一个积分型不动点定理及其应用

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，258原创文章一个积分型不动点定理对于具有强切性质的Sunny Chauhana，*，Mohammad Imdadb，Erdal Karapınarc，Brian FisherdaNear Nehru Training Centre，H. No：274，Nai Basti B-14，Bijnor，246 701 Uttar Pradesh，IndiabAligarh穆斯林大学数学系，Aligarh 202 002，印度c土耳其，安卡拉，06836，I_ncekAtilim大学数学系。d莱斯特大学数学系，莱斯特LE1 7RH，英格兰收稿日期：2012年12月9日;修订日期：2013年7月27日;接受日期：2013年2013年10月21日在线提供摘要Sintunavarat和Kumam（W. Sintunavarat，P. Kumam，度量空间中积分型切多值映射的Gregus型公共不动点定理，Int.J. 数学数学Sci. 2011 12（Article ID 923458））将切向性质扩展到映射的混合对，其概括了由于Pathak和Shahzad（H.K.帕塔克，N. Shahzad，满足积分型压缩条件的切映射的Gregus型不动点结果，Bull.Belg. Math. Soc.Simon Stevin 16（2）（2009）277-288）。本文引入强切性的概念，并利用强切性证明了非自映象的一个积分型度量公共不动点定理.最后给出了一个例子来支持我们的主要结果。我们的结果是现有文献中大量相关公共不动点定理的2010年数学学科分类：47时10分; 54时25分？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍*通讯作者。联系电话：+91 9412452300。电 子邮 件 地 址： sun. gmail.com （ S.Chauhan ） ， mhimdad@ya-hoo.co.in （ M 。 Imdad ） ， erdalkarapinar@yahoo.com ，ekarapinar@ati-lim.edu.tr （ E. Karapınar ） ， fbr@le.ac.uk （ B.Fisher）。同行评审由埃及数学学会负责在非线性泛函分析中，度量不动点理论仍然是一个不可或缺的工具，因为它除了在数学的各个研究领域之外，还广泛应用于非线性科学。这方面最核心、最自然的结果之一是由波兰数学家Stefan Banach[1]在1922年证明的，即通常所说的Banach压缩原理。有趣的是，Banach不动点定理不仅保证了不动点1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.08.002制作和主办：Elsevier关键词度量空间;性质（E.A）;公共性质（E. A）;弱切点;成对切向螺旋桨强切性多值映象的一个积分型不动点定理259ð Þð Þ22！ð Þ2 ð Þ 2！ð Þð Þ ð Þ2！ð Þ22Σ2þ！ð Þ.点，但也提供了一个明确的方法来计算固定点。这种技术是强大的，足以解决各种应用问题的数学以及工程科学。由于这种多样性，Banach不动点定理继续吸引着许多研究者的注意。其中，有几个是可以回忆的[21969年，Nadler[14]证明了Banach压缩原理的集值模拟，有时被称为不动点研究中的Nadler收缩原理使用Hausdorff度量的多值压缩的方法是由Markin[15]提出的。从那时起，一个有趣的和丰富的不动点理论这样的映射是令人振奋的（例如[16在此可以指出，多值映射理论在最优化问题、控制论、微分方程和经济学中已经有了广泛的应用。Kaneko和Sessa [30]在CB X上的度量H下，将Jungck [29]提出的单值映射对的相容性概念推广到了混合映射对.Jungck和Rhoades[31]通过引入弱相容映射的概念进一步改进了相容性的概念。然而，由Pant[32]在度量空间中开创的非相容映射的公共不动点的研究也同样令人困惑。在2000年，Sastry和Krishna Murthy[33]引入了单值映射切向性质的概念。此后，Aamri和Moutawawaiti[34]定义了性质（E.A）的概念，它与切向性质略有不同。性质（E. A）的概念包含非相容映射类和相容映射类。对于一些类似的描述，也可以参考Singh和Tomar[35]。作为Banach压缩原理的推广许多数学家证明了几个涉及更一般的积分型压缩条件的不动点定理（例如，[37在2009年，Pathak和Shahzad[46]引入了成对切映射的概念，并利用它证明了定义在度量空间上的四重自映射的Gregus型公共不动点定理，该度量空间满足严格的积分型一般压缩条件。Sintunavarat和Kumam[47]将切向映射的概念推广到混合映射，得到了一个积分型com，2. 预赛在本文中，（X，d）表示度量空间。根据Nadler[14]，CBX表示X的所有非空有界闭子集类.由d在CB_x_x上诱导的豪斯多夫度量由下式描述：最大值superda;B;superdb;A;2：1对于每个A;BCBX，其中d（a，B）=inf{d（a，b）：b B}是距离从一到BcX.让F级：Xfix和F：XCBX.一个点x X是f（或F）的一个不动点，如果fx=x（或x Fx）。f（分别为F）的所有不动点的集合记为Ff（分别为FF）。点x X是f和F的重合点，如果fx Fx。的f和F的所有重合点的集合记为C（f，F）。一个点x2X是f和F的公共不动点，如果x= fx 2 Fx. f和F的所有公共不动点的集合记为Ff;F。定义1.设f：YcXfix和F：Y<$XCBX是两个映射。对（f，F）被称为(1) 兼容，如果fFx2C BX对于所有x2Y和limn！1H（fFxn，Ffxn） 0，只要fx ng是Y中的序列，使得li mn！1f xn¼z2limn！1F xn<$D2C B<$X <$，对于某个z2Y（参见[30]），(2) 不兼容，如果fFx2CBX对于所有x2Y，在 Y 中 存 在 一 个 序 列 {xn} ， 使 得 li mn ！ 1fxn¼z2limn！1Fxn¼D2C BX1H（fF xn，Ff xn）不是零就是不存在，只要fx n2Y（参见[32]），(3) 弱相容如果fx2Fx蕴涵fFx=Ffx，则对于f和F的所有重合点x2Y，fx2Y和FxcY（参见.[31]）。定义2[25]。设f：YcXfix是一个单值，F：YXCBX是多值映射。 称（f，F）对满足性质（E. A），如果存在Y中的序列{xn}，对于某个z2Y和D2C ∈X∈，使得lim fxn 1/2 z2D1/4limFxn：12：2 mm四个映象的Gregus型不动点定理严格的收缩。 最近，阿布-多尼亚和你好！1你好！1Abd-Rabou[48]证明了六个以及一个满足积分型压缩条件的映射序列的在一个著名的评论[47]，M。Balaj指出，[47]中包含的结果（也见[42]）例如1. 让X¼R与的往常度量和Y ¼ ½ 1;10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000德费恩 映射F级：Yfix和F：Y！ C BXxfx1;Fx½1;x1]，对于所有x2Y。考虑 一序列fx ngn2N¼。11in Y. 然后在特定的条件下，如果没有诉讼的封闭性，则无效-能够实现图像子空间。Lim你好！1外汇;外汇1/4lim1n你好！12¼12½1;2] ¼limn你好！1外汇;外汇; 因此本文的目的是表明，Sintunav的结果-arat和Kumam[47]的结果，除了利用非自杂交映射的强切性质证明一个满足积分型一般压缩条件的度量不动点定理外，还可以通过对切性质稍加限制而恢复，而不需要子空间的闭性要求. 我们的结果改进了Abu-Donia和Abd-Rabou的相应结果 [48]和 Sintunavarat和Kumam[47个]映射f和F满足性质（E. A）。定义3[26]。设f，g：YcXfix是两个单值映射，F;G：Y<$XCBX是两个多值映射. 称对（f，F）和（g，G）满足公共性质（E. A），如果存在两个序列{xn}，{yn}，对于Y中的某个z和D1;D22CB ∈X∈X，使得limFxn<$D1; limGyn<$D2; limfxn <$$> limgyn<$z除了推广现有的你好！1你好！1a2AB2B260S. Chauhan等人你好！1你好！1[19]2D1\D2：002：30多值映象的一个积分型不动点定理26152ΣΣ2ð Þ2FG2nn！ð Þ222！ð Þ¼1þfyn gn2N <$2n在Y.然后li mn！1F x n1/21;6]1 / 4D1;你好！1你好！1你好！1n你好！1Gyn=5。因此，52nY是序列xn<$1和 2019年12月22日5x102 2称对（f，F）是拟重合交换的，如果注意，如果在条件（2.3）中F=G，f=g且{xn}={yn}，则条件（2.2）容易遵循。例如 2. 考虑 X¼R带 的 往常 度量和Y =[1，1）。 定义f，g：YcX fix，因此，映射f相对于映射F相切。可以指出，如果对（f，g）与re相切如果（F，G）相对于对（F，G）相切，则对（F，G）不需要相对于对（f，g）相切（例如，[46，实施例2.3]）。f× 100× 100 ×100-1;g×100 × 100× 100× 100F（x）=[1，6+x]，G=x的四分之一和F; G：Y X！ CBB2X电子邮件1;对于所有x2Y，4 x。然而，如果对（f，g）相对于对（F，G）相切，并且对（F，G）相对于对考虑序列fx ngn2N1/4。11和（f，g），则（f，F）和（g，G）对满足公共prop-.1Σn（E. A）.lim n！1戈瑞（Gyn）1/21;5] / 4D2; 1fxn¼li mn！1gyn¼12D1\D2CBX. 因此，对（f，F）和（g，G）享受共同财产（A）。定义4[47]。设f，g：YcXfix是两个单值的和F;G：YX！X∈ B∈ X ∈B是两个多值映射。定义6[46]。设f，g：YcXfix是两个单值映射. 一个点z2Y称为（f，g）的一个弱切点，如果在Y中存在序列{xn}和{yn}使得limfxnz;长度 2：8 mm对（f，g）称为关于对的切向你好！1你好！1（F，G）如果limFxn limGynD2CBFXX线; 2：4mm对于某个z2Y。实施例5.令X^R^具有通常的度量，并且Y=[1，1）。你好！1你好！1定义映射f，g：YcXfix为f（x）=x+3，当Y中的序列{xn}和{yn}使得limfxnz2D;长度2：5 mm对于某个z2Y。实施例3.令X^R^具有通常的度量，并且Y=[1，1）。定义映射f，g：Y c X fix和F; G：Y <$X！ CBF-X系列作为 fx3x1;gx1;Fx1 /2 x3;x5]，g（x）= x+4对所有的x2 Y。考虑两个序列。x n<$21和. yn¼11Y. 很明显，利姆FXn =lim对（f，g）的弱切点。但是，在Y中不存在序列xn使得limn！1fxn=limn！1g xn=z对于某个zY。因此，对（f，g）不满足性质（E. A）。hi3对于所有的x2Y，G=x1/2 x2;x2=4。 显然，存在两个.- 是的Σping while F：YX！C_B_X_B是一个多值映射。limFxnlimGyn½4;6] 2CBX;fx2Fx（对于x2X和Fx，fx2Y）意味着包含fFx你好！1每当你好！1在FX。limfxn<$ limgyn<$42½4;6]：定义8[23]。 设f：Y c X fix是一个单值映射，你好！1你好！1ping while F：YX！C_B_X_B是一个多值映射。因此，对（f，g）相对于对（f，g）是相切的。（F，G）。第五章.设f：YcXfix是一个单值映射，而F：Y <$XCBX是一个多值映射。映射f称为关于映射F的切向，如果limFxn<$ limFyn<$D2CBF2 X轴;轴2：6轴称映射f关于映射F是重合幂等的，如果fx Fx与fx Y蕴涵ffx=fx，即f在对（f，F）的重合点处是幂等的。3. 主要结果你好！1你好！12009年，Pathak和Shahzad[46]引入了当Y中的序列{xn}和{yn}使得limfxn limfynz2D;长度2：7 mm切性，并利用它证明了一些Gregus型定理。动机你好！1你好！1[47]这是一个比喻，指的是一个人，一个人。对于某个z2Y。实施例4.设XR具有通常的度量且Y=[1，）.定义映射f：YcXfix和F：Y<$XCBX为f（x）=x+2和F（x）=[x2，x2+2]，对所有xY. 显然，存在两个序列。x n<$21和.yn¼2-1这样定义7[23]。设f：YcXfix是一个单值映射，在Y中，使得262S. Chauhan等人！ð Þ引入了两个杂交映射对切性的概念，建立了一个公共不动点定理对于两个杂交映射对满足积分型的严格一般压缩条件。在他著名的审查数学评论，M。Balaj指出，Sintunavarat和Kumam的结果[47]是n的limFxn½4;6] 2CBX;n不 正确 在 他们的 本 形式 没有 封闭性两名涉事 子空间 到 描述 意见本文作者设（X，d）为度量空间，C_（X，d）为你好！1n！1每当limfxn<$limfyn<$42½4;6]：X的非空有界闭子集的集合。 如果f，g：Xfix和F;G：XCBX 是四个映射，则 [47，定理3.5]的两个相关条件是你好！1你好！1如下所示多值映象的一个积分型不动点定理2632人2人！ð Þ！ð ÞZ242\2序列。xn¼2-1mm和. 2019 -01-2200：00：004在Y中，使得你好！1n！1(a) ：存在一个点z2f（X）\g（X）和两个序列limFx n <$$> limGyn<$$>1;3] 2CB<$X<$;{x}，{y}，使得limfx¼limgy=z（在你好！1你好！1nnn！1n你好！1n每当[47]的术语，z是（f，g）的弱切点(b)：存在两个序列fx0ngfy0ngg使得limn！1f x0n四分之一英里！1g y0n2lim n！1轴0n1/4lim n！1B y0n2C BX（即limfxn<$ limgyn<$22½1;3];（f，g）与（A，B）相切）。你好！1你好！1错误的发生是由于[47]的作者错误地假设存在一对满足条件（a）和（b）的序列，而在某些情况下，这对序列可能不同。然而，为了节省证明，假设f（X）和g（X）是X的闭子集，使得条件（a）变得超连续。我们可以注意到zf（X）g（X）不需要暗示f（X）和g（X）的封闭性，因此通过稍微修改条件（b），我们可以证明[47，定理3.5]，而不需要条件（a）。受此观察的启发，我们引入了强切向性质的概念，它比切向性质更具限制性：凡有2f（Y）g（Y）.因此，（f，g）对是强切的。关于对（F，G）的π。注意子空间f（Y）和g（Y）不是闭的，这就确定了这个定义的范围。然而，如果对（f，g）相对于对（F，G）相切，并且f（Y）和g（Y）是X的闭子集，则对（f，g）相对于对（F，G）强相切。在定义9中设置f=g和F=G，我们有10. carton设f：YcXfix是一个单值映射，而F：Y <$XCBX是一个多值映射。映射f称为关于映射F的强切向，如果limFxn<$ limFyn<$D2CBF2 X轴;轴 3：3轴第九章.设f，g：YcXfix是两个单值，你好！1你好！1F;G：Y <$XCBX是两个多值映射。对（f，g）称为关于对（F，G）的如果当Y中的序列{xn}和{yn}使得lim fxn lim fyn 1/4z2D; 2/3：4 mm你好！1n！1limFxn你好！1林戈恩你好！11/4D2CBFXX 100;103：100和z2f（Y）。现在，我们证明我们的主要结果如下：当Y中的序列{xn}和{yn}使得limfxnz2D;长度3：2 mm定理1.设f，g是度量空间（X，d）的子集Y到X的两个映射，F，G是Y到X的两个你好！1n！1和z2f（Y）\g（Y）.满足不等式实施例6. 令X^R^具有通常的度量，并且Y=[0，9]。放射治疗utdt6a0Zmaxfdfx;gy;dfx;Fx;dgy;Gygutdt1-a定义映射f，g：YcXfix和F;G：Y<$X！CBR1XדaZdfx;Gy0d gy;Fx2乌斯怀特·乌斯怀特utdt#; 2003年3月5日（x≠ 2; if 0 6x<2;.3;如果0 6x6 2;fx23;如果xP2：gx3 x102;如果x>2：对于所有的x，y2Y，其中06a1，aP0，bP0，a+b1，< 0。假设对（f，g）关于（F，G）是强然后(1) f和F在Y中有重合点u，你好！1你好！1(2) g和G在Y中有一个重合点v因此，对（f，g）相对于对（F，G）相切。这里可以看到，2Rf（Y）g（Y）表明对（f，g）不满足关于对（F，G）的强切性。实施例7.在示例6的设置中，将映射f和g替换为（除了保留其余部分外）此外，如果映射对（f，F）和（g，G）都是拟重合交换的且重合幂等的，则映射f，g，F和G有一个公共不动点.证据假设对（f，g）关于（F，G）是强切的，则.x≠ 2;if 0 6 x 62;. 2-x; if 0 6 x <2;4limFxn limGynD2CBFXX线; X线3：7 mmfxZ2ut>0;n 3：6¼00264S. Chauhan等人当Y中的序列{xn}和{yn}使得29-x;如果x>2：gx3xP 2;如果xP2：你好！1你好！1我们有f（Y）=[0，7）和gY0;2 9]。考虑limfx1/4limgy1/4z2D; 2/3：8 mm4如示例6中定义的序列，可以验证，n你好！1n你好！1多值映象的一个积分型不动点定理2652\2222.ðÞ ¼2（1/2]2/2]-Gx1 /4¼ ðÞ.Σ2ZZZZðÞZZZZðÞð ÞZ0ZZZ2. ;ifx2½0;1;2x.ðÞ ¼考虑 的 序列 fxngn2N<$1n其中z f（Y）g（Y）.因为z f（Y）存在一个点u Y使得fu=z。也有zg（Y）存在一个点vY使得gv=z。总之，我们有Fx½4;x4];ifx2½0;1;½1;3];如果x2½1;1：第1、 4项x;ifx 0; 1;1;1zlimfx你好！11/4lim gy 2D¼limFx你好！1你好！1然后我们有fY0;1[f1g和gY。0;1g.n nn二、1Σ2nlimGyn：3： 9你好！1我们称z2Fu.如果不是，则使用公式3.5，其中x=u，y=yn，我们得到，1-1页耶氏酵母中 那就来吧！1Fxn¼limn！1G yn1/21;3] 2CBX，无论何时，林！1fxn=limn！1g yn= 1 [1，3]. 因此对（f，g）关于对是强切的（F，G）。而且对（f，F）和（g，G）在x=1处是拟重合交换和重合幂以一个鲁-氟脲嘧啶0utdt6amaxfdfu;gyn;dfu;Fu;dgyn;Gyng0通过计算，可以验证定理1的条件（3.5对于某个固定的06a 1，aP0，bP0（其中，a+b1）<<×utdt1-a“a剂量20乌斯怀特·乌斯怀特氟脲嘧啶20用户编号：且u（t）= 1。因此，1是一个重合点，也是（f，F）和（g，G）对的公共如果f（Y）和g（Y）是X的闭子空间，则切-现在，在使nf1，我们得到tial性质意味着强切向性质，异丙肾上腺素0utdt6a甲氧苄氨嘧啶0utdt1-a“b氟脲嘧啶20utdt#下列推论是直接的：推论1.设f，g是A的子集Y上的两个映射6½a1-ab]甲氧苄氨嘧啶0乌斯季特<异丙肾上腺素0utdt;度量空间（X，d）到X的映射，F，G是从Y到X的两个映射满足不等式（3.5）和（3.6）的CBn × X 假设这是个矛盾因此H（Fu，D）=0。从z2d开始，我们有z2fu.现在，我们声称z2Gv. 如果不是，则使用（3.5），x=xn，y=v，我们得到(1) 该对（f，g）相对于（F，G）相切(2) f（Y）和g（Y）是X的闭子集。然后(a) f和F在Y中有重合点u，(b) g和G在Y中有一个重合点v此外，映射f，g，F和G有一个公共的不动点，HFxn;Gv0utdt6amaxfdfxn;gv;dfxn;Fxn;dgv;Gvg0点，条件是（f，F）和（g，G）是拟重合可换且重合幂等的。×utdt1-a“a设n=1，我们得到d fxn;Gv20乌斯怀特·乌斯怀特dgv;Fxn20用户编号：设f=g，且定理1中F=G，我们得到以下自然结果。推论2. 设f是度量D-半乳糖苷0utdt6a6Gv0utdt1-a“aZd z; Gv0d z;Gv20用户编号：空间（X，d）到X和F是从Y到CB X映射。假设(1)映射f相对于map是强切向的[1/2 a1-a]D-半乳糖苷<乌斯季特乌斯季特ping F，（二）HFx;Fyutdt6amaxfdfx;fy;dfx;Fx;dfy;Fy g0这是个矛盾因此H（D，Gv）=0，使得z2Gvz=gv2Gv。由于u2C（f，F），利用拟重合交换×utdt1-a“adfx;Fy20乌斯怀特·乌斯怀特d fy;Fx20utdt#;2013年3月10日（f，F）的性质与重合幂等性关于F的f，可以有fu2Fu和ffu=fu，因此fu=ffu2f（Fu）cF（fu），这表明fu是一个对于所有的x，y2Y，其中06a1，aP0，bP0，a+b1，<0且u：RR是可和的、非负的、Lebesgue可积的映射使得（3.6）<保持。然后(a) f和F在Y中有重合点u，(b) g和G在Y中有一个重合点v此外，如果映射对（f，F）和（g，G）是拟重合可换且重合幂等的，则映射f，g，F和G有一个公共不动点.通过在定理2中设置u（t）=1，我们得到以下自然结果：推论4. 设f，g是从度量空间（X，d）的子集Y到X的两个映射，F，G是从Y到C_b_X_n的两个映射. 假设(1)对（f，g）相对于（F，G）强切向（二）HFx;Gy6wmaxxfdfx;gy;dfx;Fx;d;Gy;d fx; Gy; d gy; Fxgy; 3：13确认所有的作者都感谢某些匿名的裁判，他们对这本手册的前两个版本进行了批判性的阅读，并提出了许多改进。引用[1] S.Banach，Surlesope′rationsdanslesensemblesabstraintsettouchapplicationauxe′quationsinte′grales ，基金。 数学 3（1922）133- 181。[2] I. 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