矩阵A = 1 2 3 2 3 4 0 0 1 ,求其秩、迹及其逆矩阵(给出计算过程)
时间: 2024-06-05 15:07:00 浏览: 12
矩阵A的秩为2,迹为6。
接下来求逆矩阵:
将A矩阵增广为[A|I]形式:
1 2 3 | 1 0 0
2 3 4 | 0 1 0
0 0 1 | 0 0 1
对A进行初等行变换:
R2-2R1: 0 -1 -2 | -2 1 0
R3: 0 0 1 | 0 0 1
R2+R3: 0 -1 0 | -2 1 1
R2*(-1): 0 1 0 | 2 -1 -1
R1-3R3: 1 2 0 | 1 0 -3
R2+2R3: 0 1 0 | 2 -1 0
R1-2R2: 1 0 0 | -3 2 -3
因此,A的逆矩阵为:
-3 2 -3
2 -1 0
0 0 1
相关问题
矩阵A = [1 2 3;2 3 4;0 0 1] ,求其秩、迹及其逆矩阵(给出计算过程)
矩阵A的秩为2,因为第3行全为0,可以通过第1、2行线性组合得到,所以其秩为2。
矩阵A的迹为1+3+1=5,即矩阵主对角线上元素的和。
要求矩阵A的逆矩阵,可以通过高斯-约旦消元法求解增广矩阵[A|I],其中I为3阶单位矩阵。
首先将A的第1列变为单位列:
$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
然后将A的第2列进行消元:
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 1 & -2 & 0\\0 & 1 & 2 & -2 & 3 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
最后将A的第1列进行消元:
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 3\\0 & 1 & 0 & -2 & 3 & -2\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
所以矩阵A的逆矩阵为:
$$A^{-1}=\begin{bmatrix}1 & -2 & 3\\-2 & 3 & -2\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
求矩阵A=(0,1,1,3/2)的奇异值分解
矩阵的奇异值分解(Singular Value Decomposition,简称SVD)是一种常用的矩阵分解方法,可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。对于矩阵A=(0,1,1,3/2),它的奇异值分解可以表示为以下形式:
A = U * Σ * V^T
其中,U和V是正交矩阵,Σ是一个对角矩阵。具体的求解步骤如下:
1. 首先,计算A * A^T和A^T * A的特征值和特征向量。
2. 将特征值按照从大到小的顺序排列,并将对应的特征向量作为U和V的列向量。
3. 对特征值进行开方运算得到奇异值,并将奇异值按照从大到小的顺序排列,构成对角矩阵Σ。
4. 最后,得到奇异值分解的结果:A = U * Σ * V^T。
根据上述步骤,对于矩阵A=(0,1,1,3/2),可以进行如下计算:
1. 计算A * A^T和A^T * A的特征值和特征向量:
A * A^T = (1/2,3/2) * (1/2,3/2)^T = (5/4,3/4;3/4,9/4)
A^T * A = (0,1;1,9/4)
对A * A^T进行特征值分解:
特征值:λ1 = 2,λ2 = 1/2
对应的特征向量:v1 = (1,1),v2 = (-1,1)
对A^T * A进行特征值分解:
特征值:λ1 = 9/4,λ2 = 0
对应的特征向量:u1 = (1/√2,-1/√2),u2 = (1/√2,1/√2)
2. 构建U和V矩阵:
U = (u1,u2)= (1/√2,-1/√2;1/√2,1/√2)
V = (v1,v2)= (1,-1;1,1)
3. 计算奇异值:
奇异值:σ1 = √(λ1) = √(9/4) = 3/2,σ2 = √(λ2) = √(0) = 0
构建对角矩阵Σ:Σ = (3/2,0;0,0)
4. 得到奇异值分解的结果:
A = U * Σ * V^T
= (1/√2,-1/√2;1/√2,1/√2) * (3/2,0;0,0) * (1,-1;1,1)^T
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