基于双边旋转Jacobi的稀疏奇异值分解的matlab算法代码讲解

稀疏奇异值分解（Sparse Singular Value Decomposition，SSVD）是一种用于处理稀疏矩阵的技术，它可以找到矩阵的最大奇异值及其对应的左右奇异向量，从而较好地解决了传统奇异值分解在处理稀疏矩阵时需要耗费大量计算资源的问题。

基于双边旋转Jacobi的稀疏奇异值分解算法是SSVD的一种常用实现方法，下面给出Matlab代码的讲解：

function [U,S,V] = SSVD(X,k,tol)
% X: the input matrix
% k: the number of singular values to compute
% tol: the tolerance for convergence

% initialize U, S, V
[m,n] = size(X);
U = randn(m,k);
V = randn(n,k);
S = randn(k,k);

% compute XTX and XTY
XTX = X'*X;
XTY = X'*Y;

% initialize convergence criterion
delta = Inf;

% iterate until convergence
while delta > tol
    delta = 0;
    
    % update U using XTX and XTY
    for i = 1:k
        for j = i+1:k
            [c,s] = jacobi(XTX(i,i),XTX(j,j),XTX(i,j));
            J = [c s; -s c];
            XTX([i j],:) = J*XTX([i j],:);
            U(:,[i j]) = U(:,[i j])*J';
            delta = max(delta, abs(s));
        end
    end
    
    % update V using XTY and XTX
    for i = 1:k
        for j = i+1:k
            [c,s] = jacobi(XTY(i,i),XTY(j,j),XTY(i,j));
            J = [c s; -s c];
            XTY([i j],:) = J*XTY([i j],:);
            V(:,[i j]) = V(:,[i j])*J';
            delta = max(delta, abs(s));
        end
    end
    
    % update S using U and V
    S = U'*X*V;
    
end

% sort singular values and vectors
[S,ind] = sort(diag(S),'descend');
U = U(:,ind);
V = V(:,ind);

% take top k singular values
U = U(:,1:k);
S = S(1:k);
V = V(:,1:k);

end

function [c,s] = jacobi(a,b,c)
% compute rotation coefficients for Jacobi method
if b == 0
    c = 1;
    s = 0;
else
    if abs(b) > abs(a)
        r = a / b;
        s = 1 / sqrt(1 + r^2);
        c = s*r;
    else
        r = b / a;
        c = 1 / sqrt(1 + r^2);
        s = c*r;
    end
end
end

这段代码实现了基于双边旋转Jacobi的稀疏奇异值分解算法，其中函数SSVD的输入参数为矩阵X、要计算的奇异值个数k和收敛精度tol，输出结果为左奇异向量矩阵U、奇异值向量S和右奇异向量矩阵V。Jacobi方法用于计算旋转系数，其输入参数为两个数a和b以及旋转系数c，输出结果为旋转系数c和s。

该算法的核心部分是在while循环中迭代地更新U、S和V，直到收敛。具体来说，每一次迭代都会对U、S和V进行一次双边旋转Jacobi操作，并根据旋转角度的大小更新收敛精度delta。在每次迭代中，先使用XTX和XTY更新U，然后使用XTY和XTX更新V，最后使用U和V更新S。最终，将奇异值向量按照降序排序，并取出前k个奇异值和对应的左右奇异向量即可得到最终的结果。

需要注意的是，该算法的实现是基于Matlab语言的，如果要在其他语言中实现，需要适当地修改代码。