投影轮廓的曲线表示。首先，我们概述了系统的欧拉图，我们将扩大与投影和细节的两个弱点。2欧拉图欧拉图利用包围、排斥和交的拓扑性质分别表示子集、不交集和集交的集合论概念，用阴影表示空集。系统的以下示例非正式地说明了使用转换规则的语法、语义和推理。图1的LHS图具有标记为A、B和C的三个等高线。 通过 将标记为B的轮廓包围在标记为A的轮廓内，我们可以推断标记为B的轮廓所表示的集合是标记为A的轮廓所表示的集合的子集。类似地，通过排除标记为A和C的轮廓，我们可以推断这些轮廓表示的集合是不相交的。图1.一、欧拉图正如我们可以从前提B<$A和A<$C=<$B中推断出，BC=，因此我们可以将一个简单的推理规则C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103105BCBC标记为A的等高线以图示方式示出如图1的RHS图中的结论。这些图表既清晰又直观地表示了信息。然而，这并不总是与欧拉图的情况下，我们确定了两个关键的概念，造成的困难。在不灵活的代表性让我们把汽车的集合看作是我们的通用集合，在这个通用集合中，美国汽车的集合，汽车的集合和汽车的集合。 如果我们想使用欧拉图来表示“所有美国汽车都是蓝色的”，我们可以使用标记为A的等高线来表示美国汽车的集合，标记为B的等高线来表示蓝色汽车的集合，标记为C的等高线来表示汽车的集合。图2的图显示了表示该陈述的两个字。LHS图使用阴影区域来显示表示非蓝色的美国公司的内容。RHS图类似地显示该集合是空的，因为没有区域来表示它。图二.语义等价欧拉图这两个主题'AllAmericaa n co u p'e is are blue'和'No Americaan co u p'e is notblue'具有相同的真值，但却是不同的欧拉图不具有自然语言或更正式的语言的可扩展性，以许多语法上不同的方式表达语义上等价的语句随着所考虑的集合数目的增加，这种不稳定性变得更加严重。显示所有关系欧拉图中的另一个问题是，当考虑更多的集合时，“拥塞”或“混乱”会迅速变得尖锐表示n个集合的欧拉图表示这些集合之间的所有可能的关系（2n），或者通过使用图的区域，或者通过没有图的区域来表示关系，我们可以推断该集合是空的。图3的LHS图包含16个区域，尽管我们可以从图中推断出的唯一信息是ABCD=。同样，在RHS中，106C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103BCBCEBBCDBC图三. 欧拉图在图3的示意图中，该示意图需要7个区域来表示C A B = C。投影解决了欧拉图中的这两个弱点。它们通过提供许多句法上不同但语义上等价的表示而带来了语义上的差异。此外，他们可以大大减少语法拥塞（我们将在本文中称为混乱），允许集表示在一个有限的域。在我们展示这些品质之前，我们给出了一个“欧拉图与投影”，或简称EDP的语法，语义和推理规则的简化版本3欧拉投影图我们简要介绍了电子数据处理的主要特点。具体语法具有投影的具体欧拉图由具有唯一标签的给定轮廓和投影轮廓组成，投影轮廓在这里用虚线图标绘制，其可能没有唯一标签。 所有轮廓都正确地包含在边界矩形内。轮廓的相交、包含或排除将边界矩形内的区域划分为可以被着色的独特区域。非空的区域集是一个区域。见图4。 带投影的欧拉图。在图4的LHS图中，给定的轮廓被标记为A和B，而投影轮廓被标记为C。该图有五个区域，一个例子是图中标记为B的轮廓内和标记为A的轮廓外的区域。此图只有一个阴影区域，即内部区域C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103107BECEBCE标记为C的投影轮廓。图4的RHS图有两个标为B的投影等值线。抽象语法图解系统通常有两层语法[12]，在某些媒体中的图解表示（具体语法）和抽象，它忘记了几何信息，只保留基本关系（抽象语法）。投影的表示法适合三层语法，将抽象语法分为细粒度和粗粒度级别。细粒度抽象语法具有应用推理规则的细节，而粗粒度抽象语法将许多共享相同解释的细粒度类型聚集在一起。细粒度抽象语法细粒度的抽象语法记录了图如何使用投影轮廓来表示投影。细粒度抽象语法包括一组底层区域（底层区域是仅根据给定轮廓标签定义的区域）。细粒度抽象语法中的投影轮廓是一对，第一个元素是标签，第二个元素是投影等高线与之相交的一组基础地带（基础区域）。该区域称为投影轮廓的上下文。共享标签的任何两个投影轮廓将具有不相交的上下文。在图5的LHS图中，有两个投影轮廓用于表示由标签E表示的集合的投影。图5的RHS图与LHS图相同，除了它仅使用一个投影轮廓来表示由标签E表示的集合的投影。图五、具有不同细粒度抽象的图表粗粒度抽象语法图5的两个图具有不同的细粒度抽象语法，但是与此级别相同的粗粒度抽象语法忘记了108C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103BCDCDB投影由投影轮廓表示。轮廓的概念消失了，但底层区域的概念和背景却得以延续。语义该系统中使用的投影等值线的解释首次出现在[10]虽然已经提出了替代语义[11]，但毫无疑问可以设想其他语义。这种解释被称为图表的底层区域形成底层区域，投影等高线标签与之相交的底层区域称为投影等高线标签的上下文。因此，任何投影等高线标签都被解释为：‘The intersection of the set assigned to the label of the projected contour withthe见图6。 说明投影等高线标签的语义。图6的LHS图有四个基本区域：一个在标记为A和B的轮廓之外，一个在标记为A的轮廓之内但在标记为B的轮廓之外，一个在标记为B的轮廓之内但在标记为A的轮廓之外，最后，一个在标记为A的轮廓和标记为B的轮廓之内。该最后的底层区域是标记为C和D的投影轮廓的上下文，并且它们在该底层区域内的排除意味着，在由标记A和B表示的集合的交集内，由标记C和D表示的集合的交集是空的，或者AB CD=在图6的RHS图中，投影轮廓标签C的上下文是标记为B的轮廓外部的底层区域，而投影轮廓标签D的上下文是标记为B的轮廓内部的底层区域。由于这两个投影轮廓具有不相交的上下文，该图不提供关于由标签C和D表示的集合之间的关系的任何信息。C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103109CBBCCBCB推理规则在这里，我们非正式地介绍了四个可逆的规则，特别是相关的投影轮廓的变换。• 引入一个缺失区。该规则允许引入阴影区域，以表示由于包含或排除轮廓而缺失的区域。在图7的LHS图中，标记为B和C的投影等值线在标记为A的给定等值线内的下伏区域内不相交。在RHS图中，引入了阴影区来表示它们的空交点。见图7。 一个有效的应用请注意，并非图中的所有包含或排除都表示缺少区域。 在图8的LHS图中，标记为B和C的等高线是不相交的，但我们不能推断它们的交点是空的。 当标记为C的等高线被投影时，它仅在其上下文内被解释，该上下文是标记为A的等高线内和标记为B的等高线外的基础区域。见图8。无效的“引入缺失区域”应用程序• 引入投影轮廓。该规则允许将投影等高线引入到尚未包含具有相同标签的等高线的任何底层区域在图9的LHS图中，存在两个下层区域。 该规则不允许将标为B（或C）的投影等值线引入标为A的给定等值线内的下垫带，因为已经存在一个等值线。它允许引入投影轮廓110C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103BCBBCBCBCBCBCB见图9。 引入投影轮廓。标记为B的区域进入标记为A的给定等高线之外的底层区域，如RHS图中所做的那样• 合并两个投影轮廓。该规则允许将具有相同标签的两个投影轮廓合并为一个投影轮廓。见图10。合并两个投影轮廓。在图10的LHS图中，有两个标记为B.在RHS图中，它们已被标记为B的单个投影等高线所取代。• 用给定的轮廓替换投影轮廓。该规则允许在以下条件下将投影轮廓改变为给定轮廓(i) 投影等高线的上下文是底层区域的集合(ii) 在投影等高线不包含的每个基础区域中，它将分割每个区域。图11的LHS图有一个标为B的投影等高线，它满足允许用给定等高线替换它所需的条件，就像在RHS图中所做的那样。请注意，标为C的投影轮廓不满足第一个条件。见图11。 用给定的轮廓替换投影轮廓。C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103111读者可能已经注意到，应用这四个规则已经将图7的LHS图中标记为B的投影轮廓改变为图11的RHS图中标记为B的给定轮廓。一般来说，这四条规则是将任何投影变换为给定轮廓所需的全部，正是这个过程形成了系统的可靠性和完备性定理的基础（出于空间考虑，此处此外，规则“合并两个投影轮廓”可以用来定义粗粒度的抽象语法。该规则在细粒度抽象图的集合这就产生了等价类，其中每个图都有相同的粗粒度抽象。在概述了系统的主要组成部分之后，我们返回来证明之前提出的主张，即投影可以在保留语义的同时增加语法灵活性并灵活的代表性GerE n gI t见图12。 两个没有投影的欧拉图。将特定会议的与会者和与会者中的德语、意大利语和英语发言者的集合视为通用集合。如果我们不使用投影的话，“所有说德语和意大利语的人也说英语”这句话如果我们考虑使用投影，我们可能会有更多语义上等价但语法上不同的表示可供选择。图13中显示了其中四个。每个图都以不同的方式表达同一件事，就像自然语言语句减少杂波一个图是否显得杂乱或拥挤通常是一个主观的问题。然而，我们认为，在图14中，LHS图比RHS图更加拥挤。GerE NGIt112C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103BCEDCB EDGerI t恩·格·格尔ItEngGerEngGerItE N GI t图十三.四个语义等价的欧拉图和投影。见图14。两个语义等价的欧拉投影图。这些图在语义上是等价的，可以使用前面定义的四个等价规则将一个转换为另一个。RHS图利用封闭和排除的拓扑特性来产生不那么拥挤的图，去除了许多使LHS图显得如此混乱的交叉点。我们希望能够自动化从图14中的LHS图获得RHS图的理想情况下，我们希望任何算法都能计算出一个“最小混乱”的图。为了量化EDP图中的杂波，我们必须首先定义杂波的含义，并推导出衡量杂波水平的度量在每一个图表中。4投影欧拉图中的杂波一个标准的字典定义的单词‘an untidy collection of objects’, ‘filling space in a disorderly way’, ‘to crowdtogether in disorder’, ‘a confused multitude of杂乱的房间常常被用作比喻。在这个词的定义中似乎有一个微妙的区别，无论是作为动词还是名词。前两个术语表明，杂乱是一组事物如何C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103113B一B都安排好了人们可以想象这种类型的混乱描述一个十几岁的房间，这往往是混乱的意义上的项目是随机散落在走廊上，如果这个地方最近被盗窃。最后两个术语指出了造成混乱的一个更内在的原因，这可能不是简单地以更有序的方式排列物品就能在本节中，我们认为这种区别延伸到欧拉图的语法，并帮助我们区分一种我们可以清楚定义和测量的混乱类型。混凝土杂波非正式地，我们将具体混乱定义为任何不抽象到抽象语法的混乱。考虑图15的LHS图。图15. 展示了混凝土的杂乱。除了类似于一个相当糟糕的“立体主义”，它仍然是一个良好的形式欧拉图，因为它由简单的封闭曲线，是唯一的标签。然而，由于轮廓的形状非常不规则，标签具有不同的字体和大小，并且在其位置上不明确它们标记的轮廓，因此该图的解释变得不必要地困难。相反，RHS图有规则的圆形轮廓，清晰的标记，在柏拉图的意义上，可能非常接近其类型的因此，虽然这两个图具有相同的抽象语法，但它们在具体层次上有很大的抽象杂波现在考虑图16的LHS图。这些轮廓没有标记，不仅是为了说明的目的，而且还因为很难清楚地标记这个图，因为关系的性质迫使轮廓变得更小，更紧密。这不是糟糕的绘画实践的结果（我们认为），而是轮廓之间的关系所固有的，是抽象混乱的一个例子。114C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103BCDBEFGDCHBCD图16. 抽象的杂乱。图16的RHS图是抽象杂乱的另一个例子，因为图中有许多阴影区域，无论我们选择如何绘制它，这种属性都会存在。这一点，加上等高线密集重叠的事实，导致图杂乱这些属性将存在于所有具体的表示中，正是这些属性构成了抽象的混乱。在讨论了欧拉图中混乱类型的区别之后，我们现在更仔细地研究导致抽象混乱的因素（为了简洁起见，在此简称为造成杂波的乍一看，似乎有许多因素的可能性。其中最明显的是区域的数量，尽管这还不足以捕捉杂波的所有变化，但它仍然是一个非常好的单一度量。图17. 造成混乱的因素。组件的数量显然是一个因素，如图17中的图表所示。这两个图有相同数量的区域，但我们认为，更多的组件在RHS图使它不那么混乱相比，LHS图，即使它有两倍多的轮廓和标签。图18中的每个图都包含一个由五个轮廓组成的单个组件（连通子图），创建九个区域（连通组件的最小值）。这四个图可以被看作是模式或类型，可以扩展到任何数量的轮廓大于两个。我们认为，最上面一行的图表比直径不那么杂乱，C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103115BCEDEDBCBCDCBDEBDEC图十八岁 所有组件都有5个轮廓和9个区域。克在最下面一行。特别是，我们认为，在杂波的差异变得更加明显的轮廓的数量增加。对此的解释似乎是成对不相交的性质，图中轮廓之间的包容度。 以具体的如果它们的内部没有公共点，则两个意义上的轮廓是成对不相交的，并且如果一个轮廓完全包含在n个轮廓内，则该轮廓被称为n次包含。图18的顶行中的图具有连通分量的成对不相交关系的最大数量，对于n>2个轮廓，为（n−1）（n−2）/2，并且具有最小包容度相反，图18的底行中的图具有连通分量的成对不相交关系的最小数目（零）和包含的最大程度，（n-1）（n-2）/2（对于n >2个轮廓）。由于图中的所有其他因素都是相同的，我们得出结论，包含比不相交更增加混乱图19. 4个等高线之间的最大相交。轮廓之间唯一需要考虑的其他因素是相交，图18中的所有图都具有最小数量的相交。将交集的关系与成对不相交或包含度进行比较并不那么容易，因为交集总是导致116C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103CDBDBC两个轮廓之间的额外区域，而其他两个关系没有。图19中的图是四个轮廓上的维恩图的表示它没有成对的不相交关系或包含，但图的轮廓之间的相交的最大数量。等高线之间的相交会增加图表中的区域数量，导致等高线重叠并使组件变得混乱。很明显，当考虑两个轮廓之间的关系时，相交比一个轮廓包含在另一个轮廓中增加更多的混乱，而两者都比两个轮廓不相交增加更多的混乱。我们已经论证了，图中轮廓之间的三种关系对图的组成部分贡献了不同数量的杂乱。然而，我们仍然有一个漫长的任务来提取这些信息，图表。除了识别di-gram中的组件和它们之间的关系之外，我们还需要计算组件之间的混乱变化，通过扩展参数（从轮廓到组件），包含的组件将比那些不相交的组件更有助于图轮廓评分虽然前面的章节似乎确定了几个需要花费时间来测量的因素，但存在一种机制，它在具体层面上是直观的，在抽象层面上是简单的，并且可以测量被确定为图组件中混乱原因的相同因素。 它还测量组件之间的杂乱程度。该方法被称为轮廓评分，看似简单。我们使用图20的图表在具体级别上说明该方法。图20. 图示轮廓评分为了对这些图进行轮廓评分，我们只需计算每个轮廓内的区域数量并求和。对于LHS图，在标记为A的轮廓内有六个区域，在标记为B的轮廓内有五个区域，在标记为C和D的轮廓内分别有三个和两个区域。因此，LHS图的等值线类似的计算得出RHS图的等值线得分为15。因此，通过轮廓评分的措施，这两个C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103117图表具有类似的混乱程度。请注意，RHS图比LHS图具有更多的区域，但轮廓分数较低轮廓评分反映了先前确定的因素及其各自对杂波的贡献。如果两个轮廓不相交，则不存在重叠，并且这些轮廓内的任何区域都不会对另一个轮廓的分数做出贡献。如果一个等高线的包容度为n，那么它内部的所有区域都将在轮廓分数中计数n次。此外，如果两个轮廓相交，则它们在每个轮廓内产生额外的区域。这种评分方法也反映了组件之间的关系。有趣的是，图18中的顶部两个图的轮廓得分为13，而底部两个图的得分均为25。推广到n个轮廓，顶部两个图案的轮廓得分为3 n- 2，而底部两个图案的轮廓得分为3n-会得到n2分。这表明，这两对图中的杂乱（即具有相同数量的区域和轮廓）是不同的，并且将随着轮廓数量的增加而发散。在n个轮廓上的维恩图的轮廓得分为n2n−1，从而导致图19中的图的轮廓得分为32。因此，我们提出了一个权函数，CS，用于测量杂波的D-grams的EDP。它由两部分组成，轮廓分数和图中阴影区ΣCS（d）=（x，y）∈Z（d）|+ α| Z（d）|Z∗ (d)|请注意，常数α将被视为单位，直到可以从经验研究中找到更准确的区域得分和对偶图另一种捕捉导致混乱的微妙因素的方法是使用对偶图和一种称为区域评分的等效方法区域评分涉及根据有助于其周长的轮廓数量对每个区域进行图21中的图表说明了方法，其中RHS图表示出了针对以下区域评分的每个区域：LHS图表。图21的LHS图中的图是图的对偶图，并且通过对顶点度求和，我们得到与区域评分方法相同的分数。这两种（等效的）方法都试图测量一个区域的复杂性，在这个意义上，为了解释图中的一个区域，我们必须首先确定哪些轮廓包含和排除它。然而，它不计算区域的边缘（图21中的一个区域的得分为118C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103图21.区域评分图解3，但有4个边缘），并在不计算的轮廓，不有助于其周边，假设包容性和不相交都图22. 两个图及其对偶图更重要的是，该方法不区分图22中的图表。无论是通过区域评分还是计算对偶图的顶点度，两个图的评分都是相同的。因此，这些方法不能解释由于成对不相交或轮廓之间的包容度而引起的杂波变化。区域评分对元件中轮廓之间的关系不太敏感，需要更多的计算工作5投影欧拉图中杂波的自动减少在早期的论文[10]、[11]和本文中，已经说明了投影减少欧拉图中混乱的能力。随着测量EDP图上定义的杂波的度量的发展，我们现在寻求一种算法，给定一个图，它将返回一个图，是语义等价的，并且具有最低的CS。理想情况下，由于投影的一个主要优势是其表示的可扩展性，因此任何算法都可以产生一系列具有不同属性的图表，这将是一个有用的副产品。句法表征‘Minimize我们将在下一节中概述一个尝试完成这两项任务的算法。该算法的主要组成部分是派生规则C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103119BCBCBCCCC BC等高线标签我们用图23的图表来说明这一规则。图23. 说明派生规则从顶部LHS顺时针阅读图表，我们的初始图表有三个轮廓标签，我们希望将规则“最小化轮廓标签”应用该规则的第一部分用一个标记为C的投影轮廓替换标记为C的给定轮廓。图的底层区域现在已经改变，并且通过重复使用“将投影轮廓一分为二”规则（“合并两个投影轮廓”的反向），我们得到 每个底层区域的投影轮廓。对于标记为C的每个投影轮廓，我们测试我们是否可以应用“引入投影轮廓”的逆过程可以应用反向规则来提供没有语义贡献的投影轮廓，因此可以被擦除，而那些不能应用该规则的轮廓则携带语义信息。在这个例子中，我们可以将相反的规则应用于四个投影轮廓中的三个，从而得到图23的最终图。此规则始终应用于给定的等高线标签，并导致标签投影到最小的底层区域。最后，我们将“引入缺失区域”的反向操作将规则应用于等高线标签C将CS从13减少到7，但这不是我们正在寻找的最小混乱图（尽管它可以用作具有比初始图低的CS的替代的、语义上等效的表示如果我们将规则“Minimize contour label”应用我们可以确定这是一个最小的混乱图，因为所有轮廓都不相交，导致CS= 3（因为每个轮廓对CS的贡献至少为1，所以更低的分数是不可能的）。 我们现在给出涉及规则“最小化轮廓标签”（表示为“最小化轮廓标签”）的所提出的算法120C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103BCBCBC图24. 一个最少混乱的图表。图中的最小值（LCSA-一种最小化杂波设d是EDP的（酉）图（酉图只是一个单独的盒子）。我们称d为初始图，并计算d的CS（就像我们对算法产生的所有图所做的那样）。要计算的第一个图表是称为报头图，表示为DG。通过依次执行两个派生规则，将初始图转换为dg(i) 替换所有投影。此规则是前面突出显示的四个规则的组合，并导致d中的所有投影都被给定的轮廓替换。(ii) 删除所有缺失区域。这条规则只是重复使用“引入缺失区域”规则的相反规则图25的LHS图说明了初始图，而RHS di-agram显示了标题图。为了说明，CS（d）= 12，而CS（dg）= 10。图25. 初始图d和标题图dg。标题图是一种规范形式，因为我们知道所有的轮廓都是给定的轮廓，阴影区域已减少到最小。我们使用这个图表作为基础，从中产生第一组图表。此集合中的每个图都涉及将规则“最小化等高线标签”应用图26中的关系图说明了具有一个最小化的等高线标签的关系图集合。C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103121图26. 具有一个最小化投影的图表集（下面方框中的杂波得分）。标题图有三个等高线标签，因此集合将包含三个图。下面的图表是他们的CS。请注意，将“最小化等高线标签”应用（为了突出这个问题，这些图在这里只是稍微重叠地绘制），这表明最小化投影可能会导致图没有格式良好的具体表示。下一个阶段是将规则“Minimize contour label”应用于具有一个最小化投影的集合的每个图中的另一个给定的轮廓标签，以给出具有两个投影标签的图集合。图27的图表说明了该过程。图27. 具有两个最小化投影的图表集（下面是杂波得分）。该过程逐步继续，每次将规则122C. John/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 134（2005）103BCBM in（）Min（B）B10CCBC 7Min（C）Min（B）BM InC7M in（）CBB3C66Min（C）Min（B）Min（B7图，直到所有轮廓都被投影。让我们把这个图称为dp。图dp将具有与标题图dg相同的结构，除了所有的轮廓将是投影轮廓。因此，作为度量CS，不区分图表中的轮廓类型，CS（dg）=CS（dp），所以dp不需要计算。我们将这种类型的图表包括在图28仅用于说明。图28的图示出了相对于图25的初始图的算法（图和杂波分数的集合）。2（丙））的方式C图28.搜索空间的整个图表集（带有杂乱分数），最小杂乱的图表被加框。BC1