埃及数学学会：不分明化拓扑中正则开集的再定义

2！2{\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3aHBE\4aH00\fscx67\fscy66\2cHFFFFFF\3cH808080}12ðÞð-2082-ð Þ¼埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，484不分明化拓扑中正则开集的再定义F.M. Zeyada，A.K.穆萨*Department of Mathematics，Faculty of Science，Al-Azhar University，Assiut 71524，Egypt收稿日期：2013年9月9日;修订日期：2013年11月28日;接受日期：2013年2014年1月10日在线提供2000年，Zaerobic在不分明化拓扑中引入了正则开集的概念。在2004年 [2]，赛义德和扎伊德，给出了一个例子来说明，声明：(1)A RsAs（引理2.2 [1]）;以及(2)AR sBRsABRs（定理2.4 [1]），是不正确的。在本文中，我们重新定义了这个概念，使这些陈述正确。然后，利用正则开集的定义，在不分明化拓扑中引入并研究了几乎连续和d-连续2010年数学学科分类：54A40; 54C05; 54C08; 54C20？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍在经典拓扑和Fuzzy拓扑中，几乎连续、d-连续[31991年，Ying[6]利用模糊逻辑的语义学，提出了一个逻辑基础是模糊的拓扑。在这个方向上进行了许多文件已书面[1，7不分明化拓扑中的正则开集的概念是Zaetzan在2000年[1]给出的。2004年[2]，Sayed和Zaobel说明了通过一个反例，陈述：(1) sAPRsA（引理2.2[1]）;以及(2) Rs <$A<$^Rs<$B<$<$6Rs<$A\B<$（定理2.4[1]），*通讯作者。电子邮件地址：akmousa@azhar.edu.eg（A.K.Mousa）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier是不正确的。本文重新定义了不分明化拓扑中正则开集的概念，使这些状态正确。并利用这一概念，引入和研究了不分明化拓扑中的几乎连续性和d-连续性。关于不分明化拓扑的定义和本文中使用的一些基本概念，我们参考[6，8，9]。对于不分明化拓扑中半开集族和半闭集族的定义，我们参考[7]。然而，我们在此回顾本文中使用的一些基本概念。定义1.1. 让 X;s是不分明化拓扑空间。然后(1) 如果没有混淆，则X中所有闭集的族用Fs或F表示，并定义为：Fs A其中XA是A的补数。(2) x在X的子集A上的邻域系统表示为/s;x∈A∈，并定义为：1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.12.002关键词不分明化拓扑;正则开集;d-开集;几乎连续;d-连续不分明化拓扑中正则开集的再定义485_X^F2f_gð Þ ð Þð ð Þ^ð ÞÞ ð\ Þ8^ðÞX1882ðf gÞ\ðfgÞX/秒;x秒关于我们x2BAsB 8A22X：定理2.1. 设X是不分明化拓扑空间. 然后(3) 关闭（RESP。A的内部）表示为cl sA，（分别）intsA，）并定义为：clsAx1-/s;xX-Aresp：intsAx/s;xA8A22;8x2X：(4) 设f2IX，其中I1/4/20;1]。然后(a)f的闭包记为clsf，并定义为(1) （a）Rs=1;Rs=1;(b)Rs A\ BP Rs A^ Rs B;(c)sAPR sA;SF APR sA;(2) （a）RFX轴1;RFX轴/轴1;(b)RF A[ BPRF A^RF B;(c)FAPRF A; SsAPRF A;(d)RFAF A ^SA。作为：fclsfxfx^cls fx 8x 2X;及a2½0; 1]（b）f的内部用intsf表示，定义为：igntsf1-cfls 1-f：(5) 半开集族用Ss表示，并定义为：SsAclsintsAx 8A22X：x2 A(6) 半闭集族用SF表示，并定义为：SF-100A-100A-1000A-1000A-100A-1000A-100A-100A-10A-1(7) 网S在X中收敛到x X的程度用Sdsx表示，并定义为：证据我们只证明了（1）（b）。根据定理3.2（1）（b）[7]，我们有Rs A\Bs A\ B^SF A\ BPsA^sB^SFA^SFB^RsA^RsB：其他的陈述都很清楚。H在2004年[2]，Sayed和Zawei通过下面的例子说明了这些语句：(1) sAPRs A（引理2.2[1]）;以及(2)Rs A Rs B6R s AB（定理2.4 [1]）是不正确的。实施例2.1.设X<$fa;b;cg和s是X上的不分明化拓扑，定义为s<$X<$fs <$; s<$fag <$fs <$fa;cg <$f1，Sdsx¼^1-/是一个xx xxðAÞÞsfbg <$sfa; bg <$0和sfcg <$sfb; cg <$1。8S2N<$X<$;8x2X，其中S A表示S几乎在A中，N<$X<$表示X中所有网的集合。定义1.2.设f;g2IX. f在g中的模糊包含表示为½½f;g½½，并定义为：半半f;g半杯半f！gx：X2 X注意，那个“”！”（注：A。b/4min±1;1-aI.2. 正则开集与d-开集定义2.1. 让 X;s是不分明化拓扑空间。然后(1) 所有正则开集的族表示为：Rs2I2，定义如下：RsAA ^ SFA：Sayed和Zawei根据正则开的定义得到了每一个A22X的正则开度，其形式为Rs AAAintsclsA，如下：RsXRs;1;Rs fagRsfcgRsfa;bgRsfb;cg 因 此 ， 我 们 看 到 R sfa;bg>sfa;bg和Rs fa;bg\fb;cgRs U<$6x H6_x2 H Ax2HAy2Hd/s;x2006年6月_RsB/s;xf-1U。然后我们得到，最小值1; 1-d/m r; f = 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000006H Ax2 B HRsB6x2BARsB：因此，结果成立。现在，假设d/r;fxU>/s;xf-1U。我们证明了最小值1;1-d/单位时间/单位时间AC电流：则由定理4.1[7]，Rs是sd的基. H[医]甲状旁腺素xx xx如果f<$x<$2 A <$U，则x 2 f-1<$A<$$> f-1<$U<$。所以定理2.4. 设X是不分明化拓扑空间. 然后8A22;8x2X，d/2000;f/2000Uf-1fx2AURrA-x2BBF-1UsBd/s;xA/sd; xA：6fx2AURrA-fx2AUsf-1A证据根据定理2.3，我们有/sd;x<$A<$6d/s;x<$A< $ 86 _Rrfx2AUd/s;x关于我们x2BARsB6x2BAsdB/sd;xCHINESE：Q然后1-d/[医]甲状旁腺素联系我们xx xxf-1fx^2AU1-Rr3. 不分明化拓扑中的几乎连续性和d-连续性定义3.1. 设X;s_n和Y;r_n是两个不分明化拓扑空间. 一元模糊谓词AC;dC2 I C 2I C2是称为模糊几乎连续和模糊d-连续，分别是其定义如下：所以分钟1;1-d/^f x2 A U[医]甲状旁腺素Uf-1(1) ACCFVB2YRRB-！sf-1B;22P最小值1;1-RRRV最 小值-1RV最小值AC最小值：V22Y(2) dCfVB2YRrB-！sdf-1B。定理3.1. 设λX;sλ和λY;rλ是两个不分明化拓扑因此，我们认为，分钟1;1-d/x2 XU22Y(5)d/s;xCAd/s;xC^y 2 Cd/s;y2Cd/s。然后是ACIA22X;8x2X。现在我想，PY最小值1;1-RAY不分明化拓扑中正则开集的再定义487[医]甲状旁腺素Uðf-1ðUÞÞÞPA CðfÞ:空间.对于任意的f2yx，我们设其次，我们证明了AC_f∈ P AC_2∈f ∈P.488F.M. Zeyada，A.K.Mousað Þ¼ ð ÞDD2D^^您的位置：2ð Þ ð Þð Þ_xx xxxx xxxx xx[医]甲状旁腺素xx xxSS研发研发DD6S^^^- -/s;x-B22研发AC7电动葫芦最小值1;1-intrAfxintsf-1A x(3) 我们将证明AC2fAC3f. 定理3.2(3)[6]我们有因此，我们认为，最小值1;1-fclsAclrdfA_/V_/V/f：V22X;fVUV22X;Vf-1UP^^min 1;1-SdsxfSdrdfxfx ySA然后，P^^最小值1;1-SdsxfSdrdfxpAC4f：AC3最小值1;1-d/r;fx最大值U最 大 值_/s;x最大 值V最大值x2XU22YV22X;fVUx2XS2NX(6) 我们将证明A C5<$f<$6A C6<$f<$. 现在，对于任何不过，我们可以推断，1/2/1分钟1;1 - d/10 U/10 U/10 U/10 U½½cl-1B;f-1fcl-1B;½½cl f1/4AC2/4F开关：及½½f-1clrff-1B;f-1clrB½ ½¼1。(4) 我们证明了AC2<$f<$6AC4<$f<$，它足以表明，因此，从引理1.2（2）[9]我们有半分之一clf-1B;f-1clB半分之一P半分之一clf-1B;f-1clðBÞÞ½½对于任何x2X和S2N<$X<$，S RDS RDP½½f-1fclsf-1B;f-1clrff-1B½ ½最小值1;1-SdsxfSdrdfxpAC2f;事实上，如果Sdsx6f<$Sdrdf<$x<$，明显假设Sdsx> f Sdrfx。由于f<$S B蕴涵S f-1<$B <$，则因此，我们认为，AC6变频器2P½½fclsf-1B;clr1/2clsf-1B;f-1clrB1/21000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Sds x- f Sdrd fx^ ^您的位置：B2YP^½½fclsf-1B;clrff-1B½ ½D1/2-/2秒;x 1/2秒; x1/2秒-A22X;S A^xx xx1-d/B22Y;fSB ^[医]甲状旁腺素B2YP^½½fclsA;clrdfA½ ½¼AC5f：B22Y;fSBB22Y;fSB（7）证明了AC_f。6_天/B22Y;fSBB1.1.1.1.1.1.1.1.1.26ACACB22Y2ðBÞÞ½½那么，最小值1;1-SdsxfSdrfx最小值1 1 1X f-1BðÞYx2Xþð1-d/ðr;fðxÞÞðY-BÞÞÞPB22Y;fSBD最小值1;1-d/dr;f=xBf-11/4B^22Yx^2X最小值1;1-d/r;f=xxy-BxP^^分钟1;1-d/联系我们f-1/ ^ ^您的位置：¼U[医]甲状旁腺素分钟1;1-d/U22Yx2X1/4AC2/2AC：Q(5) 我们将证明A C4f6A C5f。自AC5以来，1/4AC2°F：（8）证明了A C7<$f< $ $ >A C2<$f<$.1/4A22X1/2F1/2 ClsAA; 2/2XVy2Y 最小值1;1^^证明 的 为 每 一 22X 和 每 y 2Y;最小值1;1-fclsAclrdfAPA C4f。如果你想让我知道你是谁，的 结果 保持。 现在假设 的fc lsA>clrdfA。 然后 根据定理6.1（2）[6]，我们有A22Yx2X1/4分钟1;1-d/A22Yx2X1/4AC2/2AC：Q[医]甲状旁腺素ðAÞþ/ xx xxf-1fclsA-clrdðfðAÞÞ ¼fxyclsA-clrdf定理3.2. 对任意fYX，Cf6ACf，其中Cf是f的模糊连续性.Dx2XU22Y61-/f-11-d/BA22X[医]甲状旁腺素xx xx研发x2XU22Y[医]甲状旁腺素f-1xx xx-f cl s Acl如果A是，则结果成立，如果我们D不分明化拓扑中正则开集的再定义489fx ySATfAfx ySAfx ySA1/4_Sdsx-_6_ _Sdsx-_TDRDYf sdrd y证据 它由定理2.1（1）（c）得出。H定理3.3. 设X;s;n;r; n;r; n;Z;g是三个不分明化fx ySAfSfA拓扑空间 则对任意f2yx和任意g2zy6_ _Sdsx-_ _fSdrdy6__Sdsx-fSdrdy：fx ySA我们有(1) Cf6A Cg-！ACgf;(2) A Cg6Cf-！ACgf。490F.M. Zeyada，A.K.Mousa^___^^22ð Þ ð Þ ðÞB22D22（7）dC7Y½ ½f-1in trA;in tsf-1A½½。（1）d1VYr-！ s;（4）dC4fVSdsx-！f我的天啊！ððs；xÞððÞÞÞV2证据(1) 如果ACg6ACgf，则结果成立，如果ACg>那么，ACg -ACgf]¼min1;1-Rnvrg-1vr gv22Z-最小值1;1-Rnvsgf-1vv22Z6rg-1v-sgf-1vv22Z¼ðrðg-1ðvÞÞ-sðf-1ðg-1ðvÞÞÞÞv22Z6ru-sf-1uu22Y因此，我们认为，一个Cg-！ACgf最小值1;1-ACg f最小值1; 1- ACgf最小值P最小值1;1-rusf-1ucf：u22Y(2)一个Cg-！你好！ACgf1/4A Cg-！：C：：：：1/4C/2F/3 A C我的天！我的天啊！ACgf：Q定理3.4. 设X;s; r和Y;r是两个不分明化拓扑空间.对于任意的f2yx，我们设CfRF B Ff-1B(2) dCfd/Bd/f-1B;(3) dC3fVVB2XVVB22Yd/r;fxB-！WVf-1Bd/s;xVs;X2XD-1DS2NX-1证据这类似于定理3.3的证明 H4. 结论不分明化拓扑中的正则开集的概念是Zaetzan于2000年[1]给出的在2004年[2]，Sayed和Zaidillustrate通过一个反例证明了以下陈述：(1) sAPRsA（引理2.2[1]）;以及(2) Rs <$A<$^Rs<$B<$<$6Rs<$A\B<$（定理2.4[1]），是不正确的。因此，我们注意到，如果我们把一般拓扑中正则开集的等价定义推广到不分明化拓扑中，这些陈述将是正确的。作为这一概念的应用，我们进一步引入并研究了不分明化拓扑中的几乎连续性和d-连续性。今后，我们希望在L-不分明化拓扑空间最后，我们想指出，上面的定义2.1和Zaerovich[1]的正则开的定义在一般拓扑中是等价的，但在不分明化拓扑中是独立的。致谢我们感谢主编Abdel-shafiOba- da教授的重要评论和有益建议，我们感谢匿名评审，他们的宝贵评论和建议改进了本文的介绍。引用[1] 张文，不分明化拓扑中的几乎连续性和d-连续性，模糊集系统，116（2000）339[2] 手 术 室 Sayed ， A.M. 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