不使用Eigen库求解特征值

不使用Eigen库求解特征值可以利用迭代法或者直接解特征值方程的方法。以下是两种方法的简单介绍：

1. 迭代法

迭代法是一种通过迭代逼近特征值的方法，常用的方法有幂法和反幂法。幂法是通过多次矩阵与向量的乘积来逼近矩阵的最大特征值和对应的特征向量，而反幂法是通过求解矩阵的逆来逼近矩阵的最小特征值和对应的特征向量。

2. 直接解特征值方程

特征值方程是一个关于特征值的多项式方程，直接求解该方程可以得到矩阵的所有特征值。对于一个n阶矩阵，其特征值方程为：det(A - λI) = 0，其中I是n阶单位矩阵，det表示行列式。该方程的解为矩阵的n个特征值。

以下是使用迭代法求解矩阵特征值的示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

const double EPS = 1e-8; // 精度
const int MAX_ITER = 1000; // 最大迭代次数

// 幂法求解最大特征值和对应的特征向量
void power_method(vector<vector<double>>& A, double& lambda, vector<double>& x)
{
    int n = A.size();
    double norm = 0.0;
    int iter = 0;
    x.assign(n, 1.0); // 初始向量
    while (iter < MAX_ITER)
    {
        // 计算新向量
        vector<double> y(n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            double sum = 0.0;
            for (int j = 0; j < n; j++)
                sum += A[i][j] * x[j];
            y[i] = sum;
        }

        // 计算新向量的模长
        double new_norm = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            new_norm += y[i] * y[i];
        new_norm = sqrt(new_norm);

        // 归一化新向量
        for (int i = 0; i < n; i++)
            y[i] /= new_norm;

        // 计算特征值的变化量
        double delta = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            delta += (y[i] - x[i]) * (y[i] - x[i]);
        delta = sqrt(delta);

        // 更新特征值和特征向量
        lambda = new_norm;
        x = y;

        // 判断是否满足精度要求
        if (delta < EPS)
            break;

        iter++;
    }
}

int main()
{
    vector<vector<double>> A = {{1.0, 2.0, 3.0},
                                {4.0, 5.0, 6.0},
                                {7.0, 8.0, 9.0}};
    double lambda;
    vector<double> x;
    power_method(A, lambda, x);
    cout << "The maximum eigenvalue is " << lambda << endl;
    cout << "The corresponding eigenvector is ";
    for (int i = 0; i < x.size(); i++)
        cout << x[i] << " ";
    cout << endl;

    return 0;
}

该代码使用幂法求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。首先定义了一个3x3的矩阵A，然后使用`power_method`函数进行幂法迭代，得到最大特征值和对应的特征向量。