矩阵A = [1 2 3;2 3 4;0 0 1] ，求其秩、迹及其逆矩阵（给出计算过程）

矩阵A的秩为2，因为第3行全为0，可以通过第1、2行线性组合得到，所以其秩为2。

矩阵A的迹为1+3+1=5，即矩阵主对角线上元素的和。

要求矩阵A的逆矩阵，可以通过高斯-约旦消元法求解增广矩阵[A|I]，其中I为3阶单位矩阵。

首先将A的第1列变为单位列：
$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

然后将A的第2列进行消元：
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 1 & -2 & 0\\0 & 1 & 2 & -2 & 3 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

最后将A的第1列进行消元：
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 3\\0 & 1 & 0 & -2 & 3 & -2\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

所以矩阵A的逆矩阵为：
$$A^{-1}=\begin{bmatrix}1 & -2 & 3\\-2 & 3 & -2\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

相关问题

矩阵A = 1 2 3 2 3 4 0 0 1 ，求其秩、迹及其逆矩阵（给出计算过程）

矩阵A的秩为2，迹为6。

接下来求逆矩阵：

将A矩阵增广为[A|I]形式：

1 2 3 | 1 0 0

2 3 4 | 0 1 0

0 0 1 | 0 0 1

对A进行初等行变换：

R2-2R1: 0 -1 -2 | -2 1 0

R3: 0 0 1 | 0 0 1

R2+R3: 0 -1 0 | -2 1 1

R2*(-1): 0 1 0 | 2 -1 -1

R1-3R3: 1 2 0 | 1 0 -3

R2+2R3: 0 1 0 | 2 -1 0

R1-2R2: 1 0 0 | -3 2 -3

因此，A的逆矩阵为：

-3 2 -3

2 -1 0

0 0 1

求矩阵A=（0，1，1，3/2）的奇异值分解

矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种常用的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。对于矩阵A=（0，1，1，3/2），它的奇异值分解可以表示为以下形式：

A = U * Σ * V^T

其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。具体的求解步骤如下：

1. 首先，计算A * A^T和A^T * A的特征值和特征向量。
2. 将特征值按照从大到小的顺序排列，并将对应的特征向量作为U和V的列向量。
3. 对特征值进行开方运算得到奇异值，并将奇异值按照从大到小的顺序排列，构成对角矩阵Σ。
4. 最后，得到奇异值分解的结果：A = U * Σ * V^T。

根据上述步骤，对于矩阵A=（0，1，1，3/2），可以进行如下计算：

1. 计算A * A^T和A^T * A的特征值和特征向量：
A * A^T = （1/2，3/2） * （1/2，3/2）^T = （5/4，3/4；3/4，9/4）
A^T * A = （0，1；1，9/4）

对A * A^T进行特征值分解：
特征值：λ1 = 2，λ2 = 1/2
对应的特征向量：v1 = （1，1），v2 = （-1，1）

对A^T * A进行特征值分解：
特征值：λ1 = 9/4，λ2 = 0
对应的特征向量：u1 = （1/√2，-1/√2），u2 = （1/√2，1/√2）

2. 构建U和V矩阵：
U = （u1，u2）= （1/√2，-1/√2；1/√2，1/√2）
V = （v1，v2）= （1，-1；1，1）

3. 计算奇异值：
奇异值：σ1 = √(λ1) = √(9/4) = 3/2，σ2 = √(λ2) = √(0) = 0
构建对角矩阵Σ：Σ = （3/2，0；0，0）

4. 得到奇异值分解的结果：
A = U * Σ * V^T
= （1/√2，-1/√2；1/√2，1/√2） * （3/2，0；0，0） * （1，-1；1，1）^T