G-距离空间与弱压缩映射的公共不动点定理

13ðÞð Þ ð Þ8 2ð Þ ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ð Þ ¼ ¼ ¼ðÞ82Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，309埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章G ~p-距离空间M.A. Barakat*，上午子丹Department of Mathematics，Faculty of Science，Al-Azhar University，Assiut 71524，Egypt接收日期：2014年4月23日;修订日期：2014年6月2日;接受日期：2014年2014年7月23日在线发布本文利用G-度量空间和部分度量空间的推广Gp-度量空间的概念，证明了弱压缩映射的一个公共不动点定理。一个说明性的例子来支持我们的结果。2000年数学潜规则分类：47时10分; 54时25分？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍1922年，波兰数学家巴拿赫[1]证明了一个定理，该定理在适当的条件下确保了不动点的存在性和唯一性。这一原则有许多generalizations以不同的方式建立和介绍了几个作者，为了方便起见，我们请读者（见;例如，[2其中一个推广是Matthews[16]引入的部分度量空间。在部分度量空间中，任意点的自距离不必为零。定义1.1.非空集X上的部分度量是函数p：X×X！R;R：1/20;1，使得对于所有x;y;z2X：*通讯作者。联系电话：+20 1007971311。电子邮件地址：barakat14285@yahoo.com（硕士）Barakat），yahoo.com（上午）。Zidan）。同行评审由埃及数学学会负责ppx;x6px;y;ðpÞpx;ypy;x;p4一个部分度量空间是一个对X;p，使得X是一个非空集，p是X上的一个部分度量。另一方面，Mustafa和Sims[17]引入了广义度量空间的概念，即所谓的G-度量空间，并将Banach原理推广到G-度量空间中，如下所示。定义1.2.设X是一个非空集。 设G：X×X×X！满意度：(a) G x;y;z0如果x y z，(b) G x;y;z>0;x;y;z X;x-y，(c) G x;x;y 6G x;y;z;x;y;z X;y-z(d) G x; y; zG x;z; yG y; z; x.. . ，（对称性在所有三个变量），(e) Gx;y;z6Gx;a;aGa;y;z;8x;y;z;a2X.1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.06.008制作和主办：Elsevier关键词偏序G-度量空间;公共不动点;Gp-度量空间;弱增映射;下半连续函数310M.A.巴拉卡特，上午子丹ðÞðÞðÞð Þ ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ð≤Þ！≤2pfg2ppppp123我1234ð Þ ð Þ ð Þ8 2则称G为X上的G-度量，称G为G-度量空间.最近，Zand和Nezhad[24]通过给出Gp-度量空间的如下表示法，对部分度量空间和G-度量空间进行了推广和统一。定义1.3.设X是一个非空集。假设G p：X × X × X！ 满意度：(a) 如果G=x;x;x=G=y;y;y=G=z;z=8x;y;z= 2X，定义1.5[24]。设Gp是Gp-度量空间.(i) 序列fx ng称为GP-柯西当且仅当limm;n！1Gpx n;x m;x m存在（且有限）。(ii) 称GP-度量空间X; GP是GP-完备的当且仅当X中的每个GP-柯西序列GP-收敛于x2X使得GP≠x;x;x≠1limm;n！1Gpx n; x m; x m。定 义 1.6[17] 。 以 下 两 类 映 射 被 定 义 为 W<$fw ： w ：1/20;1/2！1/20;1 是 连续的，不递减的 ， w-101/20g ，Ufu：u：1/20;11/2 0 g。1/2;1/2(b) 06G x;x;x6G x;x;y6G x;y;z;x;y;z X，(c) G p x; y; zG p x; z; yG p y; z; x.. . ，（所有三个变量的对称性），(d) Gp x; y; z6 Gp x; a; a Gp a; y; z- Gp a; a;a;8 x; y; z;a2X。则称Gp为X上的Gp-度量，且G p ∈X;称Gp ∈ X上的G p-度量，为下半连续、非递减、u-1× 0 ~（-1）×0~（-1）g。定义1.7[2]。设X是一个偏序集.两张地图f;g：X！称X是弱增的，如果对所有的x2X，fx≤gfx，gx≤fgx引理1.1[6]. 我们注意到，如果X;G是G -度量空间，Gp-度量空间实施例1.1[24]. 设X= 1/20;1 λ，定义Gp=x;y;z=maxfx;y;zg，对所有x：y：z2X，则G p =X;Gpλ是Gp-度量空间，并且可以证明Gp =X;Gpλ不是G-度量空间。[24]第24话. 设Gp∈X;G p∈ X是Gp-度量空间，则对任意x;y;z2X和a2X，有(i) Gp x; y; z6 Gp x; x; y Gp x; x; z- Gp x; x; x，(ii) Gpx;y;y62Gpx;x;y-Gpx;x;x，(iii) Gp x; y; z6 Gp x; a; a Gp y; a;a Gp z; a;a-2Gpa;a;a，(iv) G p x; y; z 6 G p x; a; z G p a; y; z-G p a; a ; a。p p然后如果Gp=x;y;z=0）xyz，ðiiÞ如果x-y然后G px;y;y>0.Abbas，Nazir和Radenovic[2]证明了以下结果。定理1.1. 设X1是偏序集，f和g完备G-度量空间上的弱增自映射X. 假设存在w2W和u2U，wGfx;gy;gy6wMx;y;y-uMx;y;y1：1对于所有可比x; y2 X，其中Mx;y;yaGx;y;yaGx;fx;fxaGy;gy;gy第1.2号提案[24]。每个Gp-度量空间[X;Gp]定义一个[4½G[x;gy;gy] [G[y;fx;fx]]度量空间<$X; DGp< $其中DGp x; y= Gp x; y; y= Gp y; x; x= Gp x; x; x= Gp y; y; y =G p;对于所有的x;y2X.定 义 1.4 [24] 。 设 G_p_X;G_p_n 是 G_P- 度 量 空 间 ， 则 称f_x_n_g 为 G_P收 敛 到 x2X 如 果 limn;m！1Gpx;xm;xn1 / 4Gpx;x;x：一个点x2x被称为序列fxng的极限点写了x n！ X.如果x n！ x在Gp-度量空间<$X; Gp <$x中，则对任意s> 0，存在l2N使得jGp <$x;xn;xm<$-Gp <$x;x; x<$ 1.第1.3号提案[24]。 设X;G是G -度量空间，则对其中a>0，对于i<$f1;2; 3; 4 g，a∈a <$a <$2 a6 1.如果f或g是连续的，或者对于fxn g，一个在X中具有x n z的非减序列意味着x n z对所有nN，那么f和g有一个公共不动点。本文的目的是将定理1.1推广到Gp-度量空间.同时，我们的结果推广了（1.1）式中所用的压缩条件.最后，我们给出了一个例子来支持我们的结果。2. 一个主要结果首先，我们将Gp-度量空间中映射的连续性改写为如下.定义 2.1. 让 β-葡糖苷酸 一 Gp度量 空间，部分命令和T：X！ X是一个给定的映射。我们说T是任何序列 xn在X和一个点x X，以下是的等效证明了Lp-收敛于x;ðiiÞ G pðx n；x n；xÞ！ G px; x; xas n！1iiiG px n; x; x！ G px; x; x as n！1.一、在x02X中连续，如果对于X中的每个序列xn，我们有(i) xn收敛于x0，且Gp∈ X，暗示Txn收敛于Tx0在100X中; G p<0.05。(ii) xn在<$X中适当地收敛到x0;Gp <$包含Tx n在<$X中适当地收敛到Tx0; Gp <$.pp弱压缩映射的不动点定理311ðÞð Þ ¼ð Þ ¼ ðÞp¼2N2n12n1p2N2n12n1p2n22p2N2n12n1如果T在每个点x02X上连续，则我们说TG p ∈X;Gp ∈ X。现在，我们陈述并证明我们的主要结果如下。定理2.1. 设f，g是完备Gp-度量空间X. 假设存在w2W和u2U，wGpfx;gy;gy6wMx;y;y-uMx;y;y2：1wGpx2n1;x2n2;x2n2wGpfx2n;gx2n1;gx2n 16wMx2n;x2n1;x2n1-uMx2n;x2n1;x2n1;2：3M=x2n;x2n=1;x2n=1;maxfGp=x2n;x2n=1;x2n=1;Gp=x2n;fx2n;fx2n= 1;Gp=2n= 1;gx= 2n= 1;gx = 2n=1;½Gpx2n;gx2n1;gx2n1Gpx2n1;fx2n;fx2n]=2g¼maxfGx;x;x;Gx;x;x;Gp=x2n= 1;x 2n=2;x 2n=2;½Gpx2n;x2n2;x2n2Gpx2n1;x2n1;x2n1]=2g对于所有可比x; y2 X，其中6maxfGx;x;x11000;2000G ;x;xMx;y;y;maxfGpx;y;y;Gpx;fx;fx;Gpy;gy;gy;½Gpx;gy;gyGpy;fx;fx]=2g：假设满足以下情况之一：因此Gpx2n1;x2n2;x2n2-Gpx2n1;x2n1;x2n1Gpx2n1;x2n1;x2n1]g¼Gpx2n1;x 2n2;x 2n2(i) f或g是连续的，(ii) 如果一个非减序列fxng收敛于z2 XwGpx2n1;x2n2;x2n2 2016年12月26日，;x2n2;x2n2对所有的n2N，xn≤z。则f和g有一个公共的不动点。证据假设u是f的一个不动点，Gpyu，我们有wuGpu;gu;guu; wuGpfu;gu;guu6wMu;u;u-uMu;u;u;2：2哪里Mu;u;umaxfGpu;u;u;Gpu;fu;fu;Gpu;gu;gu;½Gpu; gu; gu Gpu;fu;fu]=2g1/4maxfGu;u;u;Gu;u;u;gu;gu;gu;-u∈Gp∈x2n∈1;x2n∈2;x2n∈2n ∈ 1;意味着u∈Gp∈x2n<$1;x2n<$2;x2n<$2<$$><$$>0和x2n<$1<$$>x2n<$2。根据类似的论点，我们得到x2 n<$2 <$$>x2 n<$3，因此x2 n成为f和g的公共不动点。现在我想，通过以Gp x2n;x2n<$1;x2n<$1>0个为n= 1、2、3、. ，考虑wGpx2n1;x2n2;x2n2wGpfx2n;gx2n1;gx2n 16wMx2n;x2n1;x2n1-uMx2n;x2n1;x2n1;2：4M=x2n;x2n=1;x2n=1;maxfGp=x2n;x2n=1;x2n=1;Gp=x2n;fx2n;fx2n= 1;Gp=2n= 1;gx= 2n= 1;gx = 2n=1;½Gpx2n;gx2n1;gx2n1Gpx2n1;fx2n;fx2n]=2gp p p1/4maxfGpx2n;x2n1;x2n1;Gpx2n;x2n1;x2n1;½Gpu; gu; gu Gpu;u;u]=2g最大值fGu;u;u;Gu;gu;gu g<$Gu;gu;gu：Gp=x2n= 1;x2n=2;x2n=2;½Gpx2n;x 2n 2;x2n2Gpx2n 1;x 2n 1;x 2n 1]=2gp p p6maxfGp=x2n;x2n= 1;x2n=1;Gp=x2n= 1;x2n= 2;x2n=2;因此我们得到wGpu;gu;gu<$ wGpfu;gu;gu6 wGpu;gu;gu-uGpu;gu;gu）uGpu;gu;gu60：矛盾因此，Gp fu;gu;gu0。所以u是f和g的公共不动点。同样，如果u是g的不动点，那么可以推导出u也是f的不动点。现在设x0是X的任意一点。如果fx0¼x0，那么证明就完成了，所以我们假设fx0现在，我们可以在X中构造一个序列fxng如下：x1¼fx0≤gfx0¼gx1¼x2;x2¼gx1≤fgx1¼fx2¼x3;..½Gpx2n;x2n1;x2n1Gpx2n1;x2n2;x2n2-Gpx2n1;x 2n1;x 2n1Gpx 2n1;x 2n1;x 2n1]=2g6maxfGp=x2n;x 2n= 1;x 2n=1;Gp=x 2n= 1;x 2n= 2;x 2n=2;12½Gpx2n;x2n1;x2n1Gpx2n1;x2n2;x2n2]g¼maxfGpx2n;x 2n1;x 2n1;Gpx 2n1;x 2n2;x 2n2 g：现在如果Gp<$x2n<$1;x2n<$2;x2n<$2<$PGp<$x2n;x2n<$1;x2n<$1<$ ，对于某个n=0 ， 1 ， 2 ， .. . 那 么 ，M x2n;x2n<$1;x2n<$1Gpx2n<$1;x2n<$2;x2n<$2从（2.4）式中，我们有wGpx2n1;x2n2;x2n26wGpx 2n 1;x 2n2;x2n26-uGpx2n1;x2n2;x2n2意味着u∈Gp∈x2 n0，矛盾。因此，我们认为，为所有nP0，Gpx2n1;x2 n2;x2 n26Gpx2n;x2 n1;x2n1。 同样地，我们有 Gp<$x2n;x2n<$1;x2n<$1<$6Gpxn≤xn<$1：对所有的n个P 0，都有n×2n-1;x ×2n;x ×2n≠0. 因此，对于所有nP0G x; x;x6 G x; x;x由于x和x是可比的所以我们可以假设pn1n= 2n= 2pnn1n12n2n1和fGx;x;xg是一个非递增序列，因此的 Gp=x2n;x2n=1;x2n=1n>0， 为 每n2N.If 没什么，pn1n= 2n= 2那么对于某个n，x2nx2n<$1。对于所有这些n，使用（2.1），我们得到2n12n2312M.A.巴拉卡特，上午子丹存在LP0，使得limn！1Gpxn1;xn2;xn2l。然后，通过u的下半连续性，弱压缩映射的不动点定理313你好！1你好！1你好！1！1！1ð Þ ¼2fgppppM-1MM我1234uL6liminfuMxn;xn1;xn1：我们称L为0。通过u的下半连续性，取并取极限为n！ 1，暗示li mn！1Mx2n;z;zGpz; gz; gz。因此wnGz;gz;gzlimsupwnGfx;gz;gz上限为n！1在任何一侧p你好！1p2nwGpxn1;xn2;xn26wMxn;xn1;xn1-/Mxn;xn1;xn1;我们有wL6wL-liminfuMxn;xn1;xn16wL -uL;即 uμLμ ≤0. 因此，我们得出结论，limGx;x;x¼ 0：2：56limsup½wMx2n;z;z-uMx2n;z;z]6wGpz;gz;gz-uGpz;gz;gz矛盾因此，Gp0，因此zfzgz。H在定理2.1中，我们得到以下结果。推论2.1。设f，g是完备Gp-度量空间p你好！1n1n=2n= 2X.假设存在u2 U使得现在，我们将证明fxngg是一个Gp-柯西序列. 对于每一个n6m和nm2N，我们得到G x; x;x6 G x; x; xG x; x;xGpfx;gy;gy6Mx;y;y-uMx;y;y2：6对于所有可比x; y2 X，其中pnMMpnn1n1pn1n=2n= 2Mx;y;y;maxfGx;y;y;Gx;fx;fx;Gy;gy;gy;Gp.½Gx;gy;gyGy;fx;fx]=2g：p pGp<$xm-1;xm;xm< $ -fGp<$xn<$1;xn<$1;xn<$1<$你... . G p6Gpxn;xn1;xn1Gpxn1;xn2;xn2Gpxn2;xn3;xn3。 .G通过取上述不等式两边的极限为n;m，从（2.5）我们有lim G p x n;x m;x m第0章：n; m！1证明了fxng是一个Gp-Cauchy 序列， 并且通过X 的 Gp-完备性，存在zX使得 Xn收敛到z作为n。现在我们将区分定理2.1的情形（i）和（ii）。(i) 假设g是连续的，因为x2 n<$1！z，我们得到，假设满足以下情况之一：(i) f或g是连续的，(ii) 如果一个非减序列fxng收敛于z2 X对所有的n2N，xn≤z。则f和g有一个公共的不动点。下面的推论是Gp-度量空间版本的定理1.1。推论2.2。设f，g是完备Gp-度量空间上的偏序集，f，g是弱增自映射X. 假设存在w2W和u2U，wGpfx;gy;gy6wMx;y;y-uMx;y;y2：7对于所有可比x; y2 X，其中M x; y;y a G x; y; ya G x; fx; fx a G y; gy;gyx2 n×21g×2 n× 1 g × 2 n ×1g。 但是x2 nx2！ z. （作为子序列）1p2p3p的fxng）It遵循gzz，并且从开始时，a4½Gpx;gy;gyGpy;fx;fx]我们得到了g zzfz。这个证明，假设f是连续的，与上面类似。其中a>0，对于i/f1;2; 3; 4 g，a= 1，a = 2，a=6，1。（ii）设Gp∈z;gz;gz ∈G>0，且对fxng和一个非减序列，其中 xn！ z在 X中 意 味着 x2 n<$1≤ z， 对 于 所 有n2N。现在从（2.1）wGpx2n1;gz;gz;wGpfx2n;gz;gz6wMx2n;z;z-uMx2n;z;z;则满足以下两种情况：(i) f或g是连续的，(ii) 如果一个非减序列fxng收敛于z2 X对所有的n2N，xn≤z。则f和g有一个公共的不动点。如果我们在推论2.2中设置wnt，我们得到如下结果。哪里Mx2n;z;z;maxfGpx2n;z;z;Gpx2n;fx2n;fx2n;Gpz;gz;gz;½Gpx2n;gz;gzGpz;fx2n;fx2n]=2g1/4maxfGpx2n;z;z;Gpx2n;x2n1;x2n1;Gpz;gz;gz;½Gpx2n;gz;gzGpz;x2n1;x2n1]=2g推论2.3。设X是一个偏序集，f和g是完备Gp-度量空间X上的弱增自映射，满足Gpfx;gy;gy6Mx;y;y-uMx;y;y2：8对于所有可比较的x; y2 X，其中u2U，M x; y; y a1 Gp x; y; y a2 Gp x; fx; fx a3 Gp y; gy;gya4½Gpx;gy;gyGpy;fx;fx]314M.A.巴拉卡特，上午子丹122≤2fg22. Σ.≤22 22fg22≤2fg212p1Gx;y;y62XX211266288ppp212pX其中a i> 0，i= 1，2，3，4，其中a1<$a2<$a3<$2 a46 1。假设满足以下情况之一（x;x2½0;1mm;32x;x2½1;1：(i) f或g是连续的，(ii) 如果一个非减序列fxng收敛于z2 X很而对f：g是弱递增的。f;g在x1/2处通勤隐含x 对于所有n2N，≤z。2y/x;w/t/t2和/nt=t2;t2þn12定理2.125R，那么我们有来自则f和g有一个公共的不动点。推论2.4。设f∈X;≤ f ∈ X是一个偏序集，f和gwGpfx;gy;gy6wMx;y;y-uMx;y;y由于wGpfx;gy;gywmaxffx;gy;gywmaxx;y;y完备Gp-度量空间X上的弱增自映射，满足2019年12月12日由于y¼x沪公网安备31010502000114号Gpfx;gy;gy6kmaxfGpx;y;y;Gpx;fx;fx;Mx;y;y;maxfGx;y;y;Gx;fx;fx;Gy;gy;gy;Gpy;gy;gy;½Gpx;gy;gyp p pGp对于所有可比较的x; yX。假设满足以下情况之一：(i) f或g是连续的，(ii) 如果一个非减序列x n收敛于z，则X意味着x nz对于所有nN.则映射f和g有一个共同的固定点。因此½Gpx;gy;gyGpy;fx;fx]=2g1/4maxfmaxfx;y;yg;maxfx;fx;fxg;maxfy：gy：gyg;12½maxfx;gy;gyg 最大值xfy;fx;fxgg最大值1/4x;x;y;1hxxix证据 定义u;w：半0;100！对于所有t 2 ½0;1 π，由wπtπt和uπtπtπ1-kπt得到，其中k2½0;1π。那么很明显，wMx;y;y-uMx;y;ywx -uxX21/4英寸x1/25英寸2421/4x25w2W和u2U。结果由定理3.2得出H- 是的 Σ推论2.5。设f∈X;≤ f ∈ X是一个偏序集，f和g24¼251424小时完备Gp-度量空间X满足然后wxGfx;gy;gy1： 00346wxMx;y;y-uwGfx;gy;gy6wGx;y;y-uGx;y;y2：10因此，定理2.1的所有条件满意了。此外，0是公共固定点。对于所有可比较的x; yX，其中wW; uU。假设满足以下情况之一：(i) f或g是连续的，(ii) 如果一个非减序列xn收敛于z，则X意味着xnz对于所有nN.则映射f和g有一个共同的固定点。推论2.6。设X是一个偏序集，f和g是完备Gp-度量空间X上的弱增自映射，满足Gfx;gy;gy6Gpx;y;y2：11p对于所有可比x;y X.假设满足以下情况之一：(i) f或g是连续的，(ii) 如果一个非减序列xn收敛于z，则X意味着xnz对于所有nN.则映射f和g有一个共同的固定点。实施例2.1.设X<$1/20;1]是具有阶x ≤ y（）y 6 x的集 合 。 设 G p∈x; y; z∈ maxfx; y; zg 是 X 上 由 f;g ： X定 义 G p - 度 量 空间！x，确认作者感谢匿名审稿人的批评、宝贵意见和建议，这些意见和建议有助于改进论文的介绍引用[1] S. 巴拿赫，对抽象系综中的运算进行了研究，并提出了一种新的算法。 M ATH。 J. 3（19 22）1 33- 181。[2] M. 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