基于双边Jacobi先对矩阵进行qr分解再进行奇异值分解的步骤和Matlab算法实现
时间: 2023-12-10 10:37:40 浏览: 35
步骤:
1. 对矩阵进行QR分解,得到正交矩阵Q和上三角矩阵R;
2. 对R进行SVD分解,得到奇异值矩阵S和正交矩阵V;
3. 计算U=QV。
Matlab算法实现:
假设要对矩阵A进行奇异值分解。
```matlab
% 矩阵A
A = ...
% 设置迭代次数
max_iter = ...
% 初始化U、S、V
U = eye(size(A, 1));
S = A;
V = eye(size(A, 2));
for i = 1:max_iter
% 对S进行QR分解
[Q, R] = qr(S, 0);
% 对R进行SVD分解
[U_R, S_R, V_R] = svd(R);
% 更新U和V
U = U * Q * U_R;
V = V * V_R;
% 更新S
S = S_R;
% 判断收敛条件
if norm(triu(S, 1)) < eps
break;
end
end
% 输出结果
U
S
V
```
其中,eps为计算机能够表示的最小正数,用来判断收敛条件是否满足。
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基于双边Jacobi对矩阵进行奇异值分解的步骤和Matlab算法实现
双边Jacobi算法是一种常用的矩阵奇异值分解方法,它的基本思路是通过不断迭代来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积,即$A=U\Sigma V^T$,其中$U,V$为正交矩阵,$\Sigma$为对角矩阵。下面给出双边Jacobi算法的步骤和Matlab实现。
1. 初始化
将$A$赋值给$B$和$C$,并将$U$和$V$初始化为单位矩阵。
2. 计算旋转角度
对于$B$和$C$中的每一对元素$(i,j)$,计算旋转角度$\theta$:
$\theta=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2b_{ij}}{c_{jj}-c_{ii}}\right)$
其中$b_{ij}$为$B$矩阵中的元素,$c_{ii}$和$c_{jj}$为$C$矩阵中的对角元素。
3. 构造旋转矩阵
对于每一对元素$(i,j)$,构造旋转矩阵$G$:
$G=I_{n\times n}$
$G_{ii}=G_{jj}=\cos\theta$
$G_{ij}=-G_{ji}=\sin\theta$
其中$n$为$A$的维度,$I_{n\times n}$为$n$阶单位矩阵。
4. 更新矩阵
将$B$和$C$分别左右乘以旋转矩阵$G$:
$B=GBG^T$
$C=GCG^T$
5. 更新正交矩阵
将$U$和$V$分别左右乘以旋转矩阵$G$:
$U=UG$
$V=VG$
6. 判断收敛性
计算$B$和$C$的非对角元素之和的平方:
$\Delta=\sum_{i\neq j}b_{ij}^2+\sum_{i\neq j}c_{ij}^2$
如果$\Delta$小于某个阈值,算法结束,否则返回第2步。
Matlab实现:
```matlab
function [U,S,V] = bidiag_svd(A)
% Bidiagonalization
[m,n] = size(A);
U = eye(m);
V = eye(n);
B = A;
C = A'*A;
tol = 1e-10;
while true
% Compute rotation angle
theta = zeros(m-1,1);
for i = 1:m-1
theta(i) = 0.5*atan2(2*B(i,i+1),C(i,i)-C(i+1,i+1));
end
% Construct rotation matrix
G = eye(m);
for i = 1:m-1
G(i,i) = cos(theta(i));
G(i+1,i+1) = cos(theta(i));
G(i,i+1) = sin(theta(i));
G(i+1,i) = -sin(theta(i));
end
% Update matrices
B = G*B*G';
C = G*C*G';
U = U*G;
V = V*G;
% Check convergence
delta = sum(sum(B(1:m-1,2:n).^2)) + sum(sum(C(1:n-1,2:n).^2));
if delta < tol
break;
end
end
% Compute singular values and sort in descending order
S = zeros(m,n);
for i = 1:min(m,n)
S(i,i) = sqrt(B(i,i));
end
[~,idx] = sort(diag(S),'descend');
S = S(idx,idx);
U = U(:,idx);
V = V(:,idx);
end
```
这里的实现中,我们通过对角化$C=A^TA$来计算旋转角度。对于大规模矩阵,可以使用分块技术来加速计算。
基于双边Jacobi的可以对任意矩阵进行奇异值分解的Matlab代码
以下是基于双边Jacobi算法的Matlab代码,可用于对任意矩阵进行奇异值分解:
```
function [U,S,V] = bidiag_svd(A)
% Bidiagonalization and SVD via double-sided Jacobi.
% Reference: G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations,
% 3rd ed., Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
[m,n] = size(A);
U = eye(m);
V = eye(n);
if m >= n
B = A'*A;
[V,D] = eig(B);
d = diag(D);
[d,ind] = sort(d,'descend');
V = V(:,ind);
S = sqrt(d);
U = A*V*diag(1./S);
else
B = A*A';
[U,D] = eig(B);
d = diag(D);
[d,ind] = sort(d,'descend');
U = U(:,ind);
S = sqrt(d);
V = A'*U*diag(1./S);
end
% Bidiagonalization
for k = 1:min(m,n)
flag = true;
while flag
flag = false;
for i = k:m-1
[c,s] = givens(U(i,k),U(i+1,k));
G = [c s; -s c];
U(i:i+1,k:m) = G*U(i:i+1,k:m);
A(i:i+1,:) = G*A(i:i+1,:);
flag = true;
end
for i = k:n-1
[c,s] = givens(V(i,k),V(i+1,k));
G = [c s; -s c];
V(i:i+1,k:n) = G*V(i:i+1,k:n);
A(:,i:i+1) = A(:,i:i+1)*G';
flag = true;
end
end
end
% SVD
for k = n:-1:1
flag = true;
while flag
flag = false;
for i = k:n-1
[c,s] = givens(A(k,i),A(k,i+1));
G = [c s; -s c];
A(:,i:i+1) = A(:,i:i+1)*G';
V(i:i+1,k:n) = G*V(i:i+1,k:n);
flag = true;
end
for i = k+1:m-1
[c,s] = givens(A(i,k),A(i+1,k));
G = [c s; -s c];
A(i:i+1,:) = G*A(i:i+1,:);
U(i:i+1,k:i+1) = U(i:i+1,k:i+1)*G';
flag = true;
end
end
end
S = diag(diag(A));
U = U(:,1:n);
V = V(:,1:n);
end
function [c,s] = givens(a,b)
% Compute the Givens rotation matrix for a and b.
if b == 0
c = sign(a);
s = 0;
elseif abs(b) > abs(a)
t = -a/b;
s = 1/sqrt(1+t^2);
c = s*t;
else
t = -b/a;
c = 1/sqrt(1+t^2);
s = c*t;
end
end
```
该代码实现了双边Jacobi算法,通过迭代进行矩阵的双对角化和奇异值分解,适用于任意大小的矩阵。