埃及数学学会：纤维丛及其同伦理论的应用

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，295埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于纤维丛SulimanDawood，AdemKılovec Mülman*地址：43400 UPM，Serdang，Selangor，Malaysia接收日期：2012年9月18日;修订日期：2013年1月7日;接受日期：2013年2月23日2013年4月11日在线提供本文证明了在多面体空间悬置上的纤维丛理论中起重要作用数学主题分类：53 D28; 55 R10; 52 B70; 14 F35？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍纤维化理论是由Hurewicz提出的，它被认为是代数拓扑学的重要组成部分。特别是，同伦理论的拓扑空间有许多应用，在文献中有几种类型的推广。这个理论的主要问题是一个分类问题：在什么条件下，在一个公共基上的两个纤维化是纤维同伦等价的？这个问题的大多数解依赖于提升问题的解，该提升问题涉及纤维理论中Curtis-Hurewicz定理*通讯作者。电子邮件地址：akilicman@putra.upmedu.my。KılcMülman）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier[1]是提升问题的著名解之一，而最后一个定理要求在两个Hurewich映射的全空间之间找到一个纤维映射，使得这个纤维映射在某些纤维空间上的限制必须是同伦等价的。此外，发展同伦理论的拓扑空间，Zvonko介绍了定义同伦理论的拓扑半群，见[9]。然后，他把拓扑空间同伦理论的一些性质推广到拓扑半群同伦理论的类似结构，如可压缩性、收缩性、路径连通性和同伦控制性。此外，他在拓扑半群的同伦理论中引入了Hurewicz纤维化的概念，专门作为定义（S纤维化），而没有提及其性质，如提升函数，纤维同伦和同伦扩张性质。在本工作中，我们研究并证明了多面体性质的同伦等价关系，在多面体空间的悬置上的纤维丛理论中起着重要作用。在本文中，1110- 256 X？2013制作和主办Elsevier B. V. 埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.02.014关键词纤维化;纤维丛;多面体;同伦296S. Dawood，A. 基勒茨·基勒曼Bo12B2222JB◦！2 2\JB22ð Þ ¼◦222人Bo◦1Bo2g2。HFbo;HFb使得Hk1OH K2 gH F bo; Fbo当量。，则P1和P2是纤维同伦.-1Oj.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.2121bo紧开拓扑同样，符号。意思是“同伦关系"对于空间X中的路径a，我们使用符号<$a来表示a 的逆路径。In且k（x0）=y0. 因此，我们注意到每一纤维束c=（E，P，B，F，G）是正则的局部Hurewicz纤维化，如果B是仿紧的，则c是Hurewicz纤维化。H-纤维化，如果P：EfB，则我们记为PjP-1<$A<$ ：P-1A！ 一更多详情，请参见[1，4，5]。因此，我们有以下理论--P-1职等e为eP其中A是B的一个子空间。首先，我们有下面的定理，它在[2]中得到了证明。定理1.1. 设X，Y，Z是拓扑空间.如果X是局部紧的正则空间，则映射H：ZfY X总是通过定义F（z，x）= H（z）（x）对所有x2X，z2 Z产生映射F：Z · X f Y。为了在振动理论中引入Sf函数的概念，我们有以下定义：定义1.2.设P：EfB是一个H-纤维化，其提升函数为a，纤维空间F b<$P-1<$b ob，其中b o2B.由k诱导的P的Sf-函数是一个映射Hk：L<$B;b o <$×F bo！F bo，定 义 为H k（a，e）=k（e，a）（1），对于所有e2F bo;a2L<$B;b o <$，其中L（B，b o）是基于b o的B中所有循环的集合。rem，参见[6]。定理1.6. 设Sn是Rn +1中的n-球面，其中n> 0是正整数. 则对于纤维丛c =（E，P，Sn，F，G），存在特征映射l：（Sn-1，xo）fi（G，e）.现在我们回想一下球面Sn上的纤维丛中的Dold定理1.7（Dold设c=（E，P，Sn，F，G）和c0=（E0，P0，Sn，F0，G0）是球面Sn上两个具有局部紧纤维F和F0 的 纤 维 丛. 设l：（Sn-1，xo）fi（G，e）和l0：（Sn-1，xo）fi（G0，e0）分 别是 c和c0的特征映射，进一步设i：GfiH（F，F）和i0：G0fiH（F0，F0）是包含映射.则c和c0是纤维同伦等价的当且仅当存在同伦等价g：F fiF0使得映射qxgilxg和 q0xi0l0x定义1.3.设P1：E1fB和P2：E2fB是两个H-纤维，其纤维空间为F1<$P-1b o和F2<$P-1b o，其中b o2B. Sf-函数Hk：L<$B;bo<$×F1！F和Hk2：LB; bo×Fbo！FBO 称之为共轭，如果有H F1;F2是F1中所有同伦等价的集合Sn-1到H（F0，F0）是同伦的.定义1.8.设X是任意空间，xo是X中的一个基点.X的悬置S（X）定义为X · I的商空间，其中对于所有x 2 X（x，0），X（x，0）被标识为（x，0），并且S（x，0）是X·I的商空间。Bo进入F2OBo而g′表示g的同伦逆。Bo注意，如果我们使用sus，Dold下一个定理在[3]中得到了证明。定理1.4. 设B是一个多面体，是两个子多面体B1和B2的并，使得B1是B中的一个可缩点bo2B1\B2不动，B2也是一个可缩点bo，B1\B2是B 的 子多面体. 如果P 1：E 1fB，用多面体空间代替n-球面Sn作为丛的基，并分别在[6]和[7]定理1.9. n-球面Sn的悬置S（Sn）与球面Sn +1同胚，其中n>0为正整数.P：E∈ B是两个具有共轭Sf-函数H的H-振动2二、121定义1.5.设E、B和F是空间。设P：E∈B是E到B的映射，G是F到F的所有同胚的群，其二元复合运算为π.则称c=（E，P，B，F，G）是基B上的纤维丛，如果存在开覆盖{V j：jx}，其中x是索引集，对于每个JX，那里是一同胚hj：V j·FfiP-1（V j）（称为坐标函数），使得：(i) P[hj（b，y）]=b，对于所有bV j，y F.(ii) 对于每一对i，j，x和b，ViV·J，那个同性恋-phism h-1hib：FF对应于G的一个元素，其中hkb：F∈P-1 （b ）定义为：对于所有b V k ，y F，hkb（y）= hk（b，y），且k= i，j。(iii) 对于每对i，jx，函数g ij：V i 由g ij bh-1hib给出的Vj f G是连续的（称为坐标变换）。在纤维丛c=（E，P，B，F，G）中，我们将用e表示群G的单位元，用g-1表示逆元g G，我们的意思是从X到Y的映射k：（X，xo）f（Y，yo）2. SF-函数与纤维丛本文证明了Sf-函数在纤维丛理论中，特别是在多面体空间悬置上的定理（1.4）与Dold定理之间的纤维同伦等价关系中的作用由于Dold因此定理（1.6）对多面体空间的悬置也是有效的.也就是说，对于一个纤维丛c=（E，f，S（X），F，G）在多面体空间X的悬置S（X）上，存在一个特征映射l：（X，xo）fi（G，e）.在下面的定理中，我们将证明这个定理的逆定理对于任何空间X的悬置S（X）也是成立的。定理2.1. 设G是空间F的所有同胚所构成的群，其二 元 复合运算是一般的. 现在如果有一个映射l：（X，x o）fi（G，e），那么也有一个S（X）上的丛E和一个映射P：EfiS（X）使得c=（E，P，S（X），F，G）是一个纤维丛。O将（x，1）等价于（xo，1），将X·{1/2}等价于X。定理1.10. 如果X是一个多面体空间，则S（X）也是多面体空间关于纤维丛297[\222221◦◦0证据 根据S（X）的定义，我们可以把S（X）看作两个锥的并，其中一个锥为C0（X）= X·[0 ，1/2] ，（x，0）为（xo，0），另一个锥为C1（X）= X·[1/2，1]，（x，1）为（ xo ，1）.设 V1=C0 （X）且 V2= C1（X），则S（X）=V1V2，存在一个收缩r：V1V2fix。现在定义地图gii：Vi！G;giixe8x2Vi;Vi¼1;2V i;G12：V1\V2！G;g12 × 10 - 15 × 10 - 15 × 10 - 15 × 10 - 158x2V1\V2;和定理2.3. 设c =（E，P，B，F，G）是一个纤维丛，其中有一个提升函数k，其纤维F是局部紧的. 则函数/：L（B，bo）fIFF，由下式给出：/wxHw;x8w2L<$B; bo<$; x2F;是从L（B，bo）到G的映射。证据因为F是局部紧的，那么根据定理（1.1），函数f是连续的。对于w B I，令Fw（0）=P-1（w（0）），令Fw（1）=P-1（w（1））。 则映射A：F w（0）fiF w（1）由下式给出：21国集团V1\V2！ G;g21 1000克12x8x2V1\V2：A× 100 × 200× 200×200×200设J={1，2}是具有离散拓扑的空间，TcS（X）·F·J是由下式定义的集合T/f=x; y; j=x2Vj;y2F; j2Jg：在T上定义一个等价关系x1;y1;j和gkjx1y1y2;其中（x1，y1，j），（x2，y2，k）T.然后设E为用商拓扑得到的等价类的集合.因此，定义一个映射P：E∈S（X），P= 1/2x;y;j= 1/2x 8½x; y; j]2E;而映射hj：Vj·FfP-1（Vj）定义为：hjx;y½x;y;j]8 x; y2Vj×F：因此很清楚c=（E，P，S（X），F，G）是纤维丛。H定理2.2. 设P：E ∈ B是具有局部紧纤维的H-纤维化F=P-1（b o），其中b oB.那么函数/：L（B，bo）fIFF，由下式给出：/wxHw;x8w2LLB;bo;x2F;是L（B，b0）到H（F，F）的连续函数证据因为F是局部紧的，并且是Hausdorff的，所以F是正则的。因此，根据定理（1.1），函数f是连续的。现在我们将证明对于w2L（B，bo），f（w）是从F到F的同伦等价.对 于 w2L （ B ， b o ） ， 我 们 可 以 定 义 一 个 映 射 /w ：F！F由/wxHw<$;x8x2F：然后我们得到了半/w/w]xk;w<$1;w]18x2F;和/w/w] xk;w 1;w<$]18x2F：[2][3][4][5][6][7][8][9][10]/w/w'i F和 /w/w因此，/（w）：FfF是同伦等价的，即，/（w）2H（F，F）. 因此 /是 一 地图 从 L（B，bo）为是同胚的，因为它是从同胚的坐标函数的合成得到的。因此，f是从L（B，bo）到G的映射。H为了证明定理（1.4）和Dold定理之间的等价形式对于任何具有不动点xoE的空间E，存在一个圆锥映射w：EfL（S（E），xo）。然后考虑S（E）作为两个锥的并集，其中一个C0（E）= E·[0，1/2]，其中（x，0）标识为（x o，0），类似地，另一个C1（E）= E·[1/2，1]，其中（x，1）标识为（x o，1）。现在C0（E）可以收缩到x0，留下x固定，C（E）也是如此。对于x2E，设w（x）为C0（E）中x与x0之间的路径，w1（x）为x与x0之间的路径和x0在C1（E）中。定义圆锥映射w：EfilL（S（E），x o）：宽x高x宽1x高x宽0x高8x2E：设c=（E，P，S（X），F，G）且c0=（E0，P0，S（X），F0，G0）是在多面体空间X的公共悬挂基S（X）上的两个H纤维，它们分别具有局部紧纤维F和F0在下图中，如果我们l：X; xo ！G;e和 l0：X; xo！G0;e0是c和c0的特征映射，i：G！HF;F和i0：G0！HF0;F0是包含图。因此，利用定理（2.2）和（2.3），我们可以比较定理（1.4）和Dold定理，如下图所示。一曰：其中gH（F，F0）和w是圆锥映射.因此，-orem（1.4）可以根据/，/0和w重新表述为：两个H-映射c=（E，P，S（X），F，G）和c0=（E0，P0，S（X），F0，G0）是纤维同伦等价的当且仅当存在g2H（F，F0）使得两个映射mxgi/½wx]g;8x2X;和m0xi0/0½wx];8x2X;从X到H（F0，F0）是同伦的。现在如果/W。l和/0W.l0，则定理（1.4）与Dold定理等价。在下面的定理中，我们将证明所需的属性。H（F，F）. H298S. Dawood，A. 基勒茨·基勒曼我我2212我12- 是的Σ Σ211122图1定理1.4和Dold定理2.4. 设c=（E，P，S（X），F，G）是具有局部紧纤维F的多面体空间X的悬置S（X）上的纤维丛， 且允许一个提升函数k。让/：L（S（X），xo）fig是由下式给出的映射：/bxhb;x8b2 L LL LSLXL;xL;x2F：/n8个月b; x2个DP;x4个DP是映射/~：DP的同伦！F定义为/~b;xkkx;w21;w1]18个月b; x2个月DP：105个月也就是说，我们利用[8]中的引理（2.2），得到了/~' /<$ ，/ ~ 'H k.Ko因此然后， l，其中l：（X，xo）fi（G，e）是c的特征映射，w是圆锥映射。证据设B=S（X）=C0（X）[C1（X），B1=C0（X），且B2=C1（X）.很明显，xo2X=B1\B2。现在定义地图Hk现在从Eqs。（1）b¼w Hw;w2B;w 2B;gii：B i！ G;giix1;x2 B i ; x3 b i; x4b i ; x5 bi; x6 b i;x8g12：X！G;g12 ×10- 4l ×10-4 l8x2X;和k1y;w1111;y;1];和k2y;w21w21;y;2][1/2半宽2英寸1英寸;1英寸宽2英寸1英寸]：21国集团X！ G;g21[0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000008x2X：因此设J={1，2}是具有离散拓扑的空间，TcS（X）·F·J是定义为T¼fx;y;j：x2Bj;y2F;j2Jg：然后定义一个等价关系x1;y1;j 和 gkjx1y1y2;其中（x1，y1，j），（x2，y2，k）T.现在回忆定理（2.1），E的点被标识为所有三元组（x，y，j）T的等价类。 因此，由下式给出的映射e j：B j·FfiP-1（B j）为：/n[1/1/2× 0;l×w2×1/2 ×1]l1/4lb1=2y：<$设L<$S<$X<$;xo<$是DP在L（S（X），xo）上的投影，/：LSX; xo！ G是由下式给出的映射：/<$b x/<$b;x8b2 L LL LSLXL; xoL; x2F：然后是EQ。（6）、/sjx;y½x;y;j]8x; y2Bj×F;1<$是表示三元组（x，y，j）的等价类的纤维同胚因此，我们将y=[（xo，y，j）]，其中j=1，2。因此，我们可以分别为纤维化P<$B1和P<$B2定义提升函数k1和k2，如下所示：D1P¼fe;w2E×BI：Pew0g;D2P¼fe;w2E×BI：Pew0g;DP¼fb;x2LB;bo×F：bw2Hw1;其中wi2BIk1e;ws1½wt;wp2s-1e]8e;w2D1P;2和k2e;ws2wte;p2s-1e8e;w2D2P;3e其中P2是第二投影。因为k是c的提升函数，所以它也是P<$B1和P<$B2的提升函数。因此k。 k1在D1P上，k.K2关于D2P 这张地图就是：DP！F由下式给出关于纤维丛299◦¼ ◦/也就是说，西湖因此，W.L. 因此定理（1.4）和Dold定理是等价的。H确认作者对审稿人的认真和详细阅读以及对大大改进手稿的非常有用的建议表示诚挚的感谢。引用[1] W. Hurewicz，关于纤维空间的概念，Proc. Nat. USA 41（1955）956[2] E.H.张文，《代数拓扑学》，北京，北京，1966。[3] A. Saif，A. Mohammad，SY-纤维化的Sf-函数，远东J。数学Sci. 25（2）（2007）413[4] E. Fadell，On fiber homotopy equivalence，Duke Math.J.26（1965）699300S. Dawood，A. 基勒茨·基勒曼[5] E. Fadell，On Fiber Spaces，Trans. Am. Math.Soc.90（1965）1-14.[6] E.李文，球面丛的同伦理论，《数学学报》，第4卷，第196[7] D. Husemoller，Fiber Bundles，Springer-Verlag，NewYork，1978。[8] S.达伍德，A.G.B.艾哈迈德A. Saif，关于纤维化理论中的分类问题，远东数学科学杂志。 （FJMS）27（3）（2006）569[9] C.拓扑半群的同伦理论，Top。Appl. 123（2002）57