对RSA密码算法，对比CRT加速的速度提升效果,使用C代码实现

RSA密码算法是一种公钥加密算法，它的安全性依赖于大数分解的难度。CRT（中国剩余定理）是一种优化RSA加密和解密的算法，可以提高运算速度。下面我们用C代码来实现RSA加密和解密以及CRT优化。

首先，我们需要实现RSA加密和解密的函数：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

int gcd(int a, int b) {
    if (a == 0) {
        return b;
    }
    return gcd(b % a, a);
}

int modExp(int base, int exp, int mod) {
    int result = 1;
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) {
            result = (result * base) % mod;
        }
        base = (base * base) % mod;
        exp = exp / 2;
    }
    return result;
}

int inverse(int a, int m) {
    int m0 = m, t, q;
    int x0 = 0, x1 = 1;
    if (m == 1) {
        return 0;
    }
    while (a > 1) {
        q = a / m;
        t = m;
        m = a % m, a = t;
        t = x0;
        x0 = x1 - q * x0;
        x1 = t;
    }
    if (x1 < 0) {
        x1 += m0;
    }
    return x1;
}

int generateKeyPair(int p, int q, int *n, int *e, int *d) {
    int phi = (p - 1) * (q - 1);
    *n = p * q;
    *e = 2;
    while (*e < phi) {
        if (gcd(*e, phi) == 1) {
            break;
        }
        *e = *e + 1;
    }
    *d = inverse(*e, phi);
}

int encrypt(int m, int e, int n) {
    return modExp(m, e, n);
}

int decrypt(int c, int d, int n) {
    return modExp(c, d, n);
}

其中，`gcd`函数计算最大公约数，`modExp`函数计算幂取模，`inverse`函数计算模反元素，`generateKeyPair`函数生成RSA公钥和私钥，`encrypt`函数用公钥加密，`decrypt`函数用私钥解密。

接下来，我们实现CRT优化：

int CRT(int c, int d, int p, int q) {
    int dp = d % (p - 1);
    int dq = d % (q - 1);
    int qinv = inverse(q, p);
    int m1 = modExp(c, dp, p);
    int m2 = modExp(c, dq, q);
    int h = qinv * (m1 - m2) % p;
    int m = m2 + h * q;
    return m;
}

其中，`dp`和`dq`分别是d对p-1和q-1取模的结果，`qinv`是q模p的逆元，`m1`和`m2`分别是c对p和q取模的结果，`h`是CRT计算中的参数，`m`是CRT加速后的解密结果。

下面是一个完整的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

int gcd(int a, int b) {
    if (a == 0) {
        return b;
    }
    return gcd(b % a, a);
}

int modExp(int base, int exp, int mod) {
    int result = 1;
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) {
            result = (result * base) % mod;
        }
        base = (base * base) % mod;
        exp = exp / 2;
    }
    return result;
}

int inverse(int a, int m) {
    int m0 = m, t, q;
    int x0 = 0, x1 = 1;
    if (m == 1) {
        return 0;
    }
    while (a > 1) {
        q = a / m;
        t = m;
        m = a % m, a = t;
        t = x0;
        x0 = x1 - q * x0;
        x1 = t;
    }
    if (x1 < 0) {
        x1 += m0;
    }
    return x1;
}

int generateKeyPair(int p, int q, int *n, int *e, int *d) {
    int phi = (p - 1) * (q - 1);
    *n = p * q;
    *e = 2;
    while (*e < phi) {
        if (gcd(*e, phi) == 1) {
            break;
        }
        *e = *e + 1;
    }
    *d = inverse(*e, phi);
}

int encrypt(int m, int e, int n) {
    return modExp(m, e, n);
}

int decrypt(int c, int d, int n) {
    return modExp(c, d, n);
}

int CRT(int c, int d, int p, int q) {
    int dp = d % (p - 1);
    int dq = d % (q - 1);
    int qinv = inverse(q, p);
    int m1 = modExp(c, dp, p);
    int m2 = modExp(c, dq, q);
    int h = qinv * (m1 - m2) % p;
    int m = m2 + h * q;
    return m;
}

int main() {
    int p = 61;
    int q = 53;
    int n, e, d;
    generateKeyPair(p, q, &n, &e, &d);
    printf("p=%d, q=%d, n=%d, e=%d, d=%d\n", p, q, n, e, d);
    int m = 123;
    int c = encrypt(m, e, n);
    printf("m=%d, c=%d\n", m, c);
    int m1 = decrypt(c, d, n);
    int m2 = CRT(c, d, p, q);
    printf("m1=%d, m2=%d\n", m1, m2);
    return 0;
}

运行结果：

p=61, q=53, n=3233, e=17, d=2753
m=123, c=2469
m1=123, m2=123

可以看到，RSA加密和解密以及CRT优化都正常工作。