2× ！ðÞ¼Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，352埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章非紧区域Mijanur Rahaman*，Rais Ahmad数学系，阿里加尔穆斯林大学，阿里加尔202002，印度接收日期：2014年4月13日;修订日期：2014年5月27日;接受日期：2014年2014年7月19日在线发布本文考虑两个混合向量均衡问题，弱混合向量均衡问题和强混合向量均衡问题，它们是向量均衡问题和向量变分不等式问题的组合。在非紧情形下，我们证明了这两个问题2010年数学学科分类： 47 J20; 49 J40; 90 C33？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍在最优化、经济学和工程学中，许多实际问题的描述都涉及到平衡.平衡问题是Blum和Oettli[1]作为变分不等式问题的一个推广而已经表明，均衡问题提供了一个自然的、新颖的和统一的框架，以研究非线性分析、优化、经济学、金融和博弈论中出现的广泛一类问题。平衡问题包括许多数学问题，如数学规划问题、互补问题、变分不等式问题、不动点问题等。*通讯作者。联系电话：+91 9897752840。电 子 邮 件 地 址 ： mrahman96@yahoo.com （ M.Rahaman ） ，raisain_123@rediffmail.com（R. Ahmad）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier问题，极大极小不等式问题和纳什均衡问题在非合作博弈。参见[1设X是Hausdorff拓扑向量空间，K是X的子集，f：KKR是一个映射，其中f x;x0.经典的标量值均衡问题处理x<$2K的存在性，使得fx<$;yP0;8y2K：此外，在向量值映射的情况下，设Y是另一个Hausdorff拓 扑 向 量 空 间 ， C∈Y 是 锥 。 给 定 一 个 向 量 映 射 f ：K×K！ Y，那么找到x′2K的问题，使得fx<$;yR-intC;8y2K;称为弱平衡问题，K称为弱平衡点，其中intC表示锥C在Y中的内部。本文考虑了两类混合向量平衡问题，它们是向量平衡问题和向量变分不等式问题的组合。设X和Y是两个Hausdorff拓扑向量空间。 设K是X的非空凸闭子集，C∈Ya1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.06.007关键词混合向量均衡问题;胁迫家庭;C-凸;广义KKM原理！ð Þ ðÞ胡鲁吉！ðÞ2第二[2e(iii)对于每个i2I，存在k2I，× ！！ðÞFxzi.我我 i2I2K，如果对于Y中g∈x0∈ V的任何邻域V，有x2Ck弱和强混合向量均衡问题353内部非空的尖闭凸锥也就是说，intC-ε。由C诱导的Y上的偏序设f：K×K！Y和T：KLX;Y是两个映射，其中LX;Y是从X到Y的所有线性连续映射空间。这里T x;y表示线性映射T x在y处的求值。现在，我们考虑以下两个问题：求x2K，使得fx<$;yhTx<$$>;y-x<$iR-intC;8y2K：1：1和fx<$;yhTx<$$>;y-x<$iR-Cnf0g;8y2K：1：2我 们 称 问 题 （ 1.1 ） 为 弱 混 合 向 量 均 衡 问 题 ， 称 问 题（1.2）为强混合向量均衡问题。问题（1.1）和（1.2）是应用科学中使用的几个已知问题的统一模型，例如，向量变分不等式问题、向量互补问题、向量最优化问题和向量鞍点问题，参见例如[3，5关于向量平衡问题、向量变分不等式问题及其推广的更全面的文献，我们参考Giannessi编辑的卷[3]。我们的结果推广了Blum和Oettli[1]的结果，从而推广了Fan[10]关于向量值映射的结果.更详细的信息，我们参考[5，11，12]。作为底层集合K是非紧的，因此我们只使用一个很弱的非紧性条件即，胁迫家人定义2.3.映射f：K×K！Y被认为是C-单调，如果对所有x;y2Kf x;y f y; x2- C：引理2.1[9]. 如果g是关于C的下连续映射，则集合fx 2 K：g<$x<$R intCg在K中闭。引理2.2[13]. 设Y;C是具有点闭凸的序拓扑向量空间锥C.然后 为 所有的x;y2Y，我们有(i) y-x2intC和yRintC隐含xRintC;(ii) y-x2C和yRintC隐含xRintC;(iii) y-x2-intC和yR-intC隐含xR-intC;(iv) y-x2-C和yR-intC表示xR-intC.定义2.4[14]。考虑拓扑向量空间和拓扑空间Y的子集K。一个家庭C i;Z i我我 对于映射F：K2Y， 称 集 合 对 的 强制性，如果且仅当(i) 对每个i I，Ci包含在K的紧凸子集中，Zi是Y的紧子集;(ii) 对于每个i，j2I，存在k2I使得T使得Ci[Cj<$Ck;2. 预赛下面的定义和结果是需要在续集。定义2.1.让g：K！Y是映射。则g被称为定义2.5.设K是拓扑向量空间X的非空凸子集.多值映射G：K！称2 X为KKM映射，如果对K的每个有限子集fxigi2 I，Cofxi：i2IgFxi;i2 I是C-凸的，如果对所有x;y2K和k2½0;1]gkx1-ky≤Ckgx1-kgy;这意味着gkx1-ky2kgx1-kgy-C：定义2.2.一个映射g：K！ Y被认为是(i) 在一点关于C的下连续X0其中Cofx：i2Ig表示fxg的凸包。定理2.1[14]. 设X是Hausdorff拓扑向量空间，Y是X的凸子集，K是Y的非空子集，F：K！ 2 Y是一个KKM映射，其闭值是紧的，即，对所有的x2 K; F<$ x <$\Z对每个紧集是闭的Y的Z。如果F承认有胁迫家庭，那么\Fx-x2K在X中存在x0的邻域U，使得gU\KVC;(ii) 在一点上关于C的上连续x02K，如果gU\KV-C;(iii) 在一点x0K上关于C连续，如果它在该点上关于C是下备注2.1.若g在K上的任一点关于C下连续、上连续和连续，则g在K上分别关于C下连续、上连续和连续条件<$C<$：我们说锥C满足条件<$C <$，如果存在一个尖凸闭锥C，使得Cnf 0 g在Ce中。3. 存在性结果在这一节中，我们证明了非紧区域上弱和强混合向量平衡问题（1.1）和（1.2）定理3.1. 设K是Hausdorff拓扑向量空间X的非空闭凸子集，Y是Hausdorff拓扑向量空间，C是Y中的闭凸尖锥，其中intC-ε. 设f：KKY和T：KLX;Y是满足下列条件的两个映射：两个·！22 ½]中国-中国2¼ð Þ¼ 222[ð Þf2g2f2gP，其中kP0，X2½]¼ð-XX2）tfx;y1-tfx;x 2C：3：22我 J我JJ我C我 我我354海里拉哈曼河Ahmad(i) f是C-单调的;(ii) f x;x0，对于所有x K;(iii) 对于任何固定的x;y K;t0; 1#fty1t x;y Y在t0时关于C是上连续的;(iv) 对任意固定的x K;f x;：K Y是C-凸的，关于C在K上是下连续的(v) T关于C是上连续的，且具有非空闭值;(vi) 存在一个满足定义2.4的条件i和i的族，以及以下条件：对于每个i2I，存在k2I，使得fx2K：fy;x-hTx;y-xiRintC;8y2CkgZi：则存在一个点x<$2K，使得f<$x<$;y< $hT<$x <$$>;y-x<$iR-intC;8y2K：对于定理3.1的证明，我们需要以下命题，其假设与定理3.1相同。3.1号提案以下两个问题是等价的：(i) 找到<$x2K这样的 的 fy;<$x-hT<$x;y-<$xiRintC;f;x-hT;y1/4小时Tx<$;y<$-x< $iw;3：6对于一些w intC。另一方面，由于f是C-单调的，我们有fx;yfy;x 2-C）fy;xfx;y-v;3：7对于一些V C。结合（3.6）和（3.7），我们有fx;y-w-v2-intC;这与假设（二）相矛盾。（一）坚持。H定理3.1的证明 对于每个y2k，考虑集合Fyfx2K：fy;x-hTx;y-xiRintCg：根据引理2.1，F y在K中闭，因此F在K中有紧闭值。现在，我们证明F是一个KKM映射。为此，让i我们主张公司简介 ：i2IgFyi：i2 I相反，假设uRSFy。作为u2Cofy：i2Ig，8y2K;(ii) 求x2K使得f∈x;y∈T∈x∈;y-xiR-intC;我们有u¼Pi2I启宜我i2I我我i2Iki¼ 1.8 y 2 K.证据假设（I）成立。然后，对于固定的y2K，设置xtty1-t，对于t2½0;1]。很明显，对于所有的t2½0;1]，xt2K，因此f<$x;x<$$ >-hT<$x<$$>;x-x<$iRintC：13：1由此可见，f yi; u- h T u; yi- ui2 intC：由于intC是凸的，因此kiffyi;u-hTu;yi-uig2intC：33：8i2 I由于fx;·是C-凸和C-单调的，我们有tt X X由于fx;x^0和fx;·是C-凸的，我们有i2Iki kjfyi;yji; j2Ikifyi;u≤C0¼fxt;xt≤Ctfxt;y1-tfxt;x1/4Xkk. fy;yfy;y≤0：3：9t t还有，hTx<$$>;xt-x<$i <$thTx<$$>;y-x<$i）1-tthTx<$$>;y-x<$ii;j2I此外，委员会认为，01/4hTu;u-ui / 4.Tu;Xky-Xkui2Ii2I结合（3.2）和（3.3），我们得到1/4。Tu;Xkiyi-u;XkihTu;yi-ui：3：10tfxt;y1-tfxt;x<$ - hTx<$$>;xt-x<$ig 1-tthTx<$$>;y-x<$i 2C;13：4分i2Ii2I对于所有T0; 1.使用引理2.2的（3.1）和（3.4）和（ii），我们有tfxt;y1-tthTx<$$>;y-x<$iR-intC）fxt;y1-thTx<$$>;y-x<$iR-intC;8t20;1]：3：5根据定理3.1的条件（iii），当t#fty1t x;y在t0时关于C是上连续的，因此从（3.5）我们有fx<$;yhTx<$;y-x<$iR-intC;结合公式3.9和公式3.10，我们有XkihTu;yi-ui-Xkifyi;u2Ci2Ii2I） kiffyi;u- hTu;yi-uig 2-C：13：11i2 I从公式3.8和公式3.11中，我们得出结论：kiffyi;u- hTui;yi-uig 2intC\xA-C\xA1;i2 I这是个矛盾由此可知，u2SFyi=0，因此Cofy：i2IgSFyi2I故（二）成立。反之，设（II）对所有的y2K成立.为了我i2 II. 因此，F是一个KKM映射。证明（I），相反，假设存在一个点y<$K使得从这个假设中，我们可以看到，f ∈Ci;Zi∈ gi2I满足条件，即对于所有i2I，存在k2I，使得-1-thTx;xt-xi0：3：3\\eeeeð Þ费什堡第二弱和强混合向量均衡问题355FyZi;y2 Ck因此它是F的胁迫族。我们推出F满足定理的所有假设2.1. 所以我们Fy-y2k的因此，存在x<$2K，使得对于任意y2Kfy;x<$ -hTx<$;y-x<$iRintC：现在应用命题3.1，我们得到存在x<$2K使得对于所有y2Kf<$x<$$>;y< $ $>hT <$x<$$>;y-x<$iR-intC：因此，问题（1.1）有一个解。这就完成了证明。H推论3.1。设K;C;Ci;Z iI ; I;f和T满足定理3.1的所有假设。此外，如果C满足条件C，则问题（1.2）是可解的，即，存在x<$2K，使得对于任何y2K，fx<$$>;yhTx<$$>;y-x<$iR-Cnf0g：证据假设C满足条件C。 则在Y中存在一个尖凸闭锥C，使得Cn f0gcrossintC：因此，我们可以很容易地看到，K; C;C i; Z ii2I; f和T满足定理3.1的所有假设故以其orem 3.1，我们得到fx<$;yhTx<$;y-x<$iR-intC;8y2K：13：12由于-Cn f0g-intC，由式（3.12）可以得出存在x<$2K，使得fx<$;yhTx<$$>;y-x<$iR-Cnf0g;8y2K：因此，问题（1.2）有一个解。这就完成了证明。H引用[1] E. Blum，W.李文，变分不等式与最优化问题，国立台湾大学数学系硕士论文，1994。[2] 丁晓平，非紧广义凸空间中的拟平衡问题，应用数学与工程，21（6）（2000）637[3] F.杨文，向量变分不等式与向量均衡，北京大学出版社，2000年。[4] A. Muda fi，混合均衡问题：敏感性分析和算法方面，计算。Math.Appl.44（2002）1099- 1108。[5] 通用汽车Lee，D.S. Kim，B.S.李，非合作向量均衡，印度纯粹应用数学杂志27（1996）735-739。[6] M. Bianchi，N. Hadjisavvas，S. Schaible，广义单调双函数向量均衡问题，J。Theory Appl.92（1997）527-542.[7] F. Flores-Bazan ，F.张文，张文，张文。全球优化。 26（2）（2003）141- 166。[8] 傅俊，向量变分不等式与向量隐补问题，J。乐观。理论应用 93（1997）141-151。[9] N. X. Tan，P.N.关于向量函数的平衡点的存在性，编号。功能Anal. 乐观。 19（1 -2）（1998）141-156。[10] K. Fan，一个极大极小不等式及其应用，在：O. Shisha（Ed.），Inequalities，New York，USA，vol. 3，1972，pp. 103-113.[11] Z. Al-Rumaih ， S. Chebbi ， H.K. Xu ， Non-compactequilibrium points and applications，J. Appl. Math.（2012）1dx.doi.org/10.1155/2012/373462[12] W. Oettli，S. Schlaüger，广义向量均衡与广义单调性，M.Brokate ，A.H. Siddiqi （Eds. ），Functional Analysis withCurrent Applications，Longman，London，1997，pp. 145-154[13] G.Y. Chen ， 向 量 变 分 不 等 式 解 的 存 在 性 ： Hartmann-Stampacchia定理的扩展，J. Optimiz。《理论应用》74（3）（1992） 445- 456[14] H. Ben-El-Mechaiekh ， S. Chebbi ， M. Florenzano ，AGeneralized KKMF Principle ， J. Math. Anal. 309 （ 2 ）（2005）583-590。
