试证H(X|Z)\leq H(X|Y)+H(Y|Z)
时间: 2023-08-05 14:04:58 浏览: 39
我们可以利用条件熵和联合熵的关系进行证明:
根据条件熵的定义,有:
H(X|Z) = H(X,Z) - H(Z)
H(X|Y) = H(X,Y) - H(Y)
H(Y|Z) = H(Y,Z) - H(Z)
将上述式子代入原式,得:
H(X,Z) - H(Z) ≤ H(X,Y) - H(Y) + H(Y,Z) - H(Z)
移项可得:
H(X,Z) ≤ H(X,Y) + H(Y,Z) - H(Y) + H(Z)
再利用联合熵的定义,有:
H(X,Y,Z) = H(X|Y,Z) + H(Y,Z)
H(X,Y,Z) = H(X|Z,Y) + H(Z,Y)
根据信息论的熵增引理,有:
H(X|Y,Z) ≤ H(X|Z)
H(X|Z,Y) ≤ H(X|Y)
将上述不等式代入联合熵的式子中,得:
H(X,Y,Z) ≤ H(X|Z) + H(Y,Z)
H(X,Y,Z) ≤ H(X|Y) + H(Z,Y)
将上述两个式子相加并移项,得:
H(X|Z) ≤ H(X|Y) + H(Y|Z)
因此,原命题成立。
相关问题
$d(x,z) \leq d(x,y)什么意思
$d(x,z) \leq d(x,y)$ 表示点 $x$ 到点 $z$ 的距离小于等于点 $x$ 到点 $y$ 的距离。这是由于欧几里得距离满足三角不等式,即对于任意的 $x,y,z \in \mathbb{R}^n$,有 $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$。因此,当 $y$ 是 $x$ 到 $z$ 的最短路径上的一个点时,即 $d(x,z) = d(x,y) + d(y,z)$ 时,等式成立;否则,当 $y$ 不在最短路径上时,$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ 仍然成立,但是不等式变成了严格不等式。因此,$d(x,z) \leq d(x,y)$ 是三角不等式的一个特例,在一些证明中经常会用到。
z=arc sin(x^2+y^2)的定义域
由于 $-1 \leq \sin z \leq 1$,所以 $|\sin z| \leq 1$。因此,必须有 $-1 \leq x^2 y^2 \leq 1$。由于 $x^2$ 和 $y^2$ 都非负,因此 $0 \leq x^2 y^2 \leq 1$。因此,$x$ 和 $y$ 的取值范围是 $-1 \leq x \leq 1$ 和 $-1 \leq y \leq 1$。由于 $\arcsin z$ 的定义域是 $-1 \leq z \leq 1$,因此 $-1 \leq x^2 y^2 \leq 1$ 等价于 $-1 \leq \sin (x^2 y^2) \leq 1$,即 $-1 \leq z \leq 1$。因此,$z=\arcsin(x^2 y^2)$ 的定义域为 $-1 \leq x \leq 1$,$-1 \leq y \leq 1$,$-1 \leq z \leq 1$。