求矩阵A = [[1, 4, 5, 3], [2, 0, 1, 0], [-1, 1, 0, 0], [0, 2, 3, 4]]的逆矩阵
时间: 2024-06-16 14:04:43 浏览: 14
要求一个矩阵的逆矩阵,需要满足以下条件:
1. 矩阵必须是一个方阵,即行数等于列数。
2. 矩阵的行列式不为零。
对于给定的矩阵A = [[1, 4, 5, 3],
[2, 0, 1, 0],
[-1, 1, 0, 0],
[0, 2, 3, 4]],它是一个4x4的方阵,我们可以计算它的行列式是否为零来确定是否存在逆矩阵。
计算行列式:
det(A) = 1 * (0 * 0 * 4 -1) - 0 * 0 * (-1)) - 3 * (2 * 1 * 0 - 0 * 0 * (-1))
=*************** * 0), (2 * 1 -***)],
[(2 * 1 - 0 * (-1)), (2 * 1 - 0 * 0), (2 * 4 - 0 * 0), (2 * 4 - 0 * 3)]]
= [[-3, -6, -2, -2],
[5, -3, 2, 2],
[2, 8, 8, -6],****** [2, 8, 8, -6],
[2, 8, 8, -6]]
所以,矩阵A的逆矩阵为:
[[-3/2, -3, -1, -1],
[5/2, -3/2, 1, 1],
[1, 4,******
相关问题
矩阵A=(4 2 3 1 1 0 -1 2 3)AX=A-2X,求X
我们可以先将 AX=A-2X 转化为 AX+2X=A,即 (A+2I)X=A,其中 I 是单位矩阵。然后求出矩阵 A+2I 的逆矩阵 (A+2I)^-1,最后得到 X=(A+2I)^-1 A。
首先,计算 A+2I:
A+2I = (4 2 3 1 1 0 -1 2 3) + 2 * (1 0 0 0 1 0 0 0 1)
= (6 2 3 1 3 0 -1 2 5)
然后求 (A+2I)^-1:
将矩阵 A+2I 扩展成一个 3x6 的矩阵 [A+2I | I],然后对其进行初等行变换,得到 [I | (A+2I)^-1]。具体过程如下:
(6 2 3 | 1 0 0) (1 0 0 | 1/6 -1/3 1/6)
(1 3 0 | 0 1 0) => (0 1 0 | -1/4 5/12 -1/4)
(-1 2 5 | 0 0 1) (0 0 1 | 1/4 -1/6 1/12)
因此,(A+2I)^-1 = (1/6 -1/3 1/6 -1/4 5/12 -1/4 1/4 -1/6 1/12)。
最后,计算 X=(A+2I)^-1 A:
X = (1/6 -1/3 1/6 -1/4 5/12 -1/4 1/4 -1/6 1/12) * (4 2 3 1 1 0 -1 2 3)
= (-1/3 1/6 1/6 1/4 1/12 -1/4 -1/6 -1/6 1/6)
因此,X=(-1/3 1/6 1/6 1/4 1/12 -1/4 -1/6 -1/6 1/6)。
矩阵A=2 -1,-2 4求P(A)
要求出矩阵A的特征多项式P(A),可以按照以下步骤进行:
1. 计算|A-λI|,其中λ为待定的特征值,I为同阶的单位矩阵。
2. 将|A-λI|展开并化简,得到P(λ)。
3. 求解方程P(λ)=0,得到A的特征值λ1和λ2。
4. 对于每个特征值λi,求解方程(A-λiI)x=0,得到对应的特征向量vi。
5. 将特征向量vi按列组成一个矩阵V,即V=[v1,v2,...,vn]。
6. 将特征值按对角线排列成一个矩阵Λ,即Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)。
7. 则P(A)=VΛV^-1。
根据上述步骤,我们可以得出矩阵A的特征多项式P(λ)为:
P(λ)=|A-λI|=(2-λ)(4-λ)-(-1)(-2) = λ^2 - 6λ + 9
解方程P(λ)=0,得到特征值λ1=λ2=3。
对于λ=3,解方程(A-3I)x=0,得到特征向量v1=[1,1]。
因此,V=[1,1],Λ=diag(3,3),且V^-1=1/2[-1,1]。
最终得到P(A)=VΛV^-1=1/2[1,1][[3,0],[0,3]][-1,1]=[[1,1],[-1,1]]。
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