软件X 11（2020）100385原始软件出版物MoebInv：用于非欧几里德几何操作的C++库Vladimir V. 基西尔利兹大学数学学院，利兹LS2 9JT，大不列颠及北爱尔兰联合王国ar t i cl e i nf o文章历史记录：收到2019年收到修订版2019年12月7日接受2019年12月10日MSC：68U0551B2568W3051N2551B1011E88保留字：李球几何莫比乌斯变换分数线性变换符号计算a b st ra ctMoebInv包含两个C++库，用于非欧几何中的符号，数值和图形操作。第一个库循环实现了循环上的基本几何操作，循环是某些二次多项式的零集。第二个图书馆图上运行的合奏周期相互连接的莫比乌斯不变的关系：正交性，切线等两个图书馆的工作空间与任何尺寸和任意签名的度量。它们的基本功能可以通过Python/Pythonshell和专用的图形用户界面以交互模式访问。后者不需要任何编码技能，在教育该软件包在各种Linux发行版，Windows 10，Mac OS X和几个云服务上进行了测试（并提供）。©2019作者由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本v3.5.7此代码版本使用的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX_2019_248法律代码许可证GPL v3.0使用git的代码版本控制系统使用C++、Python的软件代码语言、工具和服务编译要求，操作环境依赖性使用GNUg++或clang为Linux，Win32，Mac OS X编译。如果可用，链接到开发人员文档/手册https://sourceforge.net/projects/moebinv/files/docs/figure.pdf问题支持电子邮件kisilv@maths.leeds.ac.ukV.Kisil@ leeds.ac.uk1. 介绍我们提出了开放源码软件包MoebInv[1，2]-一个研究和教育工具的各种几何设置。它的主要功能，设计和功能有一些独特的功能，这是没有其他地方.代码与扩展的Möbius-Lie几何学[ 3 ]的研究一起共生增长该软件包的功能可以从C++代码访问，并可以通过Python/Pythonshell和专用的图形用户界面（GUI）交互式使用已 经 有 一 系 列 成 熟 且 信 誉 良 好 的 开 源 几 何 软 件（GeoGebra[4]，CaRMetal[5]，电子邮件地址：kisilv@maths.leeds.ac.uk。https://doi.org/10.1016/j.softx.2019.100385Kig[6] ， Dr. Geo [7] ） 以及 商业教 育软 件包 （ The Geometer 'sSketchpad，Cabri，Cinderella，NetPad）。所有这些都是为了与欧几里得几何-最古老的原型数学理论-一起工作而设计的。如今，它是第一个从一个大家庭的各种几何：仿射，射影，共形，黎曼等。KleinLie）是研究在一定传递群作用下不变性质的几何。MoebInv软件包使用分数线性变换（FLT）的不变量，其中包含莫比乌斯映射作为重要子集。该实现允许空间的任何关联的几何跨越2352-7110/©2019作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softx×⟨⟩2V.V. Kisil/SoftwareX 11（2020）100385一 个 广 泛 的 领 域 ， 包 括 共 形 [8 ， 第 9 章 ] ， 超 复 杂 [9] 和Liespheegemerries[10对于这些字段，该软件包有助于：实验和研究。自动定理证明和符号计算。可视化和交互式操作。精确的算法和高精度的数值计算。功能的编程扩展教育用途（从学校和大学开始），不需要任何编码技能。为了简单起见，我们用2 - 2复矩阵定义的复平面的分数线性变换（FLT）的基本和最直观的情况来说明本文。9]：（一个b）：z→az+b，其中z∈C且det（ab）n=0。易于编写和维护。第二个库图ma-nipulates合奏周期（二次曲面）相互关联的某些FLT不变的几何条件。如下一节所述，存在添加、修改和删除图的元素的方法。3. 软件框架库图实现了函数式编程框架-与流行软件包（如GeoGebra[4]、CaRMetal[5]、Kig[6]、Dr. Geo[7]）中使用的过程式方法形成对比。后者提供了一套固定的几何计算程序，例如“求区间中点”、“将垂线从一点拉到一条线”。相反，所有新周期在类中，图形通过定义关系列表添加，将新周期与现有周期联系起来。1c d cz+ dC d（一）3.1. 软件构架把一个循环系综看作一个图，可以说，一个FLT不变的对象家族将圆、线和点统一起来-在这个框架中，所有这些都被称为循环。循环之间的FLT不变关系包括关联性、正交性、正切性等。MoebInv软件包的效率基于数学形式主义[2，13]，其以统一的方式编码循环之间的各种不同的FLT不变关系。除了美学价值外，共形几何和计算机辅助设计[17]和生理模型[18]。2. 问题和背景从合成欧几里德几何的角度来看，一个循环（2D球体）是距离给定点（x0，y0）为R其解析描述被编码在二次方程中：k（x2+y2）−2lx− 2ny+m= 0，（2）其中，l=kx0，n=ky0，m=l2+n2−R2，对于任意的k=0。虽然理论上足够用于分析单圈处理单个顶点（圈），而图则考虑边（圈对之间的关系）和整个图。直觉上，与图书馆图形的交互会让人想起圆规和直尺的构造，其中新的线，点或圆通过与已经呈现的对象的关系一个接一个地添加到绘图中（例如，通过两点的直线、交点或具有给定圆心和一点的圆）。为了避免“先有鸡还是先有蛋”的困境，所有的循环都存储在一个世代的层次结构中，用整数编号。基本原则是：1. 任何明确定义的周期（即，与任何先前已知的循环无关的循环）被置于第0代;2. 任何新的循环定义的关系，以前的周期从世代k1，k2，.. .，kn被放置到生成k，计算如下：k= max（k1，k2，. . . ，k n）+1。（三）该规则有一个例外，即循环可能与其自身有关，例如各向同性（自正交性）条件线性在符号计算中产生快速增加的表达式复杂性，并且在数值计算中产生不断增长的舍入误差。直到最近才意识到[19，20]空间所有球面都具有一个FLT不变的内积，它自然地编码了许多基本的几何关系，其中正交性是最重要的。 此外，还有一组重要的FLT不变几何关系，例如切线、斯坦纳幂，它们一般是二次的。几个同时存在的二次关系的解析解可能非常复杂.幸运的是，有人观察到[2，21]，有可能减少这样的问题，只有一个二次关系和几个线性的一组。这样一个集合允许一个有效的算法解决方案，即使在符号设置中，这是MoebInv软件包的主干。更具体地说，第一个库循环[1，13，22]操纵GiNaC[23]计算机代数系统中的各个循环库循环中采用的数学形式主义基于Clifford代数和[19]，[25，§ 4.2]，[26]，[13，§ 4.2]。与平原相比，如果条件的数量或性质不足以唯一地定义循环（直到自然二次重数），那么循环将依赖于一些自由（符号）变量。3.2. 软件功能这两个库都能够在任何维数和度量的空间中工作，具有任意签名：Euclidean，Minkowski甚至退化。对象的参数可以是符号或数字，后者允许用精确或近似的算术计算。绘图程序可通过Asymptote[28]软件在二维空间中使用任何（椭圆、抛物线或双曲线）度量。有一种类似宏的工具，叫做子图。这样一个子图形本身就是一个图形，因此其内部的世代和关系的层次结构从当前图形中是不可见的。相反，当前图形的（任何代的）一些周期被用作子图形的第0代的预定义周期。然后，只有一个子图形的相关循环（称为结果）返回到当前图形。生成分析处理[11，27]，FSCc更有效，在处理FLT不变性质的周期概念上是一致的。相应地，基于FSCc的计算机代码1 事实上，把一个新周期的关系包括到它本身是可能的，也是有用的也例如，点由条件定义为自正交。······各种几何问题的解决方案，实际上它的非C， =0，指定点状循环。−=V.V. Kisil/SoftwareX 11（2020）1003853通过相同的公式（3）从输入循环的代计算结果的。有可能测试某些条件（例如，“两个循环是正交的吗？”）或测量某些量（例如，“它们的相交角是多少？”）对于已经定义的周期。特别地，这种方法可以用来证明根据笛卡尔程序的几何状态，即用纯代数操作代替除了C++库之外，还有一个Python包装器，可以在交互模式下使用。它可以通过云计算在几个主机上访问[29，30]与样本的Xueyter笔记本电脑。有图形用户界面（GUI），允许通过鼠标点击创建图形。通过数据交换例程将Python/Python和GUI双向有两种格式-点空间和圈空间的顶点不需要重合。类似的双度量模型最近被用来解决量子霍尔效应[31]。4. 说明性实例作为一个基本的演示，我们分析证明的几何陈述，从萨特笔记本[29，30].设P是圈a与其切线l的接触点。我们将证明到点P的圈a的半径r与直线l正交。为了简化设置，我们假设a是单位圆。首先，我们需要加载库（假设已经完成了一些工作）。[1]：从图导入*然后，我们用默认的欧几里得度量初始化一个图F[2]：F=figure（）我们通过指定其二次方程的显式系数（1， 0， 0，−1）将单位圆a添加到图（二）：1·（x2+ y2）− 0·x − 0·y − 1 = 0。‘0,*sin（t_l）*sqrt（512）]]，1 '，‘0,*sin（t_l）*sqrt（2）*sqrt（512）]]，1 '，‘0,*sin（t_l）*sqrt（2）*sqrt（512）]]{1，1 '，1}-->（）;<--（a| t，infty|不，我|r）在7个cycle_nodes中总共10个循环。注意，线l的参数化使用三角函数，以避免平方根出现在二次相切关系的解中。有了这样的替换，代数表达式的自动简化就更有效了。在下一步中，我们添加圆a和直线l的接触点P。如果一个点与一个圈正交，则该点属于该圈在所有的循环中，一个点的特征也在于它自身的正交性。为了定义后一个自反条件，我们需要[6]：最后我们加上经过P的半径r：它是一条直线（与无穷大正交），并且经过P和C（与它们都正交）。[7]：r=F. add_cycle_rel（[is_orthogonal（P），is_orthogonal（C），\is_orthogonal（F.get_infinity（））]，“r”）回想一下，r依赖于与l相同的自由参数。现在，我们检查r和l之间的正交关系。由于上述条件中的两个是二次的（即，相切性和自正交性），它们中的每一个都使解的数量加倍。因此，有四个循环r的实例，并且分别检查每个【8】：[3]：a=F. add_cycle（cycle2D（1，[0，0]，-1），“a“）然后，我们添加a的中心C作为特定点：[4]：C=F。add_point（cycle2D（F. get_cycle（a）[0]）。center（），“C“）现在，我们要添加一条与a相切的直线l。直线在循环中，它的特征是与无穷大正交直线l不是唯一地由这两个条件（相切和正交）定义的，因为它与a的接触点可以是任意的。因此，它的系数包含一个自由变量，如t_l，如图1所示。【5】：C-（0）：C-（1）：infty：R：C：（）;<--（C/o，infty| d，C-（0）|o，C-（1）|o）的a：
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