2012年埃及数学学会：精化Young不等式及其应用

2MPA-1]B-12r2S hh. þΣ埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems2-Journal of the Egyptian Mathematical Society（2012）20，46短通信具有Specht比的精化Young不等式古一茂156-8550，东京都世田谷区樱泉水3-25-40，日本大学人文科学部计算机科学与系统分析系2012年2月2日在线发布本文证明了m-加权算术平均数大于m-加权几何平均数与Specht作为推论，我们还证明了m-加权几何平均值大于m-加权调和平均值与Specht这些结果改进了经典的Young不等式，因为Specht通常大于1。此外，我们给出了一个算子不等式的正运营商，应用我们的refined Young不等式。2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍我们从著名的Young不等式开始：1-m对于正数a，b和m[0，1]，其中Specht1hh-1ðÞ÷1 ;对于正数a，b和m2[0，1]。不等式（1）也称为m-加权算术-几何平均不等式，文[1]用Specht如下所示eloghh-1对于正实数h。最近，基于改进的Young不等式[4，5]：1-mpa-p2ð3Þb;S. aa1-mbmP1-mamb2b对于正数a，b和m[0，1]，其中r我们证明了以下算子不等式：提案1 [6]。 对于m2 [0，1]和正算子A和B，电子邮件地址：furuichi@chs.nihon-u.ac.jp1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和主办：ElsevierB.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责我们有1-mPA]mBA B2-A]1= 2Bdoi：10.1016/j.joems.2011.12.010.. A-1型公司简介1个= 2个B-1P.1-m制作和主办：Elsevier关键词Specht算子平均与算子不等式-A-1]2T2ð Þ¼¼1H-121不S1-ð Þ¼2ΣΣMbm-12吨吨Mxylogx- logy<P2tt-1t-1-2tt-1t-1t-10：1000吨在最后一个不等式中，我们使用了limt！1t t-1¼e且函数t t-1在t [1，）上单调递减。我们也有f（1）=0，所以我们有f（t）P 0，它证明了下面的不等式：et1Pt1tt-1;tP1：具有以下特性。(i)当h > 0时，S（1）= 1且S（h）= S（1/h）> 1。(ii) S（h）是（1，）上的单调递增函数。(iii) S（h）是（0，1）上的单调递减函数我们用下面的引理来证明我们的定理。引理2. 对于xP1，我们有通过简单的计算将t1代入上述不等式，我们有es21Ps1ss1;0s6 1：Q<然后我们得到了如下不等式，它改进了经典的m-加权几何平均与m-加权算术平均之间的Young不等式定理1.对于a，b>0且m2[0，1]，200x- 100x-1. .布尔河x16logx6px：5001-mm1-m证据1. 我们首先证明（5）的第二个不等式。我们把pxt，其中r“min{ m，1- m } ans S（m）是Specht比率。证据3. 我们证明以下不等式t21ft-2 logt; logtP10：1000-1000米e/f/b-1/m/gMBMMlogbm P1 180然后我们就有了f0t。t-1型P0和f（1）= 0。我这样不b苏丹bb2— 1Þf（t）P不f（1）=0，则我们有logt26t2- 1，这意味着在06m 61的情况下。根据引理2，我们有第二个不等式（5）。我们也把gxx1logx-2x-1;xP1：然后我们有g1^0;g0x^logxx1-2;g01^0，logb m2P;b>0：B-1B þ1因此，我们有以下第一个不等式：efbb-1m1g logbm2efbb-1m 1g00x-1XmbmmPBMM mP1; P9gxx2 均p0. 因此，我们有g（x）Pg（1）=0，这是第一个不等式（5）。Hb— 1Þbþ1Þ因此，我们只需证明上述第二个不等式。为注意，引理2也可以通过下面的证明，这个目的，我们把下面的函数fb放在m20;1上三个平均值的关系对于b>0：pX-yX射线2fm 2eb-1m1MBMM-b1对于正实数x和y，其中x≠y。引理3. 对于t> 0，我们有然后我们有f00m¼-logbbm1000-1000et1pt1t-1：ð6Þ-我是说...bm-123bm1logbmbm1logbm2o：证据2.我们首先证明不等式（6）对tP1。对于b P 1的情况，使用不等式（5），我们有2224不MM：M2m222 m mm m m m m mM一BM2.！2米-1米1pp2-2一Ba1-mbm;06m6mX最小值1-m X最小值Pm最小值0小时6x6小时0m22mmM2mMmMm22mmbmSM-1=2-1=2M00一206x 6M48 S. 古市b-1备注1.定理1给出了两个变量的mm22mmM2mbm-1Pb-14b-5b-1-b-13bþ1Þbm=2下面的不等式也改进了加权几何平均和加权调和平均。. 200bm-1布雷布þ1Þbm推论1.对于正数a，b和m2[0，1]，我们有m=24m=232个月3米= 2米¼ðb-1Þðbþ1Þ ð 4bþbþ 4bþ1ÞP0:..好吧-1bm=2 bm1对于0b6 1的情况，使用不等式（5），我们还 0时，我们有f0 0 <$m<$60。另外我们有1-mPA]m B13B.1Σ.p- 是的ppbPPShr.1-mf b（0）= 0和f b2 --设引理3为t¼b/1bb-10，应用-P.1-mm2×0;1× 0。因此，我们有以下不等式0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000这意味mb1-mPSbmbm：在上面的不等式中用b代替b，然后乘以a对双方来说，其中m [0，1]，r“min{ m，1 m }，S（m）是Specht比，A]m B证据5. 根据定理1，我们有mx1-mPSxrxm对于任何x>0。因此我们有. . bm1最后，根据不等式（10），我们有对于正算子X，使得00：这里记X = A-1/2BA-1/2。在（i）的情况下，我们有h<$ABA 6 < $Ah。aSa 2然后我们有mm0把m=1-l放在上面的不等式中，我们有12mA-1=2BA-1=2BA-1-mIPminSxr. A-1=2BA-1=2μm：在上面的不等式中用a代替a，然后乘以b对双方来说，b>0。因此，我们有fb（m）P0，2001- 2002年12月23日;a;b>0：SxrXmm1-maPa1-mSa1-m;6m61;b> 0：MMB2161x6.a100-ma1-mbm;16m61;a;b> 0;.Σð1个月a由于S（x）是x>1的增函数，所以引理的（（ii）1)我们有mA-1=2BA-1=2BA-1-mIPSHHRR. A-1=2BA-1=2μm：1.16μm在（ii）的情况下，我们也有11/4m06A-1=2BA-1=26m1/4。那我们还有h0M0Mh因为S（1/h）=S（h），其中h>0，（引理1的（i））。这样，本定理的证明就完成了。HmA-1=2BA-1=2BA-1-mIPminSxr. A-1=2BA-1=2μm：h0h通过性质S（x）=S（1/x）（x>0）（引理1的（i）），nj¼1p，j，1和k，min{p，...，p，n }。如果我们假设XYY123具有Specht由于S（x）是0x 1（Lem-ma 1的（iii））的递减函数，我们有<<. 1美元。布勒姆hr在本节的最后，我们给出了关于n个实数的乘法型加细Young不等式的我们还没有找到证据。我们也没有发现任何反-mA-1=2BA-1=2mA1-mAIPSA-1=2BA-1=2：以下3变量情况的示例：w1a1w2a2w3a3PShraw1aw2aw3;18上述不等式与（16）相同。乘以A1/2从对于a2[m，M]，其中0mM，h≤maxfa1;a2;a3g<<和我不等式（16）的两边，我们得到不等式（12）。最小值fa1;a2;a3g不等式（14）可以通过将A和B替换为A-1和B-1，分别在第一个不等式中，并取其相反。不等式（13）和不等式（15）是平凡的，这是由于当x > 0时的Specht比S（x）P1的性质H3. 结论我们证明了具有Specht比的实数的精化Young不等式。应用这些不等式，我们得到了它们的算子形式的不等式，它们改进了经典的Young算子不等式，正如我们以前在命题1中所做的那样（见[6]）。因此，我们对经典的Young不等式（4）有两种不同的改进。在标量不等式（3）和（7）的基础上，得到了两类算子不等式.在文[6]中，我们证明了n个实数的加法型加细Young不等式第二部分[6]。设a1，· ··，annP0和p1，· ··，pn>0，重数k为1，则我们有r“min{w1，w2，w3}，其中w1>0且w1+w2+w3=1。问题 关于乘法型 饰Youngn个实数的不等式将是我们今后的工作。引用[1] M.李明，李永。55（2002）583[2] W. Specht，Zer Theorie der elementaren Mittel，Math.Z. 74（1960）91[3] J.I.藤井S. Izumino，Y.徐，正算子的行列式和Specht定理，科学数学，日本。1（1998）307-310。[4] N.A. Bobylev和M.A. Krasnoselsky，《退化病例分析》，莫斯科，预印本，1981年，52页（俄文）。[5] F. Kittaneh ， Y. Manasrah ， Improved Young and Heinzinequalities for matrices，J.Math.Anal.Appl. 36（2010）262-269.[6] S. Furuichi ， 关 于 精 化 Young 不 等 式 和 反 向 不 等 式 ，J.Math.Ineq. 5（2011）21[7] T. Furuta，M.杨田，正算子反演的广义平均和凸性，数学学报，1996（1998）258[8]T.Furuta， 邀请 到 线性 操作员： 从 矩阵以上有界线性算子 希尔伯特 空间， 泰勒和nnp a-apiP nk .1Xnna-a1=n！;2017年弗朗西斯，2002年。[9] F. Kubo，T.安藤，正算子的平均，数学。Ann. 264我我1/1我1/1ni1/1我1/1（1980）205[10] F.C.三鸟，关于的精度在等式当且仅当a1 =·· ·= an。基于上述不等式（或詹森型不等式[12]）的最新发展见[10，11]同样值得注意的是，我们不需要假设达到k的重数是1，只证明不等式（17）。这个假设与平等条件有关。不平等，克拉约瓦大学年鉴，数学。Sci. 37（2010）73[11] J.M. Aldaz，算术平均数与几何平均数之间差异的比较，淡江数学杂志，42（2011）445[12] S.S.张文龙，张文龙，张文龙