涉及n/ ; w-有理型压缩映射的不动点定理：赋偏序度量空间框架下的结果

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，95埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章带辅助函数的有理型表达式在Sumit Chandoka，Binayak S.Choudhuryb，Nikhilesh Metiyac，*aKhalsa工程技术学院（旁遮普技术大学）数学系，Ranjit大道，印度新德里孟加拉工程与科学大学数学系，Shibpur，Howrah 711103，West Bengal，Indiac印度西孟加拉邦加尔各答700150孟加拉理工学院数学系接收日期：2013年8月9日;修订日期：2013年12月19日;接受日期：2014年2月2日2014年3月15日在线提供本文在赋偏序的度量空间框架下，建立了涉及n/ ; w-有理型压缩映射的不动点定理。这些结果推广和发展了文献中的一些已知结果。给出了四个说明性的例子2010年数学学科分类：41 A50; 47 H10; 54 H25？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍Banach压缩映射原理是数学分析中最通用的基本结果之一。它被广泛应用于数学的各个分支，并被认为是度量不动点理论的来源。有大量的文献涉及Banach压缩原理的技术扩展和近年来，不动点理论在偏序度量空间，即赋*通讯作者。联系电话：+91 9732559201。电子邮件地址：chansok. gmail.com，chandhok.sumit@gmail。com（ S. Chandok ） 、 binayak12@yahoo.co.in 、 binayak@becs.ac.in（B.S.Choudhury），metiya. gmail.com（N. Metiya）。同行评审由埃及数学学会负责一个部分排序。这个理论产生于一个相对较晚的时间点。这方面的一个早期结果是由Turinici在有序可度量化一致空间中建立的[17]。不动点结果在偏序度量空间中的应用随后被提出，例如Ran和Reurings[18]用于求解矩阵方程，Nieto和Rodriguez-Lopez[19]用于获得某些具有周期边界条件的偏微分方程的解。最近，许多研究者在偏序度量空间中得到了不动点、公共不动点的结果，其中一些结果在[20在赋偏序的度量空间中，利用辅助函数建立了满足有理型广义压缩映射的不动点定理.给出了四个说明性的例子2. 数学范畴在[34]中，Dass和Gupta证明了下面的不动点定理。1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.02.002制作和主办：Elsevier关键词不动点;有理型广义压缩映射;序度量空间96S. Chandok等人ð ÞþðÞðÞ.ðÞ222222FG1个d×n-1;xnn1个d×n-1;xn1个d×n-1;xnn1个d×n-1;xnnΣ定理2.1[34]. 设X;d是完备度量空间，T：X！X是一个映射，使得存在a;bP0，且a∈b 1满足0，w>t> 0;w= 0不需要等于0。3. 主要结果定理3.1. 设X是偏序集，X上存在度量d，使得X是完备度量空间。 让T：X！ X是一个连续且非减的映射，使得对于所有的x;y2X，x6 y，/dTx; Ty6/ Mx;y-wNx;y; 3：1其中/2U;w2W，x;y2X，x6y ）Tx6Ty：12：20最大值和dy;Ty½1dx;Tx];1个月;年dy;Tx½1dx;Ty];dx;y1个月;年定理2.2[35]. 设X是偏序集，X中存在度量d，使得X是完备度量空间。让T：X！X是连续的和非连续的最大值dy;Ty½1dx;Tx];dx;y：1个月;年递减映射使得（2.1）对所有x ; y都满足Xx6y。如果存在x0X使得x06Tx0，则T具有一个固定的点。定理2.3[35]. 设X是偏序集，X中存在度量d，使得X是完备度量空间。假设fx ng是X中的非减序列，使得x n！x，则x n6x，对所有n2 N。让 T：X！X是一个非减映射，使得（2.1）是如果存在x02X且x06Tx0，则T有一个不动点。证据 如果Tx0¼x0，则我们有结果。 假设x0Tx0.<然后我们在X中构造一个序列fxng，使得xn 1¼Txn;对于每nP0：3：2由于T是一个非减映射，我们通过归纳得到：满足所有x; yX，x6y。如果存在x0X这样的x06Tx0则T有一个固定点。x0 0; limwx n> 0 g：我们注意到W是非空的。因为，我们定义w为1/2;1/2，我的意思是，我的意思是，我的意思是， 然后w2w。在这里，我们观察到，1/2/3/4/5/6/8/10也就是说，/Rn/ maxxfRn;Rn-1g-w maxfRn;Rn-1g：3：4如果Rn>Rn-1，则由式（3.4），我们有/<$Rn<$6/<$Rn<$-w<$Rn<$;即;w<$Rn<$60;这是个矛盾所以，Rn6Rn-1，也就是说，Rn是一个递减序列。然后不等式（3.4）得出：/R n6/ Rn-1-wRn-1：3：5.nP0.n-1(i)f是单调递增且连续的，n-1n-1Σ带辅助函数的有理型表达式在序度量空间中的不动点结果97FG¼FG！1国王！1国王！1！1！1国王！1;ÞK×ðK由于Rn是一个递减的正实数序列，并且有界于下，存在rP0，使得同样，我们有limdxmk-1;xn ks： 3：11R n¼dx n1;x n！r为n！1：03：60国王！1让现在，我们将证明，r0。相反，假设R>0。取式（3.5）两边的极限上确界，使用（3.6），w的性质和f的连续性，我们得到. dxnk-1;xnk½1dxmk-1;xmk]1美元/天;xnk-1m k-1/r6/rlim-wRn-1：由于lim_w_R_n-1，因此，lim_w_R_n-1，n-1 因此，dxnk-1;xmk½1dxmk-1;xnk];dx1dxmk-1;xnk-1mk-1;xnk-12013年3月12日/r6/r-limwRn-1，即limwRn-160;这是一个矛盾，除非r≠0。和N/4ma x. dxnk-1;xnk½1dxmk-1;xmk];dx;x显示：因此，kR n¼dx n1;x n！0为n！1：03：701美元/天mk-1;xnk-1mk-1nk-12013年3月13日接下来我们证明fxng是柯西序列。假设xn不是柯西序列。则 存在一个s> 0，对于它我们可以找到两个正整数序列fmkg和fnkg，使得对于所有正整数k;nk>mk>k和dxmk;xnkPs。假设nk是最小的正整数，我们得到在式（3.12）和式（3.13）中设k，使用式（3.7）、式（3.9）、式（3.10）和3.11我们有limMk14 maxf 0; s; sg 14 s 3：14 mm和limNk¼ maxf 0; sg¼ s：103：15 mmn k> m k> k; d xmk现在我想，;xnkPs和d;xnk-1专家：国王！1由于xmk-1（3.13）我们有6xnk-1应用（3.1）和使用（3.12），s6dxmk;x nk6dxmk;x nk-1dxn k-1;xn k;也就是说，s6dxmk;xn k6 sdxnk-1;xnk：让k！1在上述不等式中，并使用（3.7），我们有lim dx mk;x nks：再说一遍，dxmk-1;xn k-16dxmk-1;x mkdx mk;x nk/dxmk;xnk/dTxmk-1;Txnk-16/Mk-wNk：取上述不等式两边的极限上确界，利用3.8，3.14，3.15，w的性质和f的连续性，我们得到/6/-wNk：由于lim_n-w_N_k_n_n_k_n-lim_w_N_k_n，因此，/6/-limwN;即;limwN60;和d根据公式3.15和w的性质，这是一个矛盾。因此fxng是完备度量空间X中的柯西序列。dxmk;x nk6dxmk;xm k-1dx m k-1;xnk-1因此，存在u2X使得li mn！1xn¼u. 然后德拉克斯nk-1;xnk：的 连续性 的 不意味 的Tu¼Tlimn！1xnlimn！1T xn<$limn！1xn n=1/4u，即u是一个固定点在上述不等式中设k， 并使用（3.7）和（3.8），我们有limdxmk-1;xnk-1s：3：9中医 H在我们的下一个定理中，我们放松了定理3.1中的映射T通过对度量空间X施加以下序条件：国王！1再说一遍，dxn k-1;x mk6dxm k-1;x n k-1dx m k-1;x mk和dxmk-1;xn k-16dxmk-1;x mkdxn k-1;x mk：在上述不等式中设k， 并使用（3.7）和（3.9），我们有limdxnk-1;xm ks：3：10Mk¼max98S. Chandok等人2FG！二号！ð Þ ð Þ ðÞ如果fx ng是X中的非减序列，使得x n！x，则x n6x，对所有n2 N。定理3.2. 设X是偏序集，X上存在度量d，使得X是完备度量空间。假设x n是一个非递减序列，X，则xnx ，则x n6x，对于所有nN.设T：XX是一个非递减映射。设（3.1）成立，其中M x;y;N x;y和f;w的条件与定理3.1中相同。如果存在x0X，且x06Tx0，则T有一个不动点。带辅助函数的有理型表达式在序度量空间中的不动点结果991天后，1天后，你好！1你好！1FG2FG22¼¼fðÞðÞðÞg⊂n1个dxn;u1个dxn;unnnn;du;xωn证据我们取与定理3.1的证明中相同的序列fxng那么我们有x06x16x26.. . 6x n6x n16.. . 也就是说，fxng是一个非减序列。而且，这个序列收敛于u。则xn6u，对所有n2N.假设u让最大M¼du;Tu1dxn;Txn];du;Txn1dxn;Tu];dx;uT的单调性意味着Tnu0<$un6xω<$Tnxω和Tnu0<$un6yω<$Tnyω：如果存在一个正整数m，使得xω<$um，那么对于所有nP m ，xω<$Txω<$Tun <$un <$1。那就 去 吧！ xω 为n！1.一、 现在我们假设xω-un，对所有的n个P 0. 所以对于所有的n P 0，un maxfdu;Tuu;0;0g <$du;Tuu>03：18和limNn<$maxfdu;Tu;0g <$du;Tu>0：03：19由 于对 所 有nx n6u ， 应 用公 式 3.1 和 公式 3.16 ，公 式3.17，我们有/d xn1;Tu/dTxn; Tu6/M n-wNn：取上述不等式两边的极限上确界，利用（3.18），（3.19），w的性质和，我们得到/du;Tu6/du;Tulim-wN：由于lim_n-w_N_n-lim_w_N_n_n，因此，/du;Tu6/du;Tu-limwNn;即;limwNn60;由式（3.19）和w的性质可知，这是一个矛盾。所以，u¼Tu，也就是说，u是T的一个固定点。H现在，我们将证明不动点的唯一性定理3.3. 除了定理3.1（或定理3.2）的假设外，假设对每个x;y X，存在u X使得u6x和u6y。而T有一个唯一的固定点。证据从定理3.1（或定理3.2）可以得出，T的不动点集是非空的。我们将证明，如果xω和yω是T的两个不动点，即如果xω<$Txω和yω<$Tyω，然后xω<$yω。假设存在u0使得u06xω和u06 yω。然后，与定理3.1的证明类似，我们定义序列fung，使得n11/2/3/4/5/6/8/10/1也就是说，/Pn1/ axfPn1;Png-wPn：3：21如果Pn<$1>Pn，则从上述不等式，我们有/Pn16/Pn1-wPn;即;wPn60;这是个矛盾所以Pn<$16Pn，即Pn是一个递减序列.由不等式（3.21）可以得出：/Pn16/Pn-wPn：3：22由于Pn是一个递减的正实数序列，并且有界于下，因此存在rP0，使得Pn¼dun;xω！ r为n！1：03：23分类似于定理3.1的证明，我们可以证明r/40。然后，Pn¼dun;xω！ 0asn！ 1;thatis;un！xωasn！1：03：24分使用类似的论证，我们可以证明，u n！ yωas n！1：03：25分最后，极限的唯一性蕴含xωyω。因此T有一个唯一的固定点。H实施例3.4.设X为0; 1; 1; 0; 1; 1R2，欧氏距离为d。我们考虑X中的偏序R如下所示R<$fx;x：x2Xg[f0;1;1;1] g：设T：X！ X由下式给出：T0;10; 1;T1;01; 0和T1;10; 1：Let/;w：½0;100！1/20;1/20分别由u nn n <$1<$Tu n<$Tu0; n<$0; 1; 2;.. .13：20分公式nP0，应用公式3.1，我们有-wmaxn100S. Chandok等人（;if 3t4;<<2半]2..ΣΣ223十一 分之二！ ½1Þ10半]十一 分之二！ ½1Þ¼2半]ð Þ ðÞ2！FG！21.ΣðÞðÞ2X222//半吨]22t2;否则为;是一个非递减映射。假设（3.26）式成立，其中N≠x;y ≠ 0，且关于n/;w≠ 0的条件与定理3.1中的相同。如果存在x02X且x06Tx0，则T具有其中t 表示不超过t的最大整数。这里定理3.1和3.2的所有条件都满足，T有两个不动点，分别是0;1和1; 0。示例3.5. 设X1/4 =0; 01/2;1; 0; 0 1/2; 01/2是R2的顺序如果 x16x2;y16y2。 设d：X×X！ R为最大值fjx1-x2j; jy1-y2jg;对于x1/4x1;y1/2;y1/4x2;y2/ 2X：让T：X！X定义如下：T0;0 0;0;T0;11;0和T. 1;0磅/小时0;0磅/小时：让我们考虑函数f和w，如示例中所定义的。3.4. 这里定理3.1，3.2和3.3的所有条件都得到满足，并且T的唯一不动点是0.0;0.0。固定点。证据由于不等式（3.26）蕴涵了不等式（3.1），通过定理3.2，我们得到了所需的证明。H推论3.9。 除了推论3.7（或推论3.8）的假设外，假设对每个x;y X，存在u X使得u6x和u6y。而T有一个唯一的固定点。示例3.10. 设X<$C<$0;1] <$fx：<$0;1] ！ R;连续g，偏序为x 6 y（）xt6 yt，对于t2½0;1]。设X上的度量d由下式给出：dx;yl ;Supfjxt-ytj：t2½0;1]g;对于x;y2X：让T：X！ X定义为Tx 1/4 x; x 2 X。设f;w：0;0;分别由以下公式给出示例3.6. 令X1/21：5;2]具有通常的偏序//半吨]210如果3t 4;<<而通常的度量让T：X！X定义如下：1： 81;如果1： 56x 1： 75;minfx<$t<$;y<$t <$g是连续的，条件是让 f;w：0;0;分别由公式给出（½t];如果3t4;1000第3.9章满意了可以看出，x0是唯一的X中T的不动点在推论3.7和3.8中，取/为恒等式/不知道;不知道1000t;否则;映射 和wt1-kt为 所有 t2½0;1μ m， 哪里k2 <$0;1 ∞，我们有如下结果。其中t 表示不超过t的最大整数。这里定理3.2和3.3的所有条件都得到满足，并且x1/2是T的唯一不动点。注.在上面的例子中，映射T不是连续的。因此，上述例子不适用于定理3.1。推论3.7。 设X是偏序集，X上存在度量d，使得X是完备度量空间。 让T：X！ X是一个连续且非减的映射，使得对于所有的x;y2X，x6 y，/dTx; Ty6/ Nx;y-wNx;y; 3：26其中，NXy和关于Iw的条件与定理3.1中相同。如果存在x0X，且x06Tx0，则T有一个不动点。证据由于不等式（3.26）蕴涵了不等式（3.1），通过定理3.1，我们得到了所需的证明。H推论3.8。 设X是偏序集，X上存在度量d，使得X是完备度量空间。 假设fx ng是X中的非减序列，使得x n！x，则xn6x，对所有n2 N。让T：X！X推论3.11。设X是一个偏序集，设 X 上 存 在 度 量 d ， 使 得 X;d 是 完 备 度 量 空 间 。 让 T ：X！X是一个连续的非减映射。假设存在k2 <$0; 1<$0使得对于所有x;y2X且x6 y，dTx;Ty6k最大值dy;Ty½1dx;T x];dx;y：1个月;年2019 -03- 27如果存在x02X且x06Tx0，则T有一个不动点。推论3.12。设X是一个偏序集，假设X上存在一个度量d，使得X是一个完备度量空间. 假设如果 Xn是一个非递减的X中的序列，使得xnx ，则x n6x，对于所有nN.设T：X X是一个非减映射. 假设（3.27）成立。如果存在x0X与x06Tx0，则T具有 一个固定的点。注3.1. 定理3.1，3.2和3.3分别是一般的[35]中定理2、3和4的推广，这里分别作为定理2.2、2.3和2.4。（.Tx¼带辅助函数的有理型表达式在序度量空间中的不动点结果101十一分之二！ ½ 1Þ½1Þ2 ðÞð Þ ðÞ2我们的结果的其他后果是以下涉及压缩的积分型映射。用K表示满足以下假设的函数集合：(h1)l是每个紧空间上的Lebesgue-可积映射引用[1] 张文龙，广义巴拿赫压缩猜想的一个证明，中国科学院学报，2003年，第131期，第3647[2] V. Berinde，弱收缩0的子集;;(h2)对于任何s>0，我们有Rsltt tt>0.使用Picard迭代，非线性分析。第九届论坛（2004年）43-五十三0推论3.13。设X是偏序集，X上存在度量d，使得X是完备度量空间。让T：X！X是一个连续的非减映射。假设存在s2 K且对所有x;y2X且x6 y，[3] D.W. 黄志文，非线性收缩，中国科学院学报。Amer. 数学Soc. 20（1969）458-464。[4] A. Branciari，满足积分型一般压缩条件的映射的不动点定理，Int. J. Math. 数学科学29（2002）531-536。[5] S.Chandok ， Somecommonfixedpointtheoriesforgeneralizedf-weakly compressive mappings ， J. Appl. Math.Inf. 29（2011）257-265.[6] S. Chandok，广义非线性系统的一些公共不动点定理，[医]甲状腺激素;甲状腺激素0stdt6/Mx;y0我是说，wNx;y0stdt;2018年03月28日星期三非线性压缩映射，计算。62（2011）3692-3699。[7] S. Chandok，度量空间中广义非线性压缩映射的公共不动点，Mat. 04 The Fantasy（2013）其中，Mx; y; N x; y和关于/;w的条件是29比34与定理3.1相同。如果存在x0，则T有一个不动点。2X x06Tx0，[8] B.S. Choudhury，P.Konar，B.E.Rhoades，N.梅 蒂亚，固定广义弱压缩映象的点定理，非线性分析。74（2011）2116-2126。[9] L.B. C′iric′，Banachs压缩原理的推广，推论3.14。设X是一个偏序集，假设X上存在一个度量d，使得X是一个完备度量空间.假设fx ng是X中的非减序列，使得x n！x，则x n6x，对所有n2N。让 T：X！X是一 个非 减 映 射。 设 存 在s2K ， 式 （ 3.28 ） 成 立， 其 中M<$x;y<$;N<$x;y <$，且f;w的条件与定理（3.28）中相同3.1.如果存在x0X，且x06Tx0，则T有一个不动点。推论3.15。设X是一个偏序集，假设X上存在一个度量d，使得X是一个完备度量空间.让T：X！X是一个连续的非减映射。假设存在s2 K且对所有x;y2X且x6 y，Proc. Am. 数学Soc. 45（1974）267-273。[10] M.张文，等.[11] D.S.杨文，不动点定理，北京大学出版社，1999。[12] D.S. Jaggi，B.K. Das，An extension of Banach's fixed pointtheorem through rational expression ， Bull.Cal.Math.Soc.72（1980）261-264.[13] A. Meir，E. Keeler，关于压缩映射的一个定理，J. 数学。肛交。Appl·28（1969）326-329。[14] J. Merry Field，B. Rothschild，J.D. Stein Jr，Ramseys定理在Banach 压缩原理中的应用，Proc. 美国数学学会 130（2002）927-933。[15] B.E. Rhoades，弱压缩映射的一些定理，非线性分析。47（2001）2683-2693。[16] T. Zam Firescu，度量空间中的不动点定理，Arch。Math.（Basel）23（1972）292[17] M. Turinici，抽象比较原理和多变量[医]甲状腺激素;甲状腺激素0stdt6/Nx;y0我是说，wNx;y0stdt;2019年03月29日星期三Gronwall-Bellman不等式，J. 数学Anal. Appl. 117（1986）100-127。[18] A.C.M. Ran，M.C.B.半序集上的不动点定理及其在矩阵中的应用其中，N x;y和i;w上的条件与在定理3.1. 如果存在x0X，x06Tx0，则T有固定点。推论3.16。设X是一个偏序集，假设X上存在一个度量d，使得X是一个完备度量空间.假设fx ng是X中的非减序列，使得x n！x，则x n6x，对所有n2 N。让 T：X！X是一个非减映射。假设存在s 2 K，其中（3.29）成立，其中N≠x; y ≠ 0，且关于n/;w≠ 0的条件与定理3.1中相同。如果存在x02 X且x06 Tx0，则T有一个不动点。确认作者感谢博学的裁判提出的建议。方程式，Proc. Amer. 数学Soc. 132（2004）1435-1443。[19] J.J. 涅 托 河Lo'pez ， Contractivemappingtheoriesinpartiallyorderedsetsandapplicationstoordinarydifferentialequations，Order 22（2005）223-239。[20] R.P. Agarwal，文学硕士El-Gebeily，D. O'Regan，偏序度量空间中的广义压缩，应用分析。87（2008）109-116。[21] M. Arshad ，E. Karapinar ，J. Ahmad ， Some unique fixedpointtheories for rational contractions in partially orderedmetricspaces，J. Inequal。248 .第2013（2013）号申请[22] GVR巴布，G.N. Alemayehu，满足有理表达式弱压缩条件的弱偏置映射的公共不动点的存在性， Proc.Jangjeon Math.Soc.14（1）（2011）115-133。[23] T.G. Bhaskar，V. Lakshmikantham，半序度量空间中的不动点定理及其应用，非线性分析。65（2006）1379-1393。[24] S. Chandok，J.K. Kim，序度量空间中满足有理的广义压缩映射的不动点定理ZZZZZZ102S. Chandok等人类型表达式，J.非线性函数分析。17（2012）301-306。[25] S. Chandok，偏序度量空间中广义弱压缩映射的一些公共不动点结果，J. 非线性分析Op.4（2013）45-52.[26] S. Chandok，M.S. Khan，K.P.R. Rao，满足有理型压缩条件的映射对的耦合公共不动点定理，J.非线性分析。Appl.2013（2013）1-6.[27] S. Chandok，T.D. Narang，文学硕士Taoudi，半序度量空间中广义有理型压缩映射的公共不动点结果，Veitnam J.数学 41（2013）323-331。[28] B.S. Choudhury ， N.Metiya ， Multivalued and singlevaluedfixedpoint results in partially ordered metric spaces，Arab J.Math. Sci. 17（2011）135-151。[29] B.S.乔杜里A. Kundu，Kundw;a;b半序度量空间中的弱压缩，应用数学快报. 25（2012）6-10。[30] B.S. Choudhury，N.半序度量空间中几乎压缩的不动点定理，北京大学出版社。Ferrara 58（2012）21-36.[31] B.S. Choudhury，N. Metiya，M. Postolache，广义弱压缩原理及其在耦合重合点问题中的应用，不动点理论应用，2013（2013）152。[32] J. Harjani，K. Sadarangani，偏序集上弱压缩映射的不动点定理，非线性分析。71（2009）3403-3410。[33] J. 哈加尼湾 洛佩斯，K。Sadarangani，偏序度量空间上满足有理型压缩条件的映射的不动点定理，抽象应用分析。（2010）（文章ID 190701）。[34] B.K. Dass，S. Gupta，Banach压缩原理通过有理表达式的扩展，Inidan J. Pure Appl. 6（1975）1455-1458.[35] I. Cabrera，J. Harjani，K. Sadarangani，偏序度量空间中有理型压缩的不动点定理，Ann.Univ.Ferrara。59（2013）251-258。[36] M.S.汗，M。Swaleh，S.张文，不动点定理的一种新解法，北京大学出版社，2001。30（1984）1-9。