双拓扑空间中的ij-w*-闭集及其应用

1=5ij-T类的对偶Journal of the Egyptian Mathematical Society（2015）23，527埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章双拓扑空间中的广义w*-闭集H.M. Abu Doniaa，*，硕士Abd Allahb，A.S.纳瓦尔湾a埃及Zagazig大学理学院数学系b埃及Minou fi a大学理学院数学系接收日期：2014年1月25日;修订日期：2014年12月4日;接受日期：2014年2015年2月2日在线发布本文在双拓扑空间（X，s1，s2）中引入并研究了一类新的集，即ij-w*-闭集，它介于ji-a-闭集类和ij-ga-闭集类之间。我们还引入并研究了新的空间类，即ij-T1=5空间，ij-Te空间，ij-aTe空间，ij-Tl空间和ij-aTl空间.作为ij-w*-闭集的应用，本文引入并研究了四类新的空间，即ij -Twω 空间，ij-wωT1 = 5个空间（均类包括ij-T1=5空间类、ij-aTk空间类和ij-Tk空间类。ij-Tk空间类适当地置于ij-Te空间类和ij-Tl空间类之间它示出wω1=5wω空间到ij-aTk空间类是ij-aTk空间类，wω类ij的对偶T1=5空间到ij-T1=5空间类是ij-T1=5空间类，并且证明了ij-Tl空间类与ij-Tk空间类的对偶是ij-aTk空间类进一步引入并研究了ij-w~*-连续函数和ij-w~*-不定函数。2010年数学子类分类： 54 C 55; 54 C 10; 54 C 10; 54 E 55？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍近年来，集合X上的拓扑结构s在许多实际应用中有着广泛的应用。集合X的抽象性扩大了它的应用范围。例如，这种结构的一种特殊类型是粗糙集理论的基本结构[1]。Alexandroff拓扑广泛应用于数字拓扑领域[2]。此外，s及其推广应用于生物化学研究[3]。*通讯作者。同行评审由埃及数学学会负责本文中提出的工作将打开在这些应用程序中使用两个观点的方式也就是说，同时应用两个拓扑。在拓扑空间中引入了g-闭集、gs-闭集、sg-闭集、ga-闭集、a-g-闭集、gp-闭集、gsp-闭集和spg-闭集[4El-Tantawy和Abu-Donia[11]引入了（ij-GC（X）、ij-GSC（X）、ij-SGC（X）、ij-GaC（X）、ij-aGC（X）、ij-GPC（X）、ij-GSPC（X）和ij-SPGC （ X ） ） （ X ， s1 ， s2 ） 的 子 集 。 Abd Allah 和Nawar[12]引入了w*-开集的概念，并研究了T1=5，Te，aTe，Tl，aTl的性质。本文在双拓扑空间（X，s1，s2）中引入了一类新的集，即ij-w*-闭集，它介于ji-a-闭集和ij-ga-闭集之间.并将这些性质推广到双拓扑空间（X，s1，s2）.我们还使用http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.12.0051110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表关键词ij-w* -闭集;ij-w* -连续函数;ij-T1=5个空间;ij-T1=5个空间;ij-wωT1=5空间wω制作和主办：Elsevier528H.M. Abu Donia等人（二）利用ij-w*-闭集族在（X，s1，s2）中引入了一些性质，并研究了这些性质之间的关系.准连续、半连续、a-连续、sp-连续、g-连续、a-g-连续、ga-连续、gs-连续、sg-连续、gsp-连续、spg-连续、gp-连续、gc-不定、gs-不定、a-g-不定和ga-不定函数的概念已经在拓扑空间中引入（参见[1]）。[7，10，13El-Tantawy和Abu-Donia在双拓扑空间中引入了（ij-准连续，ij-半连续，ij-a-连续，ij-sp-连续，ij-g-连续，ij-ag-连续，ij-ga-连续，ij-gs-连续，ij-sg-连续，ij-gsp-连续，ij-spg-连续，ij-gp-连续，ij-gc-不定，ij-gs-不定，ij-ag-不定和ij-ga-不定）函数的本文在双拓扑空间（X，s1，s2）中引入了一种新的函数，即ij-w*-连续函数和ij-w*-不定函数。2. 预赛定义2.1. [23]双拓扑空间（X，s1，s2）的子集A称为：(1) ij-预开的，如果Acsi-int（sj-cl（A））;ij-预闭的，如果si- cl（sj-int（A））cA.(2) ij-半开的，如果Acsj-cl（si-int（A））;ij-半闭的，如果sj-int（si-cl（A））cA。(3) ij-a -open如果Acsi-int（sj-cl（si-int（A）））和ij-a-closed如果si- cl（sj-int（si-cl（A）））cA.(4) ij-半预开的，如果Acsj-cl（si-int（sj-cl（A）;ij-半预闭的，如果sj-int（si-cl（sj-int（A）cA.所有ij-preopen（resp. ij-半开、ij-a-开和ij-半预开）集记为ij-PO（X）（分别为.i j-SO （X），i j-aO（X）和i j-SPO（X））.所有ij-预闭的类（分别为ij-半闭、ij-a-闭和ij-半预闭）集记为ij-PC（X）（分别为.i j-SC （X）、i j-aC（X）和i j-SPC（X））。定义2.2. [23]对于双拓扑空间（X，s1，s2）的子集A，ij-预闭包（resp.ij-半闭包，ij-a-闭包和ij-半预闭包）表示和定义如下：(1) ij-pcl（A）=\{FcX：F2ij-PC（X），FsA}.(2) ij-scl（A）=\{FcX：F2ij-SC（X），FsA}.(3) ij-acl（A）=\{FcX：F2ij-aC（X），FsA}.(3) ij-sg -闭（记为ij-SGC（X））如果，AcU，U2（ij-SO（X））ji-scl（A）cU.(4) ij-ga -闭的（记为ij-Ga C（X）），如果，AcU，U2ij-aO（X））ji-acl（A）cU.(5) ij-ag -闭（记为ij-aGC（X）），如果，AcU，U2si-）ji-acl（A）cU.(6) ij-gp -闭（记作ij-GPC（X）），如果，AcU，U2si-）ji-pcl（A）cU.(7) ij-gsp -闭（用ij-GSPC（X）表示）如果，AcU，U2si-）ji-spcl（A）cU.(8) ij-spg -闭（记作ij-SPGC（X））如果，AcU，U2（ij-SPO（X）（ij-spcl（A）cU.i j-GC （X）的补充（分别为i j-GSC （X），i j-SGC（X），i j-GaC（X），i j-aGC（X），i j-GPC（X），i j-GSPC（X），和（X，s1，s2）的一个（ij-SPGC（X））子集称为（X，s1，s2）的一个（ij-GO（X））子集.ij-GSO （X），ij-SGO（X），i j-Ga O （X），ij-GO （X），ij-Σ （X），ij-GSPO（X）和（X，s1，s2）的（ij-SPGO（X））子集定义2.4. [11]函数f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2）被调用：(1) ij-预连续，如果6V2i-C（Y），f-1V2ij-PC（X）。(2) ij-半连续的，如果6V2i-C（Y），f-1<$V<$2ij-SC（X）。(3) ij-a -连续的，如果6V2i-C（Y），f-1<$V<$2ij-aC（X）.(4) ij-sp -连续的，如果6V2i-C（Y），f-1V2ij-SPC（X）。(5) ij-g -连续的，如果6V2j-C（Y），f-1V2 j-GC（X）.(6) ij-ag -连续的，若6V2j-C（Y），f-1<$V2j-aGC（X）.(7) ij-ga -连续的，如果6V2j-C（Y），f-1<$V <$2ij-GaC（X）.(8) ij-gs -连续的，如果6V2j-C（Y），f-1<$V<$2ij-GSC（X）。(9) ij-sg -连续的，如果6V2j-C（Y），f-1<$V<$2ij-SGC（X）。(10) ij-gsp -连续的，如果6V2j-C（Y），f-1V2ij-GSPC（X）。(11) ij-spg -连续的，如果6V2j-C（Y），f-1<$V<$2ij-SPGC（X）。(12) ij-gp -连续的，如果6V2j-C（Y），f-1<$V<$2ij-GPC（X）。(13) i-连续的，如果6V2i-C（Y），f-1<$V<$2i-C（X）.(14) 如果6V2ij-GC（Y），f-1V2ij-GC（X），则ij-gc-不确定(15) ij-gs -不定的，如果6V2ij-GSC（Y），f-1<$V<$2ij-GSC（X）。(16) ij-ag -不定式，若6V2ij-aGC（Y），f-1V2ij-aGC（X）。(17) ij-ga-不定式，若6V2ij-GaC（Y），f-1<$V2ij-GaC（X）.定义2.5. [12]（X，s）的子集A称为w*-闭的，如果AcU，UGa O（X）acl（A）cU。w*-闭集的补集称为w*-开集。定义2.6.[12]空间（X，s）称为：（一） T1=5空间，如果G aC（X）=aC（X）.(4)ij-spcl（A）=\{FcX：F2ij-SPC（X），FsA}.双重，ij-preinterior（resp.）ij-半内部，ij-a-内部和ij-半预内部），记为ij-pint（A）（分别为.ij-sint （A），ij-aint（A）和ij-spint（A））是所有ij-preopen（分别为ij-半开，双拓扑空间中的广义w*529（二）1=5ij-a-开和ij-半预开）子集。定义2.3. [11]双拓扑空间（X，s1，s2）的子集A称为：(1) ij-g-闭（记为ij-GC（X））如果，AcU，Usij-cl（A）c U.(2) ij-gs -闭（记为ij-GSC（X）），如果，AcU，U2si-）ji-scl（A）cU.(2) Twω空间如果w*C（X）=aC（X）。(3) wωT1 = 5空间如果G a C（X）= w*C（X）.(4) 如果GSC（X）=aC（X），则T∈空间(5) 如果aGC（X）=aC（X），则aTe(6) Tk空间如果GSC（X）=w*C（X）.(7) 一个Tk空间，如果一个GC（X）=w*C（X）。(8) T1空间，如果GSC（X）=GaC（X）.(9) 一个T1空间，如果一个GC（X）=G一个 C（X）。定义2.7. [12]函数f：（X，s）fi（Y，r）被调用：(1) w*-连续的，如果6V2C（Y），f-1<$V<$2w*C（X）。(2) w*-不定的，如果6V2w*C（Y），f-1<$V<$2w*C（X）.(3) 预w*-闭的，如果A2w*C（X），f（A）2w*C（Y）。530H.M. Abu Donia等人22222人2222人11=5212121纪2纪1*2*3. ij-w*-闭集的基本性质我们引入以下定义。定义3.1.称双拓扑空间（X，s1，s2）的子集A为ij-w*-闭集，如果：AcU，U2ji-GaO（X））ji-acl（A）cU.（X，s1，s2）的ij-w*-闭子集类记为ij-w*C （X）.下图显示了ij-w*-闭集与本节讨论的其他一些集合的关系（见图1）。定义3.1是Noiri定义8的一个特例[24]。定理3.1. 每个ji-a-闭集都是ij-w*-闭集.下面的例子支持ij-w*-闭集一般不需要是ji-a-闭集实施例3.1.令X={a，b，c，d}，si={X，i，{a}，{a，d}}，并且s2={X，l，{a，b}，{c，d}}。 然后我们有A ={b，c} 2ij-w*C（X），但ARji-aC（X）.证据(1) 让一ij-w*C（X）ji-GaO（X）.然后我们有ji-acl（A）cA.因此，Aji-aC（X）.(2) 设Uji-GaO（X）使得BcU.由于AcB和A ij-w*C（X），则ji-acl（A）cU。由于Bcji-acl（A），则我们有ji-acl（B）cji-acl（A）cU.因此，B ij-w*C（X）。H定理3.4. 设（X，s，s）是一个双拓扑空间，A2 ij-G aC（X）.则A2ij-wC（X）如果ij-aO（X）= ji-GaO（X）.证据设Aij-G a C（X），即AcU和Uij-a O（X），则有ji-a cl（A）c U. 由于ij-aO（X）= ji-G a O（X）. 因此，Ac U和U 2 ji-G a O（X），则ji-a cl（A）c U，即A2ij-w*C （X）. H定理3.5.设（X1，s1，s2）和（X2，s*，s*）是两个双拓扑空间.那么下面的陈述是正确的。若A2 ij-w *O（X1）和B2 ij-w *O（X2），则A·B2 ij-w *O（X1·X2）.证据 设A2 ij-w *O（X）和B2 ij-w *O（X）且W = A·Bc因此，ij-w*-闭集类适当地包含ji-a-闭集类.其次证明了ij-w*-闭集类恰当地包含在ij-ga-闭集类中。定理3.2. 每个ij-w*-闭集都是ij-ga-闭集。下面的例子证明了上述定理的逆命题一般不成立实施例3.2.设X、s1和s2与例3.1相同。则子集B={b} 2 ij-G aC（X）但BR ij-W C（X）.注3.1. ij-w*-闭集中两个集合的交一般不是ij-w*-闭集中的集合，如下面的例子所示。X1·X2。 设F = F1·F2c W，F2 ji-G a C（X1·X2）. 那么是F12ji-G a C（X1），F22ji-G a C（X2），F1cA，F2cB等，Fs-aintegerA和F sω-aintegerB：因此F × F A ×B和 F1×F2sji-aintA×sωji-aintBsji×sωji-aintA×B.因此A·B2ij-w*O（X1·X2）.H定理3.6. X的子集A是ij-w* O（X）当且仅当F是ij-aint（A）的子集，只要FcA和F2 ji-G a C（X）。定理 3.7. 对于每个x X， 或者{x} 是 ji-G a C（X）或{x}是ij-w*O（X）。定理3.8.X的子集A是ij-w*C（X）当且仅当ji-aC （ A ） \F=B ， 每 当 A\ F=B 时 ， 其 中 F 是 ji-Ga C（X）。实施例3.3. 设X，s，s如例3.1所示。然后4. ij-w*-闭集的应用1 2我们 有 {a， b} 和{b，c}ij-w*C（X） 但{a，b}{b，c}={b} R ij-w*C（X）。作为ij-w*-闭集的应用，本文给出了四类新的空间，即ij-T wω 空间、ij-wωT1=5空间、ij-Tk空间和ij-定理3.3. 对任意双拓扑空间（X，s1，s2）。(1) ij-w*C（X）\ji-Ga O（X）cji-aC（X）.(2) 若A2ij-w*C（X）且Ac Bc ji-acl（A），则B2ij-引入了aTk空间.我们引入以下定义。定义4.1.一个双拓扑空间（X，s，s）称为一个w*C（X）.j-闭合1 2ij-T1=5空间如果ij-GaC（X）=ji-aC（X）.Ij-g-closedIj-gp-closedji--已关闭ij-*-已关闭ij-g闭ij-gs-闭ji-半闭ij-sg-闭ij-spg-闭ij-gsp-闭ji-半预闭ji-预闭双拓扑空间中的广义w*531图表1532H.M. Abu Donia等人1=51=51=51=5-两个我们证明了ij-T-1=51=51=521=512121=5121=5121=5121=5121=5wω--***定义4.2.一个双拓扑空间（X，s1，s2）称为一个双拓扑空间。定理4.4.空间（X，s1，s2）是ij-T1=5空间当且仅当ij-T wω空间，如果ij-w*C（X）=ji-aC（X）.如果它是ij-WωT1 = 5且ij-TWω空间.我们证明了：空格正确地包含证据这个必要性是由定理4.1和4.2得出的。为了充分性，假设（X，s1，s2）都是ij-wωT1=5ij-T1=5空间类.和ij-T wω 空间设A2ij-GaC（X）. 因为（X，s，s）是一个wωij-wωT1 = 5空间，则A2 ij-w*C（X）. 因为（X，s1，s2）是定理4.1. 每个ij-T1=5空间都是ij-T1=5空间.证据由每个ij-w*-闭集都是ij-ga-闭集这一事实推出.H从下面的例子可以看出，上述定理的逆命题并不成立。实施例4.1. 设X ={a，b，c}，si={X，l，{a}}且s2={X，l，{a}}，/， {b}}。 然后 （X， s， 个） 是 一个ij-T 空间但不是一个ij-T1=5空间，因为{b，c}2 ij-GaC（X）但{b，c}Rji-aC（X）.我们引入以下定义。定义4.3.一个双拓扑空间（X，s1，s2）称为一个双拓扑空间。ij-wωT1=5空间如果ij-GaC（X）=ij-w*C（X）.定理4.2. 每个ij-T1=5空间都是ij-wωT1=5空间.一个ij-T wω空间，则A2ji-aC（X）。 因此（X，s1，s2）是一个ij-T1 = 5空间。H分别引入了ij-Te 空 间和ij-aTe空间的定义，证明了每个ij-Te（ij-aTe）空间都是ij-T1=5空间.定义4.4.空间（X，s1，s2）称为ij-Te空间，如果ij-GSC （X）=ji-aC（X）.定义4.5.空间（X，s1，s2）称为ij-αTe空间，如果ij-aGC （X）=ji-aC（X）.定理4.5. 每个ij-Te空间都是ij-T1= 5空间.证据 从每个ij-ga-闭集都是一个ij-gs-闭集H证据 设（X，s，s）是一个ij-T空间. 设A2ij-GaC（X）.一个ij-T1= 5的空间不一定是一个ij-Te空间，因为我们看到，下一个例子。由于（X，s1，s2）是一个ij-T1=5空间，则A2ji-aC（X）.因此，我们认为，利用定理3.1，我们有A2ij-w*C（X）。因此，（X，s，s）是ij-wω T空间。H示例4.5. 设X ={a，b，c}，si={X，i，{a}，{b}，{a，b}，{a，c}}和s2={X，l，{a}，{a，b}}。则（X，s1，s2）是一个从下面的例子中我们可以看出，上述定理的逆命题并不成立。实施例4.2.设X={a，b，c}，si={X，l，{a}}且s2={X，l，{a}}，/，{a}，{b，c}}。则（X，s1，s2）是一个ij-wωT1=5空间，但不是一个ij-T1=5空间，因为{a，b}2ij-GaC（X）但{a，b}Rji-aC（X）.ij T1= 5空间，但不是ij-Te空间，因为{b}ij-GSC（X），但{b}Rji-aC（X）.定理4.6. 每个ij-aTe空间都是ij-T1 = 5空间.证据 从每个ij-ga-闭集都是一个ij-g-闭集 Hwω1=5奈斯ness与ij-wωT1=5无关一个ij T1= 5的空间不一定是一个ij-aTe空间，正如我们看到的下一个例子。注4.1. ijT wω ness和ijwωT1= 5ness是独立的，这可以从下面的两个例子中看出实施例4.3. 设X、s1和s2与例4.1相同。然后示例4.6.设X={a，b，c}，s1={X，f，{a}，{b}，{a，b}}且s2={X，f，{a}，a，c}}.则（X，s1，s2）是ij-T1=5空间但不是ij-aTe空间，因为{a，c}2ij-aGC（X）但{a，c}Rji-aC（X）.（X，s1，s2）是一个ij-Twω 但不是ij-wωT1=5空间，因为{b，c}2ij-Ga C（X）但{b，c}Rij-w*C（X）。示例4.4. 设X、s1和s2与例4.2相同。然后 （X，s1，s2）是一个ij-wωT1=5空间，但不是一个ij-Twω空间，因为{a，c}2ij-wC（X）但{a，c}Rji-aC（X）.定理4.3. 如果（X，s，s）是一个ij-wω T空间，则对每个x2X，{x}要么是ji-a-闭的，要么是ij-w-开的.证据设（X，s，s）是ij-wωT空间. 让定理4.7. 每个ij-Te空间都是ij-aTe空间。证据从以下事实得出：每个ij-g-闭集都是ij-gs-闭集。H上述定理的逆命题一般不成立，下面的例子证明了这一点。示例4.7.设X、s1和s2与例4.5相同。则（X，s1，s2）是一个ij-a-Te空间，但不是一个ij-Te空间，因为{b}2ij-a-Te空间。GSC（X）但{b}Rji-aC（X）。XX，并假设{x} R ji-a C（X）. 则{x}Rij-Ga C（X）因为每一个Ji-A-闭集都是一个ij-G-A-闭集。所以X-{x}Rji-aO（X）.因此X-{x}2ij-Ga C（X），因为X是唯一的ji-a-开集，包含X-{x}。 由于（X，s1，s2）是一ij-wωT1= 5空间，则X-{x}2ij-w*C（X）或等价地{x}2ij-wO（X）. H双拓扑空间中的广义w*5331=5wω定理4.8. 每个ij-T e空间都是一个ij-T空间。证据从以下事实得出：每个ij-w*-闭集都是ij-gs-闭集。H534H.M. Abu Donia等人1=51=51=51=521=5-121=512wωe*wω1=5***22*上述定理的逆命题一般不成立，下面的例子证明了这一点。示例4.8.设X={a，b，c，d，e}，si={X，i，{a}，{c，d}，{a，c，d}，{b，c，d，e}}和s2={X，l，{a}，{a，b}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，b，c，d}}。则（X，s1，s2）是一个 ij-T空 间 ，而 不 是一 个 ij-Te 空 间 ，因 为 {d}2ij-GSC（X），但{d}Rji-aC（X）。定理4.9. 每个ij-aTe空间都是一个ij-twω 空间下面的例子证明了上述定理的逆命题一般不成立实施例4.11.设X、s1和s2与例4.1相同。则（X，s1，s2）是一个ij-aT1空间，但不是一个ij-aTk空间，因为{b}2ij-aGC （X）但{b}Rij-wC（X）。定理4.12. 空间（X，s1，s2）是ij-aTe空间当且仅当它是ij-aTk和ij-T空间.证据从每个ij-w*-闭集都是一个ij- g-闭集 HAn ij-T wω 空间不一定是ij-aT空间，因为我们看到证据这个必然性由定理4.9和4.10推出。 为了充分性，设（X， s1， s2）是ij-αTk和ij-Twω空间.设A2ij-aGC（X）.由于（X，s1，s2）是ij-aTk1= 5e空间，则A2ij-w*C（X）。由于（X，s1，s2）是一个ij-Twω空间，下一个例子。示例4.9. 设X、s1和s2与例4.8相同。然后然后1= 52ji-aC （X）. 因此（X，s1，s2）是一个ij-aTe空间. Hwω（X，s，s）是一个ij-T wω 空格但不是ij-aT空格{c}2ij-注4.2. ij-αTk性和ij-T1 = 5性是独立的，因为它从下面的两个例子中可以看出。但{c}R是C（X）。我们引入以下定义。实施例4.12. 设X、s1和s2与例4.2相同。然后（X，s1，s2）是ij-aTk空间但不是ij-Twω空间，因为{a，定义4.6.空间（X，s，s）称为ij-T*空间如果b}2ij-wC（X）但{a，b}Rji-aC（X）.1 2ij-GSC （X）=ij-w*C（X）。K实施例4.13. 设X、s1和s2与例4.1相同。然后定义4.7.空间（X，s，s）称为ij-aT空间当（X，s1，s2）是一个ij-Twω空间但不是ij-aTk空间，因为{b，12ij-aGC （X）=ij-w*C（X）k1= 5c}2ij-aGC（X）但{b，c}Rij-w*C（X）.定义4.8. 空间（X，s1，s2）称为ij-T1空间，如果ij-GSC （X）=ij-GaC（X）.定义4.9. 空间（X，s1，s2）称为ij-aT1空间，如果ij-aGC （X）=ij-GaC（X）.我们证明了ij-aTk空间类恰当地包含ij-aTe空间类，并且恰当地包含在ij-aTl空间类中.我们还证明了ij-aTk空间类是定义4.10.双拓扑空间（X，s1，s2）的子集A称为ij-w*-开的，如果它的补是（X，s1，s2）的ij-w*定理4.13.如果（X ， s1 ， s2 ）是ij-aTk 空间，则对每个x2X，{x}要么是ij-ag-闭的，要么是ij-w*-开的.证据 设（X，s1，s2）是ij-aTk空间. 设x X并假设{x}Rij-aGC（X）。则{x}Rji-aC（X），因为ij-Twω类的对偶空间到类ij-aTewω每一个吉-阿-关闭 设置 是一 ij- g-闭集 所以 X-{x}Rji-时间复杂度O（X）。因此X-{x}2ij-aGC（X），因为X是唯一的ji-a-空间. 证明了ij-aTk性与ijT1= 5性是相互独立的.定理4.10. 每个ij-aTe空间都是ij-aTk空间.证据设（X，s，s）是ij-aT空间.设A2ij-aGC（X）.由于（X，s1，s2）是ij-aTe空间，则A2ji-aC（X）.因此，通过使用定理3.1，我们有A2ij-wC（X）。因此（X，s1，s2）是一个ij-aTk空间.H下面的例子证明了上述定理的逆命题一般不成立实施例4.10.设X、s1和s2与例4.2相同。则（X，s1，s2）是ij-aTk空间但不是ij-aTe空间，因为{a，c}2ij-aGC（X）但{a，c}Rji-aC（X）.定理4.11. 每个ij-aTk空间都是ij-aTl空间.证据设（X，s1，s2）是ij-aTk空间.设A2ij-aGC（X）.由于（X，s1，s2）是ij-aTk空间，则A2ij-wC（X）.因此，利用定理3.2，我们有A2ij-GaC（X）.因此（X，s1，s2）是一个ij-aT1空间.H包含X-{x}的开集。由于（X，s1，s2）是ij-aTk空间，则X-{x}ij-w*C（X）或等价地{x}ij-w*O（X）.H定理4.14. 每个ij-aTk空间都是ij-wωT1 = 5空间.证据设（X， s1， s2）是ij-aTk空间.设A2ij-GaC（X），则A2ij-aGC（X）.由于（X，s1，s2）是ij-aTk空间，则A2ij-wC（X）.因此（X，s1，s2）是一个ij-wωT1 = 5的空间. H下面的例子证明了上述定理的逆命题一般不成立实施例4.14.设X、s1和s2与例4.8相同。则（X，s1，s2）是一个ij-wωT1=5空间，但不是一个ij-aTk空间，因为{c}2ij-aGC （X）但{c}Rij-wC（X）。证明了ij-Tk空间类适当地包含ij-Te 空 间类，并且适当地包含在ij-aTk空间类、ij-Tl空间类和ij-aTl空间类中.定理4.15。 每个ij-Te空间都是ij-Tk空间。e双拓扑空间中的广义w*5351 5fg2证据设（X， s1， s2 ）是ij-Te 空 间.设A2ij-GSC（X）.由于（X，s1，s2）是ij-Te空间，则A2ji-aC（X）.因此，通过使用定理3.1，我们有A2ij-w*C（X）。因此（X，s1，s2）是一个ij-Tk空间.H下面的例子证明了上述定理的逆命题一般不成立实施例4.15.设X、s1和s2与例4.2相同。则（X，s1，s2）是ij-Tk空间但不是ij-Te空间，因为{a，c}2ij-GSC（X）但{a，c}Rji-aC（X）.定理4.16. 每个ij-Tk空间都是一个ij-aTk空间。证据设（X，s1，s2）是ij-Tk空间.设A2ij-aGC（X），则A2ij-GSC（X）.由于（X，s1，s2）是一个ij-Tk空间，则A2ij-w*C （X）. 因此（X，s1，s2）是一个ij-aTk空间.Hij-T*ij-T1 5ij-eij-Teij-*ij-kij-Tk图表2i j Tlij-Tl从下面的例子可以看出，上述定理的逆命题并不成立。实施例4.16.设X、s1和s2与例4.5相同。则（X，s1，s2）是一个ij-aTk空间，但不是一个ij-Tk空间，因为{b}2ij-GSC （X），但{b}Rij-w*C（X）。定理4.17. 每个ij-Tk空间都是ij-Tl空间。证据设（X， s1， s2）是 ij-Tk空间.设A2ij-GSC（X）.由于（X，s1，s2）是ij-Tk空间，则A2ij-w*C（X）.因此，利用定理3.2，我们有A2ij-GaC（X）.因此（X，s1，s2）是一个ij-T1空间.H从下面的例子可以看出，上述定理的逆命题并不成立。实施例4.17.令X={a，b，c}，si={X，i，{a，b}}，并且s2={X，I，{a，c}}。则（X，s1，s2）是ij-T1空间但不是ij-Tk空间，因为{c}2ij-GSC（X）而不是{c}Rij-w*C（X）.其次证明了ij-Tl空间类与ij-Tk空间类的对偶是ij-aTk空间类定理4.18. 空间（X，s1，s2）是ij-Tk空间当且仅当它是ij-aTk和ij-Tl空间。证据这个必然性由定理4.16和4.17推出。为了充分性，假设（X，s1，s2）是ij-aTk和ij-Tl空间。设A2ij-GSC（X）.由于（X，s1，s2）是ij-T1空间，则A2ij-G是C（X）.则A2ij=GC（X）。由于（X，s1，s2）是ij-aTk空间，则A2ij-w*C（X）.因此（X，s1，s2）是一个ij-Tk空间.H下图显示了本节讨论的分离公理之间的关系（见图2）。5. ij-w*-连续与ij-w*-不定函数我们引入以下定义。定义5.1.函数f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2）称为ij。w*-连续的，如果6V2j-C（Y），f-1<$V<$2ij-w*C（X）。下图显示了ij-w*-连续函数与本节中讨论的其他函数的关系（见图3）。定理5.1. 每个ji-a-连续函数都是ij-w*-连续的.下面的例子证明了上述定理的逆命题一般不成立实施例5.1.设X={a，b，c，d}，Y={u，v，w}，si={X，l，{a}，{a，d}}，s2={X，l，{a，b}，{c，d}}，r1={Y，l，{u}，{v}，{u，v}，{u，w}}和r2={Y，I，{u}，{u，v}}。定义f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2），满足f（a）= u，f（b）= v和f（c）= f（d）= w. f不是ji-a-连续函数，因为{v，w}j-C（Y），但f-1v; wb;c;dRji-aC（X）.但f是ij-w*-连续函数。定理5.2. 每个ij-w*-连续函数都是ij-ga-连续的。下面的例子证明了上述定理的逆命题一般不成立实施例5.2. 设X、Y、s1、s2、r1和r2与示例5.1. 定义f：（X，s1，s2）f（Y，r1，r2）由f（a）=u，f（b）=w定理4.19.空间（X，s1，s2）是一个ij-Tewω空间当且仅当且f（c）= f（d）= v。f不是ij-w*-连续函数，因为{w}2j-C （Y），但f-1fwg g fbgRi j-w*C（X）。但是f是ij-它是ij-Tk和ij-T1 = 5 空间证据这个必然性由定理4.8和4.15推出。为了充分性，假设（X，s，s）是ij-T，ga-连续函数定理5.3. 如果f1：（X1，s1，s2）f（Y1，r1，r2）和f2：（X2，s*，12k*1ij- Twω空间 设A2ij-GSC（X）. 因为（X，s1，s2）是一个s2）fi（Y2，r1，r2）是两个ij-w-连续函数. 则ij-T1= 5*函数f：（X·X，s·s*，s·s*）fi（Y·Y，r·r*，K空间， 然后A2ij-wC （X）. 以来（X，s1，（2）是1 21*1 221 2 1 1一个ij-T wω 空间，则A2ji-aC（X）。 因此（X，s，s）为r2·r2）定义为f（x1，x2）=（f（x1），f（x2））是ij-w*-1= 5一个ij-Te空间。H1 5536H.M. Abu Donia等人1 2连续的双拓扑空间中的广义w*533-1=5*-1ð ð ÞÞ2wω2 ð Þ2j-连续的ij-g-连续的ij-gp-连续的ji-连续的ij-连续的ij-g连续ij-gs- 连续ji-半连续ij-sg-连续ij-spg-连续ij-gsp-连续ji-半预连续ji-预连续图表3证据设V12j-O（Y1）和V22j-O（Y2）.由于f1和f2是两个ij-w*-连 续 的 ， 则 f-1<$V1<$2ij-wωO<$X1<$ 和 f-1<$V2<$2ij-wωO<$X2<$：因此，利用定理3.5，我们有f-1<$V1<$×f-1<$V2<$2ij-wωO<$X1×X2<$：h我们引入以下定义。定义5.2.函数f：（X，s1，s2）f（Y，r1，r2）称为ij-w*-不定的，如果6V2ij-w*C（Y），f-1<$V<$2ij-w*C（X）.定理5.4. 每个ij-w*-不定函数都是ij-w*-连续的.下面的例子证明了上述定理的逆命题一般不成立实施例5.3.设X={a，b，c，d}，Y={u，v，w}，si={X，l，{a}，{a，d}}，s2={X，I，{a，b}，{c，d}}，r1={Y，I，{u}}，并且r2={Y，l，{u}，{v，w}}. 定义f：（X，s1，s2）f（Y，r1，r2）由f(a)=v，f（b）=w，f（c）=f（d）=u。f不是ij-w*-不定函数以来{u，v}2ij-wC（Y）但Ffu; vg f fa;c;dgRij-wωC<$X <$：然而f是ij-w*-连续函数。定理5.5.设f：（X，s1，s2）f（Y，r1，r2）和g：（Y，r1，证 据 设 V2j-C （ Y ） . 由 于 f 是 ij-g- 连 续 函 数 ， 因 此 f-1<$V<$2ij-aGC（X）。由于（X，s1，s2）是ij-aTk空间，则f-1<$V<$2ij-w*C（X）.因此，f是ij-w*-连续的。 H定理5.8. 设f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2）是ij-g连续函数. 若（X，s1，s2）是ijwωT1 = 5空间，则f是ij-w*-连续的.证据设V2j-C（Y）.由于f是一个ij-ga-连续函数，因此f-1<$V<$2ij-GaC（X）.由于（X，s1，s2）是一个ij-wωT1=5的空间，则f-1<$V<$2ij-w*C（X）.因此，f是ij-w*-连续的。H定理5.9. 设f：（X，s1，s2）f（Y，r1，r2）是ij-gs连续函数.若（X，s1，s2）是ij-Tk空间，则f是ij-w*-连续的.证据设V2j-C（Y）.由于f是一个ij-GS-连续函数，因此f-1≠V≠2ij-GSC（X）.由于（X，s1，s2）是一个ij-Tk空间，则f-1<$V <$2ij-w*C（X）.因此，f是ij-w*-连续的。H定理5.10. 设f：（X，s1，s2）f（Y，r1，r2）是上的，ij-w*-不定的，ji-a-闭的.若（X，s1，s2）是ij-T空间，则r2）fi（Z，g1，g2）是任意两个函数。然后（Y，r1，r2）也是ij-wω1=5空间1= 5(1) 如果g是j-连续的，f是ij-w*-连续的，则g是ij-w*-连续的。证据 设V2ij-w*C（Y）. 以来 F是 ij-w* -犹豫不决，然后f-1<$V<$2ij-w*C （X）. 由于（X，s1，s2）是ij-Twω空间，然后(2) 如