X^2+y^2+z^2=1求切平面为什么对x求导时把y,z看作常量
时间: 2024-01-02 11:02:29 浏览: 29
在求切平面时,我们需要找到曲面上某一点的切向量,然后以该向量为法向量建立切平面。对于一般的曲面,切向量可以通过对曲面方程在该点处求偏导数得到。具体地,对于曲面方程 $F(x,y,z)=0$,在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量为 $\nabla F(x_0,y_0,z_0)$,其中 $\nabla F$ 表示 $F$ 的梯度向量。注意,梯度向量的每个分量都是对应变量的偏导数。
在本题中,曲面方程为 $x^2 y^2 z^2=1$。我们需要求该曲面在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量,其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 满足方程 $x_0^2 y_0^2 z_0^2=1$。对该方程两边同时取对数,得到 $\ln(x_0)+\ln(y_0)+\ln(z_0)=0$。因此,我们可以将曲面方程写成 $F(x,y,z)=\ln(x)+\ln(y)+\ln(z)$,在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的梯度向量为
$$
\nabla F(x_0,y_0,z_0)=\left(\frac{1}{x_0},\frac{1}{y_0},\frac{1}{z_0}\right)
$$
这里的偏导数是对应变量在该点处的导数。因为在求切向量时,我们只需要在某一点处求偏导数,而不需要对整个曲面求导数,所以在对 $x$ 求导时,我们可以将 $y$ 和 $z$ 看作常量,因为它们在该点处的值已经确定了。这样,我们就可以得到在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量为
$$
\left(\frac{1}{x_0},0,0\right)
$$
最后,我们以该向量为法向量建立切平面。
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