概率赋n范空间中的缺I收敛和缺项序列的讨论 - 2015年埃及数学学会的研究成果

ðωÞð Þ ðð ÞÞ¼Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，90埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章概率赋n范空间中的缺I收敛Binod Chandra Tripathya，*，Mausumi Senb，Soumitra Nathca印度阿萨姆邦Guwahati 781 035 Garchuk Paschim Boragaon高级科学技术研究所数学科学部b印度阿萨姆邦Silchar 788 010国家技术学院cSilchar Polytechnic，Silchar 788 015，Assam，印度接收日期：2013年7月30日;修订日期：2014年3月21日;接受日期：2014年2014年5月10日在线提供本文利用理想和缺项序列的概念，在概率赋n范空间中引入了缺项I-收敛、缺项I-Cauchy和缺项Iω-收敛序列的 概 念 ，并得到了 与这些概念有关的一些结果. 也是空缺的概念在概率赋n-范空间中讨论了缺项序列的加细2010年数学学科分类：40A05; 40A35; 60B10; 60B99？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍概率度量空间的概念是由Menger[1]引入的。门格尔的思想是使用分布函数而不是非负实数作为矩阵的值。之后，它被许多作者开发。利用这个概念，Serstnev[2]引入了概率赋范空间的概念。它的理论作为线性赋范空间的确定性结果的推广和随机算子方程的研究都是重要的。2-范数理论*通讯作者。电子邮件地址：tripathybc@yahoo.com，tripathybc@rediffmail.com（不列颠哥伦比亚省）Tripathy），sen_mausumi@rediffmail.com（M.Sen），yahoo.in（S.Nath）。同行评审由埃及数学学会负责Gahler （ [3 ， 4] ） 在 线 性 空 间 上 引 入 了 n- 范 数 ， 并 由Tripathy和Borgohain[5]，Tripathy和Dutta[6]等人发展。Kostyrko等人[7]在初始阶段研究了I-收敛的概念。后来Tripathy和Hazarika（[8现在我们回忆一下本文中将要用到的一些符号和定义。定义1.1.概率n-赋范线性空间或简称Pr-n-空间是三元组X;m;，其中X是维数大于1的实线性空间，m是从Xn到D的映射，ω是连续t-范数，对每个x1; x2;.. . ; xn2 X和s; t> 0：我 M x1;x2;. ;x n; t1当且仅当x1;x2;. ;xn是线性相关的。1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.03.008制作和主办：Elsevier关键词理想;I-收敛;I-柯西;概率赋范空间;缺项序列概率赋n范空间中的缺I912nω安德莱姆ð-你好Xð Þ安德莱姆安德莱;H12n-1我12nhr12我12n-10m;21H2我2hri2Ir1212hri2Irkr-112n-1我22hri2Ir12n-1121/4fgii. ; x n<$; t<$在任何置换下不变，x;x;. ;x.不1Xmxy;y;. . . ;y;x-L;e>1-k;iii. ; ax n; tm x1; x2;. ; x n= 0; jaj= 0; a 2 R.iv. . ;x nx0n;stPm x 1;x 2;.. . ;xn x1;x 2;. . . ;x0n;t。实施例1.1.令X; jj ●; ●;.. . 是n-赋范线性空间. 又令aωb<$^minfa;bg，其中a;b2½0;1]，且m<$^x1;对于所有的rPr0，我们写为：定义2.2.设λX;m; ω λ是Pr-n-空间，h<$k rλ是缺项序列. X中的序列x1/fxig称为关于概率n -范数m n缺I-收敛于L2X，如果对每个e> 0;k2= 0; 1，且y1;y2;. ;yn-1x;. ;x;tttkx1; x2;... ;xn k. 其中，X;m; ω n是一个Pr-n-空间。2X，设置定义1.2. 设λX;m; ω λ是Pr-n-空间。 的序列X中的x^fxkg被称为收敛于L2X，关于（r2N：1Xm）y;y;. . ;yi2Ir;x-L;e61-k）2I到概率n范数mn 如果对每个e>0;k2 < $0;1 <$我们写I h- lim x 1/4。和 y;y;.. . ; y2X，那里存在K 2N使得木恩河m=1; y= 2;. ; yn-1; xk-L; e> 1-k，对于所有k Pk0，我们写mn-limxk 1/4 L。定义1.3. 设X;m;是Pr-n-空间。的序列 xkinX被称为是关于概率的柯西序列定理2.1. 设λX; m; ω λ是Pr-n-空间，h是固定缺元序列.如果序列xx i是缺项I-收敛的关于概率n-范数mn，则Ih-极限是唯一的。如果给定e> 0; k 2 = 0; 1且y1; y2;. . ; yn-12证据 让我们假设，H- lim x ¼L和I-limxX，存在k 2N使得m=y;y;... ; y;x-x;文成k1mnk0对于所有的k，e> 1-k; m Pk0.12n-1K M1/4升2.对于给定的k>0，选择g2<$0;1 <$，使得定义1.4.设X是一个非空集。一个非空类I2X（X的幂集）称为理想，如果I是可加的1g1g> 1k。对于任何e>0，我们定义以下几组：（即：A;B2I）A[B2I）和遗传性（即A2I和BA）B2I）.Km;1μg;eμ l（r2N：1hri2Irm=1;y= 2;. . . ;yn-1;xi-L1;e>1-g）定义1.5.一个非空集合族I<$2 X称为（）X上的一个滤波器当且仅当;RI，对于每个A;B2I，我们有并且对于每个A2I和B是A;B2I。1X和K ðg；eÞ¼r2 N：m=y; y;.. . ; yri2Ir;x-L;e>1-g：对于每个理想I，都有一个对应于I的滤波器II，由下式给出：自从我-limxk1/4L，即Km;1对于所有e> 0，I我h— limxk 1/4L2给出K m;2对于所有e> 0，一个理想I称为非平凡的，如果I一个非平凡理想I称为容许理想，如果它包含所有的singleton集.通常的收敛是I-收敛的现在设K mg; e<$K m;1g; e\K m;2g; e。 则K mg; e2我知道了。如果r2Km∈ {\displaystyle r 2K m∈ {\displaystyle r}}，那么我们有在这种情况下，I^If（N的所有有限子集的理想）。定义1.6. 缺项序列是指递增1Xm/min;y;. . . ;yP1X。;L-L;ee整数序列h<$k r;r<$0; 1; 2;.. . 使得k为01/4，h r1/4 k r-k r-1！1、R！1.一、由h确定的间隔Mhri2Iry1; y2;.. . ; yn-1; x i-L1; 2将由I r<$k r-1;k r]和比率kr表示将缩写为qr。ω1×m。y;y;. . . ;y;x-L;eTripathy和Baruah[15]、Tripathy和Dutta[16]、Tripathy和Mahanta[17]等学者近年来从不同的角度对缺项序列空间的概念进行了研究。2. Pr-n-空间中的缺I>1-gω1-g>1-k：由于k>0是任意的，我们有1Xmxy;y;. ; y;L-L; e=1;对于所有的e>0，这给出L 1/4L。所以我--独特. H1 2m定义2.1.设λX;m; ω λ是Pr-n-空间，h<$k rλ是缺项序列. X中的序列x^fxig被称为：定理2.2.设λX;m; ω λ是Pr-n-空间，h是缺元序列和x<$f xg; y<$f yg是X中的两个序列然后关于概率ii缺项收敛于L2Xn-norm m mn如果对每个e> 0且k 2 <$0; 1 <$; y1; y2;. ; yn-12 X，HHHri2Irn-1n-1n-192B.C. Tripathy等存在r02N使得如果Im-lim x k¼ L且a 2 R，则Im-lim ax k¼ aL。概率赋n范空间中的缺I93安德莱安德莱姆安德莱姆hrðnÞkm12n-1我1K ¼r2N：y; y;. ; y;x-L;ehr12我1r2N：我很高兴;我;. ; y;x-x;e>1-kmy; y;.. . ; y缺项序列如果x^f xig是任意的Ih-收敛序列，K1¼r2N：my; y;.. . ; y>1-gH12我02i2IrL，我们有KH12n-1我M文成文成现在让K2K2.则Khri2Ir2[2]如果r2k3，那么我们12n-1我20hri2Ir12n-1M02hri2Ir12n-1我12hr12n-1我221r2N：我很高兴;我;. ; y;x-x;t>1-e木恩河i2Ir1啊啊啊如果Imm mn-limxk<$L1且Immn- limxk<$L2，则Imn-lim xk<$L2，limpix kykL 1 L2.证据让我们来看看。那么对于每个k2 <$0; 1< $0且e>0，我们有所以我是-li mx kykL1L2.H以下结果的证明很容易，因此省略了。定理2.3. 设x∈X;m; ω ∈是Pr-n-空间，hh是缺项序列，x ∈ fx∈g是X中的序列. 如果n是n-lim x k，则I是h-lim x k L。1Xmxy;y;. ; y; 0 x-0 L/min; ex 1> 1-k所以我- lim 0 x k¼ 0 L。现在让一个R然后，对于k2 <$0; 1 <$0且e> 0，设定义3.1。 设λX;m; ω λ是一个Pr-n-空间，h<$k rλ是一个（X.ΣH缺 项序列。X中的序列x^fxig被称为：>1-k：安德莱12ri2Irn-1我jaj或 Ih - 柯西 序列 如果 为 每 s>0;k2 ≥ 0;1 ≤，y1;y2;.. . ;yn-12X，存在正整数m，使得自从我 - lim x k 1/4L，我们有K2II。如果r2k，那么集合1Xmxy; y;. ; y2;ax-aL<$;e<$（X）Hi Ir1倍。e12ri2Irn-1I m¼hri2Ir（y1; y2;.. . ; yn-1; xi-L; jaj1XH>1-k：第二章：（定理3.1） 设λX;m;ω λ是一个Pr-n-空间，h<$krλ是一个12ri2Irn-1在X中，则fxg是Ih- 柯西门恩第二章：因此，我- lim ax¼ aL.令k 2 = 0; 1 = 0。选择g2<$0;1 <$，使得<$1-g <$ω <$1-imn证据 设存在x02X使得Ih-limx1/4x0。对于给定的e>0，选择r2 <$0; 1<$，使得<$1-r<$ωg>1-k。1-r则对于任何t> 0且y;y;. . ;y2X，然后，对于任何e>0，我们定义以下集合：定义集合12n-1（1X）hr12e）A1/4（r2）N：1Xm.y;y;. . . ;yn-12;x-x;t>1-r）：和K1/4（r2N：1Xm）y;y;. . . ;y2H;y-L;e>1-g）：然后是一个2英寸的。选择一个固定的m2N。如果r2A，那么我们有12ri2Ir自从我K1-limxn-1I221Xmxy; y;.. . ; y;x-x; t我h— limyk¼L，我们有K33对于所有的e>0，2π。P1Xm。y;y;. . . ;y;x-x;t有ω1×m。y;y;.. . ;y;x-x;t1 Xmy; y;. ; yH;x y- LL;e1-r12ri2Irn-1ii1 2>>1-eP1Xm。y;y;. . . ;y;x-L;eω1×m。y;y;. . . ;y;y-L;e（X）Hi2Ir>1-gω1-g12ri2Irn-1I m>1-k：因此fxg是Ih- 柯西Himn这表明，3. Pr-n-空间中的缺项I-CauchyM关于概率n-范数mn的缺I-Cauchyn-1So;r2N：;axi-aL;e>1-k;xi-L1;n-1ri2Ir2II，对于所有e>0ri2Ir千分之一因此，我们认为，第二章M94B.C. Tripathy等;R（1X））4. Pr-n-空间中的缺Iω-收敛r2N：hri2Irm=1; y= 2;. ;yn-1;xiyi-L1L2;e>1-k定义4.1. 设λX;mω λ是一个Pr-n-空间，h <$^kλ是一个2 伊什伊缺项序列 X中的序列x^fxig被称为：概率赋n范空间中的缺I952nh2ðÞ安德莱[i]XX2H安德莱姆安德莱姆ωhðnÞkm安德莱FGr2N：h rim2I rX完美的。如果Ihω[i-1B]\fr2N：rPrg¼[i-1A\fr2N：rPrg：自从我-limxk1/4L，则对于每个e>0;k2 ≥ 0; 1/2，A/V2N：1-j6hri2Irm=1; y= 2;. ;yn-1;xi-L;e1-j1<1hωjJω<$Jr2K序列fxig关于概率n范数mn。m=1; y= 2;. ; yn-1; x im-L; e6 1-g缺项Iω-收敛或简称Ihω-收敛于LX关于概率n-范数mn，如果存在集合K<$fi10。选择一个正整数q，使得q-1g。<然后，我们有fr2N：i mω2I rg2IIand m-lim x im 升。 在这种情况下（）我们写Ih-limxk/L，L称为1X的缺Iω极限定义4.2. 一个容许理想I<$P<$N<$被称为满足（1X1）如果对于每个可数族，不交集fA1;A2;.. . g属于I，则存在可数族fB1; B2;.. g在I中使得AiDBi是有限集合对于每个i2N和B1/4[1Bi2I，其中D是对称的⊂r2N：hrim2I rq-1A：1/1m=1; y= 2;.. . ; yn-1; x im-L; e6 1-q1/1因为A DB是一个有限的集合，对于每个i1; 2;. . ; q1、在差i i¼-存在一个正整数r0，定理4.1.设λX;m; ω λ是Pr-n-空间，I是Admissi-空间，文成 升。K-limx 升，那么我文成 -limx.q1¼我.q10¼我0如果r>r0且r2K，则rRB. 这意味着，rR[q-1Bi证据 假设Ihnn n-limxk1/4L。那么存在一个集合q-11/1A¼ fim2N：imm<在2001年， 为我只2hNgsuch 的 集合所以rR[i1]Ai。因此，对于每个rPr0;r2K，我们有B/f r2 N： im2 Irg2 Im Im和I mn nnn-limxim升。1XHmy; y;.. . ; y;x-L;e>1-g：则对于每个e> 0;k2 <$0; 1 <$0和y1;y2;. ;yn-12X，12rim2I rn-1Im存在r02N使得因为这对于每个e> 0;g2 = 0; 1 = 0和y;y;... ;1hmy1; y2;... ; yn-1; x im-L; e> 1-k;对于所有r P r0：12yn-12X，所以我们有ωrim2I r因为I包含N的所有有限子集，mn-limxk¼L：QHrN：1hrim2I r因此，我们认为，m=1; y= 2;. ; yn-1; x im-L; e≤ 1-k）2I：定义4.3. 一个缺项序列h0<$$>k0r<$被称为是缺项序列h <$$>kr <$在Pr-n-空间中的缺项加细，如果r <$kr<$$>k0r<$。定理4.3. 设λX;m; ω λ是Pr-n-空间，h是缺元缺项序列h的精化。 如果我有-limxk¼L（规则2N：1Xm=1; y= 2;.. . ; yn-1; xi-L; e≤ 1-k）2I;则I h-lim x k 1/4 L。ri2Ir证据假设h的每个J都包含以下点：对于每个e> 0和k2 ≥ 0;1 π.因此，我-limxk升。 HRh0，使得r;tt¼1定理4.2. 设λX; m; ω λ是Pr-n-空间，理想I满足条件（AP）。 如果x ^fx ig是X中的序列，使得kr-1 0;k2 ≤ 0; 1 ≤， 以及[Jr;t<$kr;t-1;kr;t]：因为krk0，sorr;grP1。y; y;. ;y2X，设置12n-1设J ω 1为区间序列J 0订购（）11我2n-1r;tr2N：1Xm=y;y;.. . ; y; x-L; e6 1-k2I：增加右端点。对于j2N和e>0，我们定义y1;y2;... ;yn-12X，集合（一）1X第一章fj2 N：1Xmy; y;. . ; yJ;x-L;e-61-kg2I那么很明显，A1;A2;... . 是一个可数族的相互不相交的集合属于我，所以由条件(AP)存在可数集合族fB1;B2;. . ginI such也因为hr<$kr-kr-1，所以soh0r;t<$k0r;t-k0r;t-1。对于每个e>0，我们有，AiDBi是对每个i2N和B1/4[1i1Bi2I的有限集合。 因为B2I，所以在I中有一个集合K，使得K<$NnB。现在我们证明子序列fximg;im2Ir;r2K是（规则2N：1hrk2Jrmy1; y2;.. . ; yn-1; x k-L; e6 1-k）H我安德莱姆我Khri2Ir：n-1（R96B.C. Tripathy等M：k2Jr：JωJr;k2Jωω208r2N：1X8j2N：1 Xm=1; y= 2;.. . ; yn-1; xk-L; e6 1-k9=9=：[6] B.C. Tripathy，H. Dutta，关于由Orlicz函数定义的一些新的paranormed差序列空间，Kyungpook Math.HR HJJ J因此（r2N：1Xm）y;y;. . ;yH;x-L;e61-k）2IJ. 50（1）（2010）59-69.[7] P. Kostyrko，T. 别担心，W。Wilczynski，我-收敛，真正的肛门. Exchange 26（2000）669-686（2001）。[8] B. C. Tripathy，B. Hazarika，I-Convergent sequencespacesassociatedwith multiplier sequence spaces，Math. 不平等。Appl.12ri2Ir并且因此n-1K11（3）（2008）543-548。[9] B. C. Tripathy，B. Hazarika，ParanormedI-收敛序列空间数学 Slovaca 59（4）（2009）485-494.[10] B. C.Tripathy，B.Hazarika，I-收敛序列空间H文成 — limxk ¼L：Q由Orlicz函数定义，Acta Math.Appl.Sin. 第二十七条（一）（2011）149[11] B. C.Tripathy，B.Hazarika，I-单调和I-收敛确认作者感谢裁判的评论，这些评论改善了文章的呈现。引用[1] K. Menger ， 统 计 度 量 ， Proc. Nat.Acad. Sci. USA 28（1942）535-537.[2] A.N.谢尔斯特涅夫，随机赋范空间：问题的完整性，喀山戈斯。 你好嗖。 122（1962）3-20。[3] S. Gaühler，Lineare2-normiet re Raume，Math. 纳赫 28（1964）1-43。[4] S.Gaühler， Untersuchungenuberverallgemenertem-metrischeRaume，I，II，III，Math. Nachr. 40（1969）165-189。[5] B.C. 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