1∈曲线zeta函数的量子计算基兰·S Kedlaya数学系，2-165麻省理工学院77 MassachusettsAvenueCambridge，MAkedlalaya@mamath. MIT。埃杜乌二○ ○五年十一月二十九日摘要给出了一个确定有限域Fq上亏格g曲线的zeta函数的量子算法，Fq是g和log（q）的多项式.这相当于给出了一个算法来产生曲线的类群的可证明的随机元素，再加上一个从足够多的循环结果中恢复Weil多项式的后者使弗里德的一个结果在一个受限制的环境中有效化。1介绍给定有限域Fq上的曲线C（假设是光滑的、射影的和几何不可约的），其中q=pa，对于某个素数p，C的zeta函数具有以下形式：Z（C，t）=exp.Σ∞n=1ΣTnn#C（Fqn）P（t）=（1−t）（1−qt）对于多项式P（t）Z[t]为2g，P（0）= 1。 P（t）的确定是算法数论中的一个活跃问题，部分原因是与密码学的实际联系（特别是当C是椭圆曲线，或者更一般地是超椭圆曲线时）。当g固定时，Schoof [22]引入的方法（计算P（t）模许多小素数）给出了一个算法，该算法在log（q）中是多项式的，但在g中是指数的，如Pila [21]和Adleman-Huang[1]所示。 （Schoof算法的简化形式结合了Atkin，Elkies等人的改进对于g= 1，并且可能对于g= 2，该算法在实践中是可用的，但是对于更大的g，该算法是非常不切实际的。另一方面，模仿DworkarXiv：math/0411623 v3 [math.NT] 2005年112∈−≤(The后者也不实用，但相关的“上同调”技术已被证明更易处理;参见[3]了解当前的然而，在g和log（q）的时间多项式中计算P（t）的单一算法仍然难以捉摸。因此，任何表明这个问题可能“容易”的迹象都有一定的相关性;本注释（最初是作为[13]的附录编写的）的主要结果就是这样一个定理1. 有一种量子算法用于计算zeta函数的分子P（t），它是g的多项式时间，log（q）。（ 关于概率算法的约定见第2节。）在定理的陈述中隐含的是输入任意曲线的机制的选择，使得输入的长度是亏格中的多项式。我们将在第6节中更明确地说明我们所考虑的选择;然而，如果读者喜欢用多项式时间等价的替代选择，这当然不会影响定理的真实性定理1中规定的算法的组成部分将在本文的后续部分中描述这里值得指出的是，有些内容本身可能会引起一些兴趣：一种以可证明的高概率产生有限域上曲线的雅可比群的生成元的方法（引理10），以及一种从几个循环结式中恢复韦尔多项式的方法（第8节）。2概率算法在继续之前，修正一些关于概率算法的约定会很有帮助给定一个实数b（0， 1），我们定义拉斯维加斯算法是这样一种算法，给定一个“公平硬币”的输出流只要b是固定的，它的确切值并不重要，因为拉斯维加斯算法的成功这种分析是标准的（也很容易），但是明确地记录它对我们来说是有用的：根据成功概率a= 1-b，如果a≤1/ 2，那么在两次调用之后，成功概率是1−（1 − a）2= 2 a − a2= a（2 − a）≥ 3 a/2。特别地，可以将成功概率从a提高到1/ 2，2log3/2（2/a）22 log2（2/a）+1=8一个2调用，并从那里直到任何固定的更高的值，通过调用的数量乘以一个合适的固定因子。例如，要获得成功概率3/ 4，执行16/a2调用就足够了。（同样的道理，有时候更方便3M→使用不同概率的伯努利试验，例如，从有限集合中均匀抽样;人们可以用一个公平的硬币模拟这种试验，直到任何固定的给定一个实数b∈（1/ 2， 1），我们定义一个蒙特卡罗算法为一个算法给定一个公平硬币的输出流，它以至少1-b的概率实现其指定目标，但可能产生任何其他结果。由于量子力学的性质，所有的量子算法都必须被视为蒙特卡罗算法。同样，可以将错误概率b降低到任何固定的截止值以下，这一次是通过执行固定数量的调用并保留最经常返回的答案这种分析是标准，并且显式记录它对我们没有用处，所以我们省略它。3黑箱群我们的计算zeta函数的量子算法减少了问题，以确定某些“黑盒组”的顺序在讨论特定的群（雅可比簇上的有理点群）之前，我们首先回顾一下黑盒群的正规性，并引用我们将要使用的关于它们的结果 注意，这种形式主义在任何标准计算范例中都是有意义的（例如，决定论、拉斯维加斯、蒙特卡罗或量子）。一个具有双射群的blackbox群，它存在于Ba b ai和Szemerdi[2]的序列中，cons是{0，1}m的n元子集T的t s，对于某个m和n，以及一个预言机，它具有以下性质，对于某个包含T的（未知）子集S∈ {0，1}，以及某个（未知）双射映射f：S→G从S到由f（T）生成的群G.(a) 给定x，y∈S，预言机可以确定z∈S使得在G中f（z）=f（x）f（y）.(b) 给定x∈S，预言机可以确定y∈S使得f（y）=f（x）−1在G中。我们也可以把这个数据称为“具有唯一编码的G的黑盒表示”;出于复杂性的目的，将这个定义与没有进一步限定的“黑盒群”的定义相比较我们现在准备从量子计算理论中调用必要的输入引理2. 给定一个输入长度为mn的阿贝尔（甚至可解）群G的具有唯一编码f：SG的蒙特卡洛黑盒群表示，存在一个量子算法，在mn中的时间多项式中运行，用于计算G的阶。证据参见Watrous [27]，[28];该技术将Shor的傅里叶变换方法的应用扩展4›→∼−∈≥-≥4代数曲线由于我们的读者不一定是代数几何专家，我们在这里包括更全面的论述见[7]或[9，第四章]。对于完备域k上的曲线，我们总是指k上的一个光滑的、射影的、几何上不可约的1维簇C。对于每一条这样的曲线，我们可以将C上的有理函数域K（C）联系起来;这是一个超越度为1的域，其中k是相对代数闭的。事实上，函子C K（C）是曲线和这样的域之间的等价。设k表示k的代数闭包，C（k）和C（k）分别表示C上的k-有理点集和k-有理点集.C上的除数是形式和ΣD=P∈C（k）cP（P）（cP∈Z），在P=0的情况下，由Gal（k/k）的无约束性C（k）决定Gal（k /k）的无约束性对于所有人，除了100多个P。最后一个条件意味着和PcP是明确定义的;它被称为D的次数，并表示为deg（D）。我们指出三种特殊类型的除数。我们将C（k）上的单个伽罗瓦轨道上的和（所有系数为1）称为素因子;因子群由下式自由生成：这是一个很好的例子。对于f∈K（C）和P∈C（k），P（f）d不等于v的d或h（正、负或零）。定义除数（f）=P ordP（f）（P）;任何除数在这种形式下，可以使用一种预处理方法。 同样，对于ωnzero1，对于C，我们可以定义orderP（ω）为消失的阶数，并定义除数（ω）=P ordP（ω）（P）;任何这种形式的除数称为标准除数。注意，如果D是主因子，则deg（D）= 0，而如果D是典型因子，则deg（D）= 2g− 2，其中g是C的亏格（根据黎曼-洛克定理;见下文）。我们写D1D2意味着D1D2是主因子;这显然是一个等价关系。注意，两个1-形式的比率这是一个复杂的过程，因此，两种工作都可以独立完成，也都是平等的。一个除数D=PcP（P）是有效的，如果对所有PcP≥0;我们写D1≥D2表示，D1D2是有效的。 对于D有效，我们必须有deg（D）0（但不是相反）。设D是C上的除数，设L（D）是函数fK（C）的集合，使得（f）+D0，连同零函数。集合L（D）是一个k上的向量空间;设k（D）是该空间的维数。请注意，当deg（D）为0时，θ（D）= 0。<支配R（D）的主要定理是Riemann-Roch定理，其陈述如下。命题3（Riemann-Roch定理）对于C上的任何除数D，（D）= deg（D）+1 − g +类群Cl（C）被定义为零次因子群，模主因子子群;它可以与某个g维阿贝尔簇J的k-有理数点相同，即所谓的C的雅可比簇。在有限域上，Cl（C）的阶与zeta函数密切相关，通过以下公式（参见，例如，[18，第14节]）。5我| |ee−i=1en4号提案设k = Fq，Cn表示C到Fq n的基变换. 设P（t）是C的zeta函数的分子。 那么deg（P）= 2 g，如果我们因式P（t）=（1 − r1t）···（1 − r2gt），其中r1，. . . ，r2g∈ C，则Y2G#Cl（Cn）=i=1（1 −rn）。由于这个原因，当k是有限的时候计算Cl（C）的阶是我们计算zeta函数的量子算法的关键。曲线的阶数还受黎曼假设的控制（见[17，第10章]中不太专业的论述）。5号提案 用命题4中的符号表示，ri= q1/2，i = 1，. . . ，2 g。 尤其是，q−2gqn/2 ≤#C（Fqn）≤q +2gqn/2qng/2（q − 1）ng≤ #Cl（Cn）≤ qng/2（q +1）ng。我们将通过下面的引理来利用黎曼假设引理6.对于正整数e， C上e次素因子的个数至少为1（qe（1 − q−1）− 4 gqe/2）。Proof. 将C（Fqe）的次幂项s，C（Fqi）的次幂项s，对于e的所有前向因子i，然后除以e。根据命题5，这个计数可以由以下限制：1（qe− 2 gqe/2−（qi+2 gqi/2））。我0，使得对于某个有效因子E，D+mU<$E。换句话说，对于任何固定的m≥g，Cl（C）的每个元素都可以表示为对于某个m次有效因子E的E mU。Cl（C）的元素以E gU的形式表示，对于g次的E有效，是“一般”唯一的，但并不总是;因为我们需要生成Cl（C）的随机元素，所以具有均匀分布在Cl（C）上的表示是有用的也就是说，如果deg（D）= 0且m≥2g− 1，我们有deg（K-D-mU）0，所以Riemann-Roch<得到δ（D+mU）=m+ 1g。特别地，如果k=Fq，则Cl（C）的每个元素正好由qm+1 −g个形式为E mU的因子表示，其中E的有效次数为m。最后，我们注意到，如果存在一个有理点O C（k），我们可以用标准型表示Cl（C）的元素。也就是说，在这种情况下，如果deg（D）= 0，则<$（D+（m−1）（O））≤<$（D+m（O））=m+1−g+n（K−D−m（O））≤m+ 1−g+n（K−D−（m−1）（O））=（D+（m − 1）（O））+1。因此，如果m是最小的非负整数，且其中<$（D+m（O））>0，则m g（如上所述）和<$（D+m（O））= 1。换句话说，对于m的这个选择（取决于D），存在唯一的有效因子E，其中D+m（O）<$E。6类组现在，我们对我们心目中的输入和计算代数曲线的协议做一些评论，从我们的算法要求对这些协议施加的约束开始。注意，我们将自由地使用有限域上的单变量多项式的因式分解，因此我们的算法将是拉斯维加斯而不是确定性的。设C是一条曲线（它通常是光滑的，射影的，几何上不可约的）设Cn是C到Fqn的基变换，n为正整数.为了证明定理1，我们需要一个算法来计算g中的时间多项式#Cl（C）log（q）。使用引理2，我们看到，展示具有唯一编码#Cl（C）的蒙特卡罗黑盒表示就足够了，输入长度由以下多项式限定：7′§≤g和log（q）;事实上，我们的预言运算将是拉斯维加斯而不仅仅是蒙特卡洛。请注意，由于技术原因，我们最终将不得不限制到q与g相比“不太小”的情况（在证明定理1的过程中也会去掉我们现在继续描述我们的输入协议和#Cl（C）的黑盒表示的构造，除了生成生成集;我们将该构造推迟到下一节。首先，我们将通过指定Fq上的三个变量的齐次多项式来输入C，从而在项目内切割出C的可能奇异的平面模型定向平面P2，即，一个射影的几何不可约的一维概型C′，NORMALIZATIONISSORPHIC。根据Plukekr的伴随公式，证明也就是说，g被d中的多项式所限制。我们还将反过来假设d由g中的多项式限定，因此多项式性可以用d而不是g来度量。这不是真正的限制：Riemann-Roch证明了任意g次曲线都存在g次奇异平面模型，因此可以将其适当地输入到算法中。我们需要明确地描述C′的奇性和P2的爆破序列来解决这些奇点。简单的算法需要传递到Fq的扩展，其次数在输入长度上不是多项式（例如，所有奇点都是有理的）。然而，存在在多项式时间内执行奇点的解析的方法，例如，[14]《易经》中的《易经》注意，位于C′的奇点上的C的Fq-有理点的数目至多为（d−1）（d−2）/2，因为通过Pluckerbond和g，可以将一个字符串转换为一个字符串。设m = 102log q（d）。由于C上至多有（d−1）（d−2）/2个几何点位于C上奇点的上方，我们可以在P2中画一条不满足任何的奇异点。选取这样一条直线，设F是这条直线与C′相交的除数，并选取F的一个Fq-点O;则O定义在Fqmn上，其中n≤d。构造Cl（C）的黑盒表示的关键是可以使Cmn上的Riemann-Roch定理在多项式时间内有效;换句话说，给定Cmn上的除数D，可以有效地测试函数在L（D）中的隶属度，写下L（D）的基，并将L（D）的元素表示为该基的线性组合例如，参见Huang和Ierardi[12，2]的明确结构;也参见Volcheck [25]，[26]的更实用的结构。（注意，Huang和Ierardi假设所有奇点都是有理的，但他们也指出，这种限制只需要确保奇点的解决方案可以有效地执行由于Kozen在[14]中的论证，这个限制可以被解除。）设S是C_mn上的有效因子E的集合，其中deg（E） g和n（E）= 1，表示为通过列出E上的Fq-点（在选择用于解决C′的奇点的P2的爆破上），将其作为位串。然后给定一个0次的除数D，我们可以描述一个产生E∈S的约化过程，其中D<$E−deg（E）（O）如下。应用有效的Riemann-Roch方法，得到g阶的E0，E0≠D+g（O）. 然后反复应用有效的黎曼-罗克来寻找因子E1，E2，. . . 其中deg（Ei）= g − i且Ei−（g − i）（O）<$Ei+1−（g − i − 1）（O），直到不再可能这样做。如果这在Ei处停止，则Ei∈S且Ei−（g−i）（O）<$D。8→≤→ ∈≤为了增加D1，D2∈S，我们可以将约化过程应用于D1+D2−deg（D1+D2）（O）。为了否定D∈S，我们可以将归约过程应用于−D+ deg（D）（O）。因此，我们已经产生了一个黑盒表示，具有唯一的编码f：S→Cl（Cmn），模表示生成集的问题我们将在下一节讨论生成集7寻找类组用上一节中的符号，设T是S的子集，对应于Cl（C）的元素。 为了有一个黑箱表示，具有唯一的编码f：TCl（C），以便我们可以应用Watrous也许可以用比下面已经涉及的程序更详细的论据来解除这一限制。我们首先观察到，它足以以某种方式生成Cl（C）的均匀随机元素。引理7. 设G是2h阶的有限交换群. 那么对于任何非负整数i，如果均匀随机选择G的h + i个元素（有替换），则所选元素生成G的概率至少为1 − 2 −i。证据[16][17][19][1 （粗略地说，我们检查概率是否被初等2-群最小化，然后验证在这种情况下，明确的边界一个更古老但更弱的结果（在2h+i元素的数量级采样后仅产生期望的概率1− 2−i，而不是thanm+i）是由于ErdosanddR′enyi[5，Theorem1]。所谓有限集合V上的b-一致预言机，我们指的是一个预言机，它要么不能以至多1/4的概率返回一个答案，要么根据概率分布p返回V的一个元素：S[0，1]，使得对于任何x，yV，p（x）bp（y）。 (The常数1/ 4选择1/4仅仅是为了确定性;就像在第2节中一样，用0和1之间的任何其他固定常数代替1/ 4也没有什么坏处引理8. 给定一个正整数e，使得16 g 2e1≥4e1>8EQeqe−8gqe/2Qe.使用1024次e2调用这个oracle（如第2节所示），我们可以将此概率提高到3/ 4，从而产生所需的结果。请注意，如果没有关于g的q的某个下界，就不能把前面的引理说成是写出来的;否则，可能会发生V为空的情况，在这种情况下，我们当然不能构造出想要的预言这种复杂性是我们将限于下面q“不太小”的情况的原因接下来，我们给出了(The引理9. 假设我们在一个已知分布和错误概率的有限集合V上给出一个b-一致预言。 然后我们可以在V上构造一个1-uniform oracle，它最多需要16次b2调用初始oracle。证据设p：V→[0，1]为初始预言的概率分布，p0= minx∈V{p（x）};注意，1p0≥b#V因为初始预言是b-均匀的。考虑以下操作：调用初始oracle一次以产生x，然后以概率p0/p（x）返回x，否则失败。这个操作返回V的任何元素的可能性相等，并且以概率p0#V1/b成功。执行操作16b2次（如第2节所示），得到一个新的预言，其失败概率最多为1/ 4。10−−−−−−22−现在我们把前面的引理放在一起。需要注意的是，引理10的复杂性是由于我们希望进行完全无条件的复杂性分析而导致的;在实践中，人们很可能通过任何合理的任意过程选择因子来获得生成集！引理10. 在假设16 g k.NJj=k+12gk∞q−nj/2n≤qnj=k+1 K+ 12g q−n（k−1）/2=n1 −q−n/2q−n（k−1）/2≤（k +1）1 − q−n/2。最后一个表达式小于0。495，如果k≥k0且qn≥q0，则对（k0，q0）∈{（2，50），（3，14），（4，7），（5，5），（6，4），（8，3），（15，2）}中的每一个都成立.注意18（k0+ 1）log2（q0）的函数。 由于m18和q 2，对于任何对（k，n），其中k 2和k = m/n，则我们有kk0和qnq0对于某对（k0，q0）. 因此，qnen的计算值与qnsn相差小于0。5，所以我们可以精确地确定sn因此，我们可以用这种方式恢复zeta函数。概括地说，我们已经证明，我们可以恢复的zeta函数的C提供16g q1/2;它仍然放宽这一限制。给定任意的g和q，选择满足以下条件的m1，m213m/21联系我们1• m1 0和x0∈R，使得对x≥x0，至少存在δx/log（x）素数p1，. . .，x，使得p 1有最大素因子大于xθ。（许多类似的结果存在于解析数论文献中，但常数的有效可计算性似乎是新的[8]。应用前面的参数来计算Cm1，Cm2的zeta函数。因此，列表RM1，. . . ，rm1和rm2，. . . ，rm2。通过构造M1和M2，可以得到域扩张1 2g1 2gQ（r1，. . . ，r2g）不能包含非平凡的m1-st或m2-nd单位根（否则单位将产生一个域，其度包含一个大于2g的素因子，而Q（r1，. . .，r2g）整除（2 g））。因此，我们有（rm1）m2=（rm1）m2，当且仅当JLrj=rL.如果我们现在从第一个列表中挑选出一个元素A，那么在第二个列表中只有一个值（可能是重复的）B，并且Am2=Bm1。因此，我们可以毫不含糊地(up交换相同的值）将每个rm1与其对应的rm2配对，然后J J恢复RJ。这就完成了证明。9循环结式上述论点也可以描述如下。给定一个多项式P（t）r1，. . . ，rd，则P（t）的第m个循环结式定义为：YdRes（P（t），tm−1）=i=1（rm− 1）。这在许多应用中出现;参见[10]进一步讨论。Fried定理[6]如果P（t）有偶数次，并且是倒数（即，P（t）=tdp（1/t）），则P由其循环结式序列唯一确定。这正是我们所处的情况，这并不奇怪：弗里德是通过计算拓扑环面的自同态的幂的不动点来得出这种情况的，根据关于上同调的莱夫谢茨迹公式，我们对交换簇上的弗罗贝纽斯自同态也是这样做的不幸的是，弗里德Sturmfels和Zworski的一个猜想断言，第一个d/2 + 1循环结式应该满足P的一般性（如果P不是倒数，他们猜想一般d+1结式满足）。Hillar和Levine [11]的一个定理指出，前2d+1个循环结式确定P;我们有14≤证明了对于非常特殊的倒数P，我们可以从d个循环结式中显式地恢复P是否可以使d更接近理论下限d/2，即， 是否可以使用少于2G的对量子预言机的调用来计算亏格G的曲线的ζ函数是一个诱人的问题。我们目前的做法无法做到这一点因为，例如，我们从sg+s2g+···中恢复sg，而s2g项的阶数与我们为了精确确定sg而必须将sg限制在其中的区间的大小，即q-g的阶数完全相同。因此，突破2g的障碍似乎需要一个基本的新想法。顺便说一句，即使在没有量子计算机的情况下，这个障碍也可能是令人感兴趣的，因为可以使用定理1的证明来获得用于验证曲线的zeta函数的概率多项式时间算法，该算法验证了前几个雅可比群的阶不幸的是，虽然很容易有效地验证黑盒组的指数，但如何有效地验证其顺序却不太清楚（感谢Dan Bernstein的评论。10进一步评论应该注意的是，给出一个有效的量子算法来计算有限域Fq上任意簇X的zeta函数的问题现在在1维中有效地解决了。 对于dim（X）= 0，即，对于X是闭点的有限并集，计算X的zeta函数相当于找到一元多项式的异度因式分解，因此这甚至可以在确定性多项式时间内完成对于dim（X）= 1，如果X是几何不可约的，则可以找到唯一的光滑射影曲线C，计算其zeta函数，然后用零维簇的zeta函数表示X与C的zeta函数之间的差异如果X不是几何不可约的，我们可以在至多其亏格的一个次扩张上分裂它，并如上所述进行。然而，考虑一个固定的更高维度的品种似乎构成了更严重的挑战。（允许维度变化会使我们危险地接近P=NP问题，我们宁愿远离这个问题。）至少在理论上，如果Fq的特征p是固定的，那么事情是很好理解的;如前所述，Lauder和Wan [15]给出了一个确定性算法，用于计算Pn中d次奇异超曲面的zeta函数，在p的时间多项式中，logp（q），d。（再一次，我们可以通过维数的归纳法来还原这种情况，因为任何不可约簇对于超曲面都是双有理的。）另一方面，如果允许p变化，那么即使是下面的问题仍然有些神秘，除了在一些与模形 式 有 关 的 情 况 下 （ 正 如 Bas Edixhoven 和他 的合 作者正 在进行 的关 于有效 计算Ramanujan的τ函数值的工作所证明的那样问题12. 设X是Q上的一个维数大于1的固定簇（或者更好的是，固定Z上的一个模型）。 是否一定存在一个确定性的，随机的，或量子多项式15时间算法在log（p），以确定zeta函数的X在Fp，为p一个变化的素数？对于1维的X，Schoof-Pila给出了确定性的肯定回答。然而，这里使用的方法在更高的维度中失效;简而言之，不存在高质量的几何几何在日本的一个城市里，有一个很大的城市。如果相关的上同调群是“模”的，则Edixhoven的work表明这样的实现，通过比较在这些空间上的最高的上同调群与最低的上同调群的最高的上同调群然而，当X是一般类型的（固定）曲面，没有任何特殊结构时，似乎需要一个新的想法。我们还指出了由van Dam [24]发起的一项相关但明显不同的研究，他寻找这里的重点是在易于构造的厄米特算子中直接实现Frobenius特征值;这在[24]中对某些对角超曲面（其中相关特征值是高斯和）完成，但一般来说致谢感谢Sean Hallgren对之前的手稿版本提供了有用的评论感谢Igor Pak提供了参考资料[16]，感谢Laci Babai对黑箱组的一些澄清作者由NSF资助DMS-0400747。引用[1] L.M. Adleman 和 M.-D. Huang ， Counting rational points on curves and abelvarieties over finite fields，in H.Cohen（ed.），ANTS-II，计算机科学讲义。1122，Springer-Verlag，1996，1[2] L. Bab aianddE. Szemeredi ， Onthecomm e m m e me m e m emityofmatrixgrouproblemsI，inProc. 第25届年会在Comp.Sci. ，1984，229[3] Denef和F. Vercauteren，用Monsky-W方法计算Cab-曲线的zeta函数，在www. 是的。kuleuven. AC. be/~fvercaut.[4] B. Dwork，关于代数簇的zeta函数的合理性，Amer. J. 数学82（1960），631[5] P. ErdosanddA. R'enyi，Probb bilisti c m e tt i cmethodsinguphery，J. AnalyseMath. 14（1965），127[6] D. 傅立叶，反多项式的循环结式，全纯动力学（墨西哥，1986），数学讲义，1345，Springer-Verlag，1988，124-128。16−[7] W. Fulton，Algebrafish Curves，Addison-Wesley，1989.[8] G. Harman，关于具有有效常数的p 1的最大素因子，数学。Comp.74（2005），2035-2041。[9] R.刘文，《代数几何》，北京：高等教育出版社，1997年。[10] C.J. Hillar，Cyclic resultants，J. 符号Comp. 39（2005），653 -669; erratum，ibid.40（2005），1126[11]C.J. Hillar和L.李文，多项式递归关系与循环结式，arXiv preprintmath. 4.联合国难民事务高级专员公署[12] M.- D. 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