偏序G-度量空间中不具混合单调性质的映射的耦合不动点结果

ðÞ××！ð Þ¼ð Þ¼ ð Þ¼ð Þ2ð Þ ð Þ2ð Þ¼ ¼ ¼Journal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，471埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章半序下不具混合单调性映射G-度量空间S.H. Rasouli*，M.H. 马利克沙阿伊朗Babol，Babol技术大学，基础科学学院，数学系收稿日期：2013年8月3日;修订日期：2013年11月16日;接受日期：2013年2014年1月11日在线提供本文证明了偏序G-度量空间中不具有混合单调性的映射的耦合不动点结果。我们还证明了，如果<$X;G<$是正则的，则这些不动点结果成立。2010年数学学科分类：47时10分; 54时25分？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍2005年，Mustafa和Sims引入了一类新的广义度量空间（见[10，11]），称为G-度量空间，作为度量空间X;d的推广（见[2在[4]中，耦合不动点在偏序度量空间中得到，其中由T. Gnana Bhaskar和V. Lakshmikantham。在这篇文章发表后，最近的文献中出现了几个耦合的不[12]中提到的作品是这些作品的一些例子本文在偏序G-度量空间中建立了不具混合单调性质的映射的耦合不动点结果。近年来，耦合不动点*通讯作者。电子邮件地址：s.h. nit.ac.ir（S.H. Rasouli）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier关于不具有混合单调性质的映射的一些结果已在许多文献中得到了研究（见[1，13，14]）。在陈述和证明我们的结果之前，我们先回顾一些要点。2. 预赛我们回忆一些基本的定义和结果，我们需要在续集。关于以下符号的详细信息，我们参考[11]。首先给出G-度量的定义定义1.1[11]。 设X被 一 非空 设置 和 设G：X X XR是满足以下性质的函数：（G1）G x;y;z0，如果xyz，（G2）0 0，存在kN使得对所有m ; n P k，G x;xn;x m0 ， 存 在 k2N 使 得G∈xn;xm;xl∈ s，对所有n;m;lPk;也就是G<$x n; x m; xl<$！ 0作为n; m; l！ 2001年。1.5号提案[11]。设（X，G）是G-度量空间。则以下是等价的：(1) 序列fxngg是G-Cauchy的;并且在其第二个参数中是单调非增的，也就是说，对于所有 x1;x22X;x1≤x2 ， 对 任 何 y2X ， 意 味 着F<$x1;y<$≤F<$x2;y<$，对于所有y1;y22X;y1≤y2，意味着F<$x;y1< $ ≥F<$x;y2<$，对任何x2X。混合单调性质的概念由Lakshmikantham和C′iric′[9]推广如下。定义1.10.设X; ≤ X是偏序集，F：XX和g：XX. 映射F表示 有 的 混合 g-单调 财产 如果 F 是单调g-第一个参数不减，第二个参数单调g-不增，即对于所有x1;x22X;g<$x1<$$>≤g<$x2<$$>，意味着F<$x1;y<$≤F<$x2;y<$，对于任何y22X和为所有y1;y22X;gy1≤gy2意味F≥F，对任意x2X.定义1.11[5]。一个元素<$x; y<$2 X × X称为映射F：X×X的耦合不动点！ X如果Fx;yx和Fy;xy：定义1.12[9]。一个元素<$x; y<$2 X × X称为映射F：X×X的耦合重合点！X和G：X！ X如果Fx;ygx和Fy;xgy：定义1.13[5]。 让X;d是度量空间，设g：X X;F：XXX.映射g和F被称为兼容，如果limdgFx;y;Fgx;gy^0，(2) 对于每个s>0，存在k2N使得G=xn;xm;xm= s，你好！1nnnn对于所有n; mP k.定义1.6[11]。 设（X，G）和<$X0;G0<$是G-度量空间，f：<$X;G< $ ！ G0是一个函数。则称f在点a 2 X处G连续当且仅当对每个s> 0，存在d> 0使得x;y2X和Ga;x;y g <$X <$; g和F是相容的。如果x; y; u; v 2 X 使得gx = Fgu，则F x; y= FF x; y; v。Thereexists x0;y02X 使得gx0=F<$x0;y0<$，gy0= F y0; x0.存在k2 1/20;1k，使得GFx;y;Fu;v;Fw;z62½Ggx;gu;gwG不具混合单调性质的映射的耦合不动点结果473¼ ðÞð Þ2 × ¼ ðÞ你好！1==220 0 0101ð Þ2ð Þ¼¼2nn对于所有x; y; u; v2 X满足gx= gu; gy= gv.对于所有的与和都可比较。然后有存在x;y XX，则gxF x;y和gy F y;x，即g和F有唯一的耦合重合点。证据 设x0;y02X使得gx0=F<$x0;y0<$且limGgFyn;xn;gFyn;xn;Fgyn;gxn<$0：假设F是连续的。利用三角不等式，我们得到G gx; gx; F gxn; gyn6 G gx; gx; gF xn; ynG现在利用g和F的连续性，令n！1在（3）中，我们得到Ggx; gx; Fx; y^0，即， gx ¼ Fx; y。以类似的方式，得到gy<$Fy;x。我曾以为，这是一个“不平凡”的故事。gy0=Fy0;x0. 以来FX×XgX， 我们 可以选择x1; y1 2 X，使得gx1 1/4 F=x0; y 0 =0且gy1/4 F=y0; x0 =0。同样， 由 于F<$X×X<$$>g <$X<$$> ， 我 们 可以 选 择x2;y22X，使得gx2<$F<$x1;y1<$x和gy2<$F<$y1;x1<$x。继续这个过程，我们可以在X中构造两个序列x n和yn，对于n <$1; 2 ; ...，gxn<$$> F <$x n-1; yn-1和gyn<$F <$y n-1; x n-1;ð2Þ因此gx0=Fx0;y0^gx1。条件（ii）意味着g x1Fgx2。 继续这个过程，我们有gxn-1 gx;同样地，gyn-1 gyn对于每个nN.通过使用（1）Ggxn;gxn;gxn1G Fxn-1;yn-1;Fxn-1;yn-1;Fxn;ynF和g的重合点。则耦合符合集非空。我们将证明，如果fx;y和fw;z是耦合的重合点，也就是说，如果gx<$$>Fx;y;gy<$$>Fy;x;gw<$Fw;z和gz<$Fz;w，则gx/gw和gy/gz：103磅通过假设，那里存在u;v等F 输入u0<$u; v0<$v并选 择 u1; v12 X ， 使 得 gu1<$F<$u0;v0<$p 和 gv1<$F<$v0;u0<$p。然后，我们可以通过gu n <$1 <$$> F <$u n ; v n <$和gvn <$1 <$$> F <$v n ; u n <$ 来 归 纳 地 定 义 X 中 的 序 列<$gun<$和<$gvn<$。 此外，set x0¼x;y0¼y;6千分之二千兆克n-1 ;gxn-1 ;gxnw0<$w和z0<$z，以同样的方式，定义序列gxn gz n gxn1¼Fxn;yn;Ggyn1Fyn;xn和gwn1Fwn;un;gzn1Fzn;wn，gy; gy; gyG;xn-1;n2N;则我们有x n<$$>x;yn<$$>y和w n<$w;z n<$z，即，n nn 1n-1yn;yn;xnn-1n-1n-1gxnFx;y;gynFy;x和gwnFw;z;6千分之一千兆克的压缩机;gy;gygzn<$Fz;w（n2N）：42n-1n-1n由于Fx;y;Fy;xugx;gy和Fu;v;Fv; uu因此G第1节 可比的， 然后 gx=gu1;gy=gv1类似地，gx=gun;gy=gvn。因此，从（1），我们得到G gxn; gxn; gxn1 G gyn; gyn; gyn16k½G gyn-1;gyn-1;gynG gxn-1;gxn-1;gxn]对于每个n2N.然后我们有Ggx;gx;gun1G Fx;y;Fx;y;Fun;vn6kGgx;gx;guGgy;gy;gv;5和G gxn; gxn; gxn1 G gyn; gyn; gyn1gy;gvÞ¼GðFðy;xÞ;Fðy;xÞ;Fðv;uÞÞ6kn½Ggy;gy;gyGgx;gx;gx]：因此KMGgxm;gxm;gxn61-k½G gy0;gy0;gy1G gx0;gx0;gx1];对于m;n2N;mn，并且gyω <$yω。Q现在，我们给出一个例子来说明我们的主要结果。实施例3.2. 设X为0;被赋予通常的度量，并在R中具有通常的顺序。考虑函数G：0.5;0.13！½0;101;Gx;y;z¼maxfjx-yj; jx-zj; jy-zjg：由[11]可知，G∈X;G∈ X是完备的G-度量空间. 设F：X × X！ X和G：X！ X定义为：xyx(iii) 那里 存在x0; y02 X 使得gx0= F<$ x0; y0<$，gy0= F y0; x0;(iv) 存在k2 1/20;1π，使得对于所有x;y;u;v2，满足gx= gu和gy= gv，GFx;y;Fu;v;Fw;z62½G gx;gu;gwG gy;gv;gz]：ð12Þ则存在<$x; y<$2 X× X使得gx<$ F<$ x; y<$1和gy<$ F<$ y; x<$1，即g和F有一个耦合重合点。证据严格按照定理2.1的方法进行，我们得到在完备G-度量空间<$g <$X <$; G <$中<$gx n <$和<$gy n <$是柯西序列。则存在x;y2X使得gxn！gx和gy n！gy。由于<$gxn <$n非减且<$gy n <$n非减，利用<$X;G; ≤ <$x的正则性，对于所有n Po，我们有gxn≤gx且gy ≤ gy n。如果gxngx和gyngy，nPo，则gx<$$>gxn≤gxn<$1≤gx <$$>gxnand gy≤gyn<$1≤gyn<$$>gy，这意味着gxn<$1 <$$>F<$x n;yn<$and gyn gyn1 F yn;xn，这是，x n;yn 是一个耦合的巧合点的F和G.然后，我们假设gxn;gyn-gx;gy对所有n个P0.利用矩形不等式，我们得到GFx;y;gx;gx6GFx;y;gxn1;gxn1Ggxn1;gx;gx¼G Fx;y;F xn;yn;F xn;ynGgxn1;gx;gxF×x;y×30;g×x×10：6k½Ggx;gx;gxGgy;gy;gy]很明显，F是一个连续函数，不满足混合g-单调性事实上，考虑y11/41，Gy2<$1，对于x<$1，我们得到gy1<$1≤1<$gy2，但是2 30 204 1Fx;y1°C ≤90 °C ≤20°CFx;y2° C：很容易看出，定理的所有必要假设3.1 满意了。显然，F和g有一个耦合的固定点，即（0，0）。在下一个定理中，我们省略了F的连续性假设。我们需要以下定义。定义3.3.设X是偏序集，G是X上的G-度量。我们说X;G;是正则的，如果下列条件成立：(i) 如果一个非递减序列是这样的，那么x n！x，则xn≤x，对于所有n，(ii) 如果一个非递增序列y nnn使得yn！y，则对所有n，y≤yn。定理3.3. 设X是偏序集，G是X上的G-度量，X;G;是正则的，令g：XX并且g是连续的，g是闭的。假设以下等式成立：(i) F< $X× X<$$> g <$X<$且g与F相容;(ii) 如果x; y; u; v2 X 使得gx=F gu，则F x; y= FF x; y; v;通过让n！在上述不等式中，我们得到GFx;yx; gx ;gx=0;这意味着gxF x;y.同样，我们可以证明，gy F y;x.从而证明了x，y是F与g的耦合重合点.Q致谢作者感谢各位审稿人的赞赏、宝贵意见和建议。引用[1] Ravi P Agarwal，Wutiphol Sintunavarat，Poom Kumam，缺乏混合单调性质的耦合重合点和公共耦合不动点定理，不动点理论应用。2013（2013）22。[2] H. 艾迪湾 Damjanovic. 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