...2Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）355原创文章求解二阶初值问题伊曼·H 易卜拉欣Ain Shams大学，妇女艺术、科学和教育学院，埃及开罗Ar ticlei n f o ab st ract文章历史记录：2016年9月27日收到2017年3月15日修订2017年3月25日接受2017年4月25日在线发布数学学科分类：65L05-65L20-34L保留字：混合方法周期区间P-稳定性相位滞后本文提出了一种新的参数混合线性多步法，它具有离步点，使其具有高阶P-稳定性。对该方法的稳定性进行了分析，并绘出了稳定域。通过对参数的合理选择，最后，进行了数值试验© 2017埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍本文将研究特殊二阶初值或边值问题的数值解。这些问题可以写成：yrr（x）=f（x，y（x）），y（x0）=y0和yr（x0）=yr0（1）周期性和/或振荡的解决方案，其中一阶导数不显式出现。文[1-4]给出了具有最小相位滞后的多步相位拟合方法相位滞后或色 散 误 差 的 分 析 最 早 是 由 Mrsica 和 Nigro[5] 介 绍 的 。Thomas[6]、Ibrahim[7]等作者详细研究了求解（1）的数值方法的相位滞后问题。几位作者[8-在第二节中，介绍了一种参数混合多步法和一些定义。此外，还给出了新方法的收敛阶理论和非对称k步方法的相位滞后分析理论，以及新方法的相位滞后计算的直接公式。第三节研究了参数混合多步法的特殊情况及其相位滞后阶数。第四节讨论了这些特殊情况下周期分析的稳定性和周期间隔。数值试验在第5节中解决。最后给出结论和两个附录A、B.2. 参数混合多步法多步法的一般形式是新方法的发展是基于良好的参数选择，以获得更高的代数阶的方法，提高相位滞后阶和最大可能Kαiyi=0时n+IK=h2βifi=0时n+I 、（二）周期性的间隔。天文学、天体物理学、量子力学等方面的许多问题，具有本研究感兴趣的类型的数学模型。所构造的方法是耗散多步混合方法的一种其中k是步数，αi和βi是常数。考虑可以写成以下形式的多步方法：K加入多自由度参数消除相位滞后放大误差。αiyi=0时n+I =hβk（fn+k-βsfn+s）的。（三）电子邮件地址：imanhfz. gmail.com这些方法被用于形式（1）的初值问题（IVP）的近似解。相关公式http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2017.03.0081110- 256 X/© 2017埃及数学学会。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页：www.elsevier.com/locate/joems2.2..00n356I.H. Ibrahim/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）355描述混合点（离点）的公式如下：比较（11和12），我们得到以下定义[12]。yn+s =hμfn+KK+vj=0k−j yn+k −j 、（四）定义1. 差1−a（ω）称为耗散误差。其中，xn+s=xn+sh，μ和νi，i=0（ 1）k是常数，选择它们使得（3）和（4）分别具有阶p=k+1和p=k−为了得到公式（4），对于二重节点xn + k和简单节点xn + k −1，. . .，x0已被用于评估yn+s在失步点处的值。定理1. 设（i）公式（3）的阶数为k+1，（ii）公式（4）的阶数为k−1。然后，对于k + 1，公式（3 - 4）的收敛性证据 局部截断误差方程。（4）k-1阶为定义2. 差值θ（ω）−ω称为色散误差或相位滞后。将方法（3-4）应用于测试Eq. (10)在y和y r上具有非平凡的初始条件，得到下面的差分方程：KAi（H）yn+i=0，（13）i=0时其中H=ωh，h是步长，Aj（H），j=0（ 1）m是H的多项式，由下式给出：k（ k）K+1Ak（H）=αk+H2βk（1−βsνk）+H4βkβsμy（xn+s）−yn+s =C1h y（xn）+O（h），（5）A（H）=α−Hβ β ν，j = 0（1）k − 1。J其中xn+s=xn+s h，0sk为显式混合公式，< 2ν0> 0（4− 16ν0+16ν2− 4 s+8ν0s+s2）/（−32+16s）3（−5+6 s）/1211μ+ν012 −2+s3免费4（33）60年代22 s2）/（1321 44秒） 2（11 + 6（−3+s）秒）12（−3+s）（−11+ 18s）1（30磅）1743 s> 3+120s+ 275μs−47s+ 6s）/（242− 396s+ 132s2）（−16，329+211，174）/75（−12s+4s2）/774（33−60s+22s2）/（−132+144s）2（11+6（−3+s）s）/12（−3+s）（−11+18s）（0，∞）33.5-. 1-。24（33−60s+22s2）/（−132+144s）24自由5−310+s（698+s（−424+75s））3−（1650μ+1800ν0+（−4+s）（140+s（−127+26s）41， 396，7−3，1925， 531， 21，，239， 264， 727， 79，+ 5， 651，957，+ 25， 531， 21，3，（−9，0， 7， 38，， 653，+，231，， 86， 9，， 255，， 31， 21，）75（23） + 2 s（−20+7s））5−310+s（698 +s（−424 +75秒））360（−4+s）（5+ 4（−2+s）s）6−，640，241，5−31， 3，， 255，， 31， 21，六十，九十二45， 217， 826，137， 602， 260， 891，306， 8875（23） + 2 s（−20 +7s））（41100μ−49320ν0+（−5+s）1， 662， 064，911， 3643， 969，971， 20（0，∞）5自由（−5+s）（−6831916+8481775s−3226180s2+382470s3）/ 9459576025215s27043s28800s3 880s41051064（−3562+5s（845+ s（−302+33s）/（15（−5+s）（−301 4+s（6623+s（−3923+675s）441100μ−49320ν0+（−5+s）（−3562+5s（845+ s（−302+33s）180（−5+ s）（−274+ 75 s（ 9+（−5+ s）6−（−1876900+3s（ 809110+ s（−306508+ 35025s）2071440（−274+ 75秒（9+（−5+秒）55.5 0.1 0.1441100μ−49320ν0+（−5+s）（−3562+5s（845+ s（−302+33s）180（−5+ s）（−274+ 75 s（ 9+（−5+ s）（6.84013，∞）358I.H. Ibrahim/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）3553）免费免费5902223121/7219/5184−19/34564−1343/2 5，9205613/6、350、400（0，1.0042）（1452μ+ 484μ2− 99s− 1309μs44.5-0.1μ>237，61455免费免费免费6I.H. Ibrahim/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）355-362359图1.一、方法（3-4）的绝对稳定域，k = 2，参数取值不同。图二、方法（3-4 ）的绝对稳定域，k = 3，参数取值不同。图3.第三章。方法（3-4）的绝对稳定域，k = 4，参数取值不同。Re（z）= 0和区域|ζ |≤ 1变为Re（z）≤ 0，这将（27）变换为π（z，H2）=d2（ H2） z2+d1（ H2）z+d0（ H2），（4（−2+ s）+（ 2− 4ν0−s）H2+μH4）图图1- 4分别针对具有不同参数值的各个步骤k（k = 2-5）。d2=d1=2μH4s −2，d0=、s− 2（−2+s）H2+μH4s−2（二十八）5. 数值试验5.1. 测试1对 于 s>2 （ 超 隐 式 关 闭 点 ） ， ν0>0 且 μ>（4−16ν0+16ν02−4s+8ν0s+s22）/（− 32+1 6s），内val的渐近性为（0，∞），因此在上述关系下，方法（18-19）将是P-稳定的k = 2-5的方法（3为了获得绝对稳定的区域，我们应用边界轨迹法对方程。（ 十四）、绝对稳定区域绘制在变系数yrr = −4x2y+（4 x2−ω2）sin ω x − 2 sin x2，y（0）= 1且y r（0）=ω，x ∈ [0，απ]。解析解为y（x）= sin（ωx）+cos（x2），ω=10。.360I.H. Ibrahim/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）355图四、方法（3-4）的绝对稳定区域，k = 5，具有不同的参数值。图五、对于不同的h值，通过方法（3-4）进行的试验4的绝对误差：（a）k=2，（b）k=3，（c）k=4。图六、对于不同的k值，采用方法（3，4）的试验4的绝对误差：（a）h = Pi/100，（b）h = Pi/500（c）h =Pi/1000。0KI.H. Ibrahim/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）355-362361表3测试1的绝对误差。h X sμ ν0绝对误差绝对误差方法（30.01 5 1.9 0.2 0.2 1.28139E−4 2.68222E−50.001 5 2.41227 E−10 2.6681 E −9表5测试3的绝对误差。h x sμ ν0绝对误差绝对误差第（300110121/72-19/34561 9 /5184 5.53521− 40.00110 2.12927E−95.45108E−85.2.测试2（扰动系统）6. 结论rr2y1y2rry2−y2本文提出了一种新的具有高阶相位滞后的混合参数法。新方法的研究y1= −100y1−+f1，y2= −25y2−+f2y2+ y2y2+ y2包括：1.方法的构造，2。的研究1 2 12截断误差，3.为自由的价值观使用好的选择f1=f2=2cos（10x）sin（5x）+2ε（sin（5x）sin（x）−cos（10x）cos（x））−ε2sin（2x））（cos2（10x）+sin2（5x）+2ε（sin（x）cos（10x）−cos（x）sin（5x））+ε2）+99εsin（x），cos2（10x）sin2（5x）+2ε（sin（x）cos（10 x）−cos（x）sin（5x））−ε2sin（2x））（cos2（10x）+sin2（5x）+2ε（sin（x）cos（10x）−cos（x）sin（5x））+ε2）-24 ε cos（x）。参数，以提高相位滞后误差的阶数，4.研究的稳定性分析和周期性的间隔列在表2中，并表明，对于某些值的参数-将 周期性的间隔定义为（0，∞），即，该方法是P-稳定的。最后，对试验问题进行了求解，并给出了计算结果.使用方法（3-4）比使用Numerov方法（29）的绝对误差得到改善，因为对于测试1和3中的问题，步长h减小。尽管在试验2中，扰动系统的误差与Numerov方法（29）的误差相当，但当前方法的潜力仍然是显而易见的解析解为：y1（x）=cos（ 10x）+ε sin（x），y2（x）=sin（5 x）−ε cos（x），x0= 0，x e= 10。5.3. 测试3考虑非齐次方程，[15]，y rr= −φ2y+（φ2− 1）sin（x）x≥ 0，y（0）= 1，yr（0）= 11，与确切解y（x）= cos（φ x）+sin（φ x）+sin（x），φ>> 1。这是一个非齐次方程，其精确解由一个快、慢振荡函数组成，慢振荡函数是由非齐次项引起的。在我们的数字例如，我们取x=10，x∈ [0，5]。5.4. 测试4考虑在[0，100π]上求解的非线性杜氏方程，当比较测试1和3中的误差时，（表3致谢作者要感谢匿名审稿人的努力和时间来审查这篇论文，并对他们的宝贵意见和见解表示最深切的感谢，这些意见和见解有助于改进这篇论文。我也很高兴地感谢埃及数学学会对这篇论文的兴趣和合作，他们都提出了许多有用的建议，帮助我以最终的形式发表了这篇论文附录A定理2的证明 设ε=e（iθH），则（14）变为，yrr（x）+ y（ x）+y3（x）= Bcos（▲x），其中▲=1.01，B=0.002。我们使用以下作为精确解Ak（H）e（i kθ（H）） +Ak−1（H）e（i（k−1）θ（H））y（x）= 0。20017947753661852 cos（ x）+0。246946143255583824 ×10−3 cos（ 3x）+0。304014985249× 10−6 cos（ 5x）+0。374349084378× 10−9 cos（ 7x）+0。460964452× 10 −12 cos（9x）+0. 5676× 10 −15cos（1x）。通过具有步长k = 3的多步法（3-4）和采用以下形式的四阶Numerov方法来求解测试12加... + A1（H）e（i θ（H））+A0（H）= 0，I. e. A k（H）cos（k θ（H））+Ak−1（H）cos（（k − 1）θ（H））加... + A1（H）cos（θ（H））+A0（H）+i（Ak（ H） sin（ kθ（ H））+Ak−1（H） sin（（ k− 1）θ（ H））加... + A1（H）sin（θ（H）= 0。使用（17），上述等式变为：Ak（ H）（ cos（ kH）+Ck2Hq+2+O（Hq+3））+ Ak−1（ H）（ cos（（k − 1） H）+C（k − 1）2H q+2+ O（H q+3））+. . . + A（H）（cos（H）+CH q+2yn+1-2yn+yn−1 =h（f n+1 +10fn +fn−1 第十二届（二十九）1+O（Hq+3））+A（H）+i（A（H）（sin（k H）−CkHq+1+O（Hq+2））h的值 图 5、绝对误差用对于相同的k（k= 2+Ak−1（H）（sin（（k −1）H）−C（k−1）Hq+1+O（Hq+2））加...+ A 1（H）（sin（H）− C H q+1+ O（H q+2）= 0。I. e.Ak（ H） cos（ k H）+ Ak−1（ H） cos（（ k− 1） H）表4测试2的绝对误差。21绝对误差（3绝对误差（34）HXSμν0y1的绝对误差y2的绝对误差y1的绝对误差y2的绝对误差0.01 10 121/72-19/3456 19/5184 2.2484E−81.20384 E −92.09581 E −8 1.33617 E −90.001 10 2.51763E−4 1.33186 E −5 2.30107 E −4 1.25844 E −5+12 H（274+ 15（−5+s）s（9+（−5+s）s））362I.H. Ibrahim/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）355表6方程中 的系数Ai（H）（ 13）对于k = 4和k = 5。k= 4 k= 5A（H 2）A（H 2）=− 120 H2n0+（−4+s）（115 + 2s（−52+11s））。−3288H 2n0+3014−2s（1771 + s（−649+75s））。0 05（−4+ s）（ 23+ 2s（−20+ 7s））（−5+s）（−3014+s（6623+ s（−3923+675s）−3014+s（6623+ s（−3923+675 s））A（H2）−20 H2（6 m − 24 n0 −（−4+s）（−3+s）（−2+s））+16（−4+s）（25+ s（−29+7s）），−137 H2（− 22 m − 120 n0+（−5+s）（−4+s）（−3+s）（−2+s））+−11782+s（17551− 7315s+915 s2），15（−4+ s）（ 23+ 2s（−20+ 7s））（−5+s）（−3014+s（6623+ s（−3923+675s）−3014+s（6623+ s（−3923+675 s））A（H2）6（10H2（8m−12n0−（−4+s）（−3+s）（−1+s））+（−4+s）（95+ 2s（−68+19s），−548H2（28m+60n0−（−5+s）（−4+s）（−3+s）（−1+s））−4（−5069+s（9101+ 5s（−859+117s），25（−4+ s）（ 23+ 2s（−20+ 7s））（−5+s）（−3014+s（6623+ s（−3923+675s）−3014+s（6623+ s（−3923+675 s））A（H2）4（− 15 H2（10m−8n0−（−4+s）（−2+s）（−1+s））−4（−4+s）（25+ s（−41+13s）， −822 H2（−38m−40n0+（−5+s）（−4+s）（−2+s）（−1+s））+−20276+2s（20473+ 5s（−2153+321s）），35（−4+ s）（ 23+ 2s（−20+ 7s））（−5+s）（−3014+s（6623+ s（−3923+675s）−3014+s（6623+ s（−3923+675 s））A（H2）120 H4 m+ 4H2（60 m − 30 n0+（−4+s）（−2+s）s）+5（−4+s）（23+ 2s（−20+7s）），−548 H2（52 m+30 n0 −（−5+s）（−3+s）（−2+s）（−1+s））+11782−2s（12587+ 5s（−1429+231 s）），4A（H2）05（−4+s）（23+ 2s（−20+7s））（−5+s）（−3014+s（6623+ s（−3923+675s）13288H4米（−5+s）（−3014+ s（ 6623+ s（−3923+ 675s）−3014+s（6623+ s（−3923+675 s））137 H2（− 70 m − 24 n0+（−4+s）（−3+s）（−2+s）（−1+s））（−5+s）（−3014+s（6623+ s（−3923+675s）52（−5+s）（−3014+s（6623+ s（−3923+675s），加... + A1（H）cos（H）+A0（H）+i（Ak（H）sin（kH）+ A k−1（H）sin（（k − 1）H）+. + A 1（H）sin（H））-iCH q+1（k A k（H）+（k − 1）A k−1（H）+. + A1（H））+H q+2（C k2 A k（H）+C（k − 1）2 A k−1（H）+.+ C A 1（H）[2] A. Kongutsof，T.E. Simos，混合对称四步法数值解薛定谔方程的生成器，J.COMPUT。 158（2003）93-106。[3] A. Kongutsof，T.E. Simos，数值解的新两步混合方法，薛定谔方程，J. 数学Chem. 52（3）（2014）833[4] H. Van de Vyver，相位拟合和放大拟合两步混合方法+i（Ak（ H）+ Ak−1（H）+.+ A1（H）+O（Hq+3）= 0。对于y“= f（x，y），J. Comput. Appl. 数学209（1）（2007）33[5] L. 卡拉湖Nigro，一种直接积分结构模的一步法因此，CHq+1−O（Hq+2）−O（Hq+3）=（Ak（ H） cos（ k H）+A k−1（H）cos（（k − 1）H）+.+ A 1（H）cos（H）+A0（H）+i（Ak（ H） sin（ k H）+ Ak−1（ H） sin（（ k−1） H）加...+ A 1（H）sin（H））/（k A k（H）+（k − 1）A k−1（H）加... +A1（H））。则CHq+1−O（Hq+2）=（Ak（ H） e（i k H）+Ak−1（H） e（i（k−1）H）（i H））动力学方程，Int. J. 数字。方法工程15（5）（1980）685[6] R.M.高伟，高阶几乎P稳定公式的相位性质，北京理工大学学报，2000，（1984）：225-238。[7] I.H.张文，解周期初值问题的参数类非对称方法，北京：清华大学出版社，2001。Comput. Theor. 纳诺斯基13（2016）9140[8] R. D'Ambrosio，M.费罗湾张文，张文，等.二阶非线性常微分方程的三角拟合两步法.计算机工程学报，2000，24（1）：117 - 118.你好81（5）（2011）1068-1084。[9] F. Samat，F.伊斯梅尔，M。Suleiman，高阶显式混合方法求解二阶常微分方程，Sains Malays。41（2）（2012）253-260。[10] H. Van de Vyver，具有最小相位滞后的辛Runge-K utta-N ystr öm方法 ， Phys.Lett. 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