Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，371埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems审查文件关于Ka-集及其拓扑TKaM.M. 沙尔卡西埃及坦塔坦塔大学理学院数学系接收日期：2014年2月8日;修订日期：2014年4月10日;接受日期：2014年2014年6月27日在线提供本文在拓扑空间中引入a-K-集和a-V-集的概念。研究了a-K-集和a-V-集的基本性质此外，我们调查的拓扑学定义的这些家庭的集合。2010年数学学科分类：54C10; 54D10？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表内容1.导言. 3712.秘书3713.Ka-集和Va-集3724.G. Ka-集和g.Va-集3745.结论375致谢375参考文献3751. 介绍Maki在[1]中引入了拓扑空间中的K-集的概念，K-集是与拓扑空间的核重合的集合。一个集合A的核是A的所有开超集的交集。电子邮件地址：sharkasy78@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier在这个方向上，我们将引入Ka-集，Va-集，g的概念. KA-集和G.VA-集。我们还研究了这些集合的性质，并引入了一些相关的新的分离公理。2. 预赛Njasted[2]在拓扑空间中引入了一类新的近开集，称为α-开集. α-开集类包含在半开集类和准开集类中，并且包含开集。1986年，Maki[1]继续Levine的工作，[3] 和Dunham[4]关于广义闭集和暴露算子的研究，1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.04.006关键词a-开集;a-K-集;a-V-集;广义a-K-集与广义a-V-集372M.M. 沙尔卡西;(e)Ka2k2XBk¼k2XKaBk。(f) Ka（B C）=（Va（B））C。空间他研究的关系，给定的拓扑和拓扑所产生的广义K集。Caldas和Dontchev[5]在Maki工作的基础上Ganster等人[6]引入了预K-集和预V-集的概念，并得到了由这些集合族定义的新拓扑。 此外，Caldas等人[7]引入并研究了Kp-连续函数的概念（包括预连续函数类）。利用Kp-集和Vp-集，将Kp-不定函数定义为不定函数和Vp-定义使我们能够得到函数和反函数保持Kp-集和Vp-集的条件。他们引入了一类新的拓扑空间，称为作为应用，我们证明了T_p-空间在同胚映射下的象是T_p-空间，并且T_p-空间等价于Pre-R0空间. Abd El-Monsef等人[8]引入了b-K-集和b-V-集的概念，得到了由这些集合族定义的新拓扑同时，他们还介绍和研究了G。Kb-集和g.Vb-集及其一些性质。Khalimsky等人[9]证明了数字线是T1/2空间的一个典型例子Ka-集和Va-集的概念可以应用于粗糙集，以减少近似空间的任何子集的边界区域。在本文中，（X，s）（或简称X）表示拓扑空间，除非另有说明，否则不假设分离公理。对于X的子集A，cl（A），int（A）和Ac分别表示A的闭包，A的内部和A的让我们回忆一下下面的定义，这些定义在下文中会很有用。定义2.1.拓扑空间（X，s）的子集A称为：(a) 半开[10]如果Accl（int（A）），(b) preopen[11] ifAc int（cl（A）），(c) a-open[2] ifAc int（cl（int（A），(d) b-open[12] [semi-preopen[13]] ifAc cl（int（cl（（A），(e) b-open[14] [c-open[15]] ifAc int（cl（A））[cl（int（A））.所有半开类（分别为）预开，a-开，b-开和b-开）表示为SO（X，s）（分别PO（X，s），aO（X，s），bO（X，s）和BO（X，s））。这些集合的补集称为半闭集（semi-closed）。预闭，a-闭，b-闭和b-闭），所有这些集合和闭集合的类将由SC（X，s）（分别）表示。PC（X，s），aC（X，s），bC（X，s），BC（X，s）和C（X，s））。定义2.2.拓扑空间（X，s）的子集A称为：(a)K-集（分别为V-set）[1]如果它是一个交集（或并集）A的开超集（或包含在A中的闭集）。定义2.3.拓扑空间（X，s）的子集A称为：(a) 广义K-集（分别为广义V-集）[1]若K（A）cF，当AcF和F2C（X，s）（分别当UcA和U2s时，UcV（A）。(b) 广义半K-集（分别为 广义半V-集）[5]若 Ks（A）cF，当AcF和F2SC（X，s）（分别当UcA和U 2SO（X，s）时，U c Vs（A）.(c) 广义预K-集（分别为广义预V-集）[6]若 Kp（A）cF ， 当 AcF 和 F2PC （ X ， s ） （ 分 别 当 UcA 和U2PO（X，s）时，U c Vp（A）.(d) 广义b-K-集（分别为广义b-K-集）[8]若Kb（A）cF ， 当 AcF 和 F2BC （ X ， s ） （ 分 别 当 UcA 和U2BO（X，s）时，UcVb（A定义2.4.一个拓扑空间（X，s）称为a-T1-空间[16]，如果对于（X，s）的每对不同点x，y，s）对应于一个包含x但不包含y的a-开集A和一个包含y但不包含x的a-开集B。3. Ka-集和Va-集在这一节中，我们定义了拓扑空间中的a-K-集和a-V-集的概念，并研究了它的一些性质。定义3.1.设B是拓扑空间（X，s）的子集.我们定义子集Ka（B）和Va（B）如下：(a) Ka（B）=\{G：GsB，G2aO（X，s）}，(b) Va（B）=[{F：FcB，FC2aO（X，s）}.实施例3.1. Let X = {a, b, c, d} and s = {X, ;, {a}, {c}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}} then sa={X, , {a}, {c}, {a, c}, {b, c}, {a,b, c}, {a. C. d}}和^fag <$fag;^fb;dg <$X;^fa;dg <$fa;c;dg;^fa;c;dg <$fa;c;dg;一一一一_afag;;_afb;dg fb;dg;_afa;dg fa;dg和_afa;c;dg fdg：3.1号提案 设和{Bk：k2 X}是拓扑空间（X，s）的子集. 则以下属性有效：(a) BcKa（B）.(b) 如果Ac B，则Ka（A）cKa（B）。(c) Ka（Ka（B））= Ka（B）.(d) 如果. S2aO（<$X，sS），则A=Ka（A）（即，AisanKa-set）.(b)Ks-集（分别为[5]如果它是一个交集（分别为（g）K.不BT你好。的半开超集（分别为半封闭包含在A中）。(c) 前K集（分别为[6]如果是一个交叉点，union）的预开超集A（resp.预封闭的一证据k2Xkk2XaK包含在A中）。(d) b-K-集（分别为B-V-集）[8]如果它是一个交集（分别为union）的b-开超集A（resp. b-包含在A）中的闭集。(a) 这一点在定义3.1中很清楚。(b) 设xRKa（B）.则存在一个子集G a O（X，s）使得GsB，其中xRG，因为BsA，则xR Ka（A），因此Ka（A）cKa（B）。关于Ka-集及其拓扑TKa3732212不！#K(e) Va（steck2XB k）=steck2X（Va（B k））。一k2XK一KKCCC一一一.[.[C(c) 由 （ a ） 和 （ b ） 可 以 得 出 ： Ka （ B ） cKa （ Ka（B））。若xRKa（B），则存在G一个O（X，s）的，使得Bs G和x R G因此Ka（B）c G，所以我们有x RKa（Ka（B））。 则Ka（Ka（B））=Ka（B）。(d) 通过 定义 3.1 由于A是 O（X，s），我们有Ka（A）cA.由（a）我们有Ka（A）=A。(e) 假设存在一个点x，使得xRKa（？k2XBk）。则存在a-开集G，使得？k2XBkcG和xRG。因此，对于每个k2X，我们有xRKa（Bk）。这意味着xR？k2XKa（Bk）。因此，假设存在一个点x2X，使得xR？k2XKa（Bk）。则根据定义3.1，存在子集Gk2aO（X，s）（对所有k2X）使得xRGk，BkcGk。设G=？k2×Gk.然后我们有xR？k2X-Gk，？k2XBkcG和G2aO（X，s）.这意味着xRKa（？k2XBk）。(f) （Va（B））c={Fc：BccFc，FcaO（X，s）}= Ka（Bc）.(g) 假设存在一个点x，使得则存在k2X使得实施例3.3.设（X，s）是一个拓扑空间，如例3.1. 则K是a-集，B={b，d}是Va-集注3.2.根据命题3.1（d）和命题3.2（d），我们有这样的结果。(a) 如果B是K-集，或者B2是O（X，s），则B是Ka-集.(b) 如果B是V-集或B是-闭集，则B是Va-集。从下面的例子可以看出，这句话的反面是不正确的。实施例3.4.设（R，s）是一般拓扑，单点{x}不是-开集，而K是-集.3.3号提案对于拓扑空间（X，s），下列陈述成立：(a) 子集f和X是K-集和V-集.（Bk）则存在k2X和G2aO（X，s）使得a aGsBk和xRG。因此，xRKa（？k2XBk）。H通过使用命题3.1（f），我们可以很容易地验证我们的下一个结果。提案3.2. 对于拓扑空间（X，s）的子集A，B和{Bk：k2X}，下列性质成立：(a) Va（B）cB.(b) 如果Ac B，则Va（A）cVa（B）。(c) Va（Va（B））=Va（B）。(d) 如果B在（X，s）中是a-闭的，则B=V（B）。(b) Ka-集的每一个并（分别为 V a-sets）是Ka-set（resp.Va-set）。(c) 每个交集Ka-集合（分别为Va-sets）是Ka-set（resp.Va-set）。(d) 子集B是Ka-集当且仅当Bc是Va-集.证据 我们将只考虑Ka-集的情况.（a）显而易见。为了证明（b），设{Bk：k2X}是（X，s）中的Ka-集族. 如果B=[{Bk：k2X}，则根据命题3.1，B是K个a-集. 为了证明（C），设{Bk：k2X}是Ka-集族in（X，s）.根据命题3.1（g）和定义3.2，我们有K。不BTKBT乙、 因此通过(f) Va（？k2XBk）s？k2X（Va（Bk））.证据 （a）、（b）、（c）及（e）是以下情况的直接后果─提议3.1（a）\Bk¼Ka.Bk！： Q第3.1条和第3.1条。为了证明（d）设B是a-闭的，k2Xk2X在（X，s）中，则Bc2aO（X，s）.（d）和（f）的提案备注3.4. 让我们KSV是所有K-集合的集合，3.1B=Ka（B）=（Va（B））。因此B=Va（B）。Va-sets fromX.则sKa和sVa是X上的拓扑，为了用命题（d）和命题3.1（f）证明（f），我们有：全A-打开（分别为a-闭）集合。现在我们介绍sKa和sVa的一些性质。VaBkk2X¼“KaBKk2X！C#C¼“Ka.k\2XC1/2Kak2X. Bc]c提案3.4. 对于空间（X，s），以下陈述成立：1/4“k\2XVa¼k[2XVa(a) sKsKa.(b) sKasKs;sKasKP和sKasKb。(c) sKs¼s aKs 和sKssKaks。注3.1.一般来说，我们有Ka（B1\B2）nKa（B1）-\Ka（B2），如下例所示。实 施 例 3.2. 设 X={a ， b ， c} 且 s={X ， l ， {a}} 。 设B1={b}， B2={c}。则 Ka（ B1\B2）=1，但 Ka（ B1）\Ka（B2）= {a}。定义3.2.在拓扑空间（X，s）中，子集B称为Ka-集（或Va-set）of（X，s）ifB=Ka（B）（resp. B=Va-set）。BCk2Xk2X！C#K374M.M. 沙尔卡西\122证据(a) 设A是X的子集，A是K-集或（AsK）.则A={U：AcU，U s}。因为每一个开放的集合都是开放的。则A={U：AcU，U是a-开}，所以sKsKa.(b) 由于aO（X，s）cSO（X，s）[16].类似于（a）然后sKasKs。因此，O（X，s）cPO（X，s）cBO（X，s），则sKasKpsKb。关于Ka-集及其拓扑TKa375¼ð Þ ðÞðÞ2KaS2(c) 由于SO（X，s）= SO（X，s a），则sKs的1/4≤ a≤Ks既然是的，是的，是的。所以我们就这样了。 H3.5号提案 若（X，s）和（X，r）是两个拓扑空间使得SO（X，s）=SO（X，r），则rK≠Ka.证据 因为对于两个拓扑空间（X，s）和（X，r），如果SO（X，s） =SO（X，r）则rcsa和因此rrKsKa。H备 注 3.5. 我 们 注 意 到 ， 在 上 面 的 命 题 中 ， 如 果 sKsrKs不一定导致rKc sK a，下面的例子表明了这一事实。实施例3.2.设X={a，b，c}且s={X，l，{a}，{b}，{a，b}}且r={x，l，{a}，{c}，{a，c}}，则sKs ¼rKs 公司简介(a) 如果（X，s）是-T1，则 X;sKa 和X;sVa 是离散空间。(b) 恒等函数f：<$X; sKa <$！X; s证据明显H3.9号提案对于空间（X，s），我们有RC X;sKa =RC（X，sK）。证据结果RC（X，s）=RC（X，sa）。H4. G. Ka-集和g.Va-集在这一节中，通过使用K-算子和V-算子，我们rK={X，f. {a}，{c}，{a，c}}和sKa ¼ fX; fag; fbg; fa; bgg。3.6号提案 如果A2POX;s，则A2sKP和B2aOB 2 sKa，则A\B 2 sKaA; sA。证据 如果A是预开集，B是a-开集， 然后A\B2aO（A，sA）.所以A\B2sKaA;sA.如果A2是KP，那么引入广义Ka-集类（=g.Ka-集），以及广义Va-集（=g.Va -集）作为Maki[1]所引入的集的类比.定义4.1.在拓扑空间（X，s）中，子集A称为(a) G.（X，s）的K-集如果K（A）cF，只要AcF和F是A2\{G：AcG，G2PO（X，s）}且如果B2sa<$X;s<$，则B=\{U：BcU，U2aO（X，s）}.所以A\ B¼\f G\ U： A\ B G\ U; G2 PO X;s; U2aOX;s g\fS：S 2aOA;s;A\BSg;thenA\B2s某些类型的集合之间的已知关系是图中的summerset。F i g u r e Figurekk.3.7号提案对于一个空间（X，s），以下是等价的(a) （X，s）是-T1。(b) X的每个子集A是Ka-集.(c) X的每个子集A是Va-集.证据（afic）设AcX.因为A=[{{x}：x2A}，A是a-闭集的并，所以A是Va-集.（b）（ c）明显地，根据第3.3条。（c）由于每个子集都是Va-集，那么它是a-闭的，所以X是a-T1。H3.8号提案对于空间（X，s），以下陈述成立：a a关闭。(b)g.Va-set of（X，s）ifX-A is g.Ka-set of（X，s）.现在，DKaresp：DVa将由所有g的集合表示。Ka-集（分别为g.Va-集合）在（X，s）中。4.1号提案 设（X，s）是拓扑空间，I是任意指标集.(a) 每个Ka-集都是g。好的。(b) 每一个Va-set都是g.Va-set。(c) 如果A i2DKa 对于i2 I，则i IA i2DKa.(d) 如果A i2DVa 对于i2 I，则i IA i2DVa.证据(a)并且（b）由定义3.2、命题3.1和定义4.1证明。（c）和（d）由命题（e）证明3.1定义4.1H注4.1.命题4.1的（a）和（b）的逆命题一般不成立，如下面的例子所示实施例4.1.设X={a，b，c，}，其中s={X，f，{a，b}}，则sKa¼ fX;fa;bgg。则子集A={a，c}是g。但它不是。同样，子集{a}是g.Va -set，但不是Va- set.图1集合与K-集合类型的比较aa376M.M. 沙尔卡西\2\\你好！ ð Þ你好！ðÞ-两个两个！ ð Þ2ð Þð Þ¼22XKa图2K-集类型与广义K-集类型的比较注4.2.两个G的交集。Ka-sets一般不是g。好的。另外，两个g.Va-集的并集通常不是g.Va-集，如以下示例所示。实施例4.2.设（X，s）为例4.1中的空间。 如果A={a，c}且B={b，c}，则A和B是g。Ka-sets但是AB ={c}不是g。好的。 如果A ={a}，B ={b}，则A和B都是g。V a-sets但A[B ={a，b}不是g. Va-sets。4.2号提案 设（X，s）是一个拓扑空间.(a) 对于每个{x} c，X是-开集或X-{x}是g. Ka-set of（X，s）.(b) 对于每个{x} c，X是-开集或X-{x}是g.V是（X，s）的-集.证据(a) 设{x}不是-开集，则只有包含X-{x}的-闭集F是X. 因此，X {x}是一个g。Ka-set of（X，s）.(b) 类似于（a）。H定理4.1. 每g Ka-set 是g 。Kp-集（resp. G. Ks-set ，g. Kb-set）。证据根据定理4.1可知。提案3.4H已知的广义闭集类型之间的关系是图中的summerset。Figure Figurekk.定义4.2. 函数f：（X，s）fi（Y，r）被称为(a) 强a-不定的[17]如果对每个x X和Y的每个包含f（x）的a -开集G，存在一个包含x的开集H使得f（H）cG，等价地，如果每个a-开集的逆象是开的。(b) a-不定的[18]如果对每个x X和Y的每个包含f（x）的a -开集G，存在X的一个包含·的a-开集H，使得f（H）c G，等价地，如果每个a-开集的逆像是a-开的.定理4.2.(a) 如果函数f：（X，s）f（Y，r）是a-不定的，则f：X; s^/Y;r^/ 是连续的。(b) 恒等函数id x：X; s^/Y; r是强α-不定的.证据(a) 设G是（Y ，r）的任意K-集，即Gr^a.然后G=xa（G）= {W：GcW且W在（Y，r）中a -开}. 由于f是a-不定的，所以f-1（W）在（X，s）中对每个W都是a-开的因此我们有f-1（Q）s{f-1（W）：f-1（G）cf-1（W）且W在（Y，r）}s{H：f-1中a -开（G）c H且H在（X，s）}= xa（f-1（G））中是a -开的. 另一方面，根据定义，f-1（G）cx a（f-1（G））。从而得到f-1（G）= xa（f-1（G））.f-1Gs^a和f：X; s^/Y;r^/是连续的。(b) 设G是（Y，r）的任意α-开集.由于G是a-开的，根据命题3.1 id x-1G s^/，因此id是强a-不定的。H5. 结论拓扑空间中的集合和函数的概念在许多工程问题、信息系统、粒子物理、计算拓扑和数学科学中得到了广泛的发展和应用。通过对闭集、K-集和V-集的推广研究，建立了一些新的分离公理，这些公理在数字拓扑学的研究中是有用的。集合的核的概念在计算机科学中有应用[19]。这一概念在本文的大部分内容中都得到了运用致谢作者感谢审稿人的不同意见。引用[1] H. Maki，广义K-集及其闭包算子，在纪念Maki教授的特刊中。Kazusada Ikeda's，Retirement（1986）139-146.关于Ka-集及其拓扑TKa377[2] O. 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