一个机器人位于一个 m × n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。问总共有多少条不同的路径? 输入:m = 3, n = 7 蛮力法的模型,动态规划子问题描述及递推方程,并用动态规划编写程序,并输出算法执行时间
时间: 2024-03-10 13:44:12 浏览: 20
这是一道经典的动态规划问题,可以使用蛮力法、递归或动态规划来解决。
蛮力法思路:枚举所有可能的路径,统计满足条件的路径数量。时间复杂度为 $O(2^{m+n})$,不可取。
递归思路:从终点往起点递归,统计不同路径数量。时间复杂度为 $O(2^{m+n})$,不可取。
动态规划思路:用一个二维数组 $dp$ 表示到达每个格子的路径数量,则 $dp[i][j]$ 表示从起点到达第 $i$ 行、第 $j$ 列格子的路径数量。对于第一行和第一列格子,由于只能向右或向下走,所以到达这些格子的路径数量都为 $1$。对于其他格子,到达 $(i,j)$ 格子的路径数量等于到达 $(i-1,j)$ 和 $(i,j-1)$ 格子的路径数量之和。因此,递推式为:
$$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]$$
最终答案为 $dp[m][n]$。时间复杂度为 $O(mn)$。
以下是动态规划的Python代码实现:
```python
import time
def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
dp = [[1] * n for _ in range(m)]
for i in range(1, m):
for j in range(1, n):
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
return dp[m-1][n-1]
start = time.time()
print(uniquePaths(3, 7))
end = time.time()
print("Time used:", end-start)
```
输出结果为:
```
28
Time used: 0.0xxxxx
```
其中,算法执行时间根据计算机性能和Python版本不同而有所差异。