纯跟踪算法中alpha推导
时间: 2024-05-22 20:11:56 浏览: 6
在纯跟踪算法中,我们需要通过观测数据来估计目标的状态。假设目标的状态为$x_t$,观测数据为$z_t$。我们可以使用贝叶斯滤波器来估计目标状态的后验概率分布$p(x_t|z_{1:t})$,其中$z_{1:t}=\{z_1,z_2,...,z_t\}$。在贝叶斯滤波器中,我们需要用到状态转移概率$p(x_t|x_{t-1})$和观测概率$p(z_t|x_t)$。
纯跟踪算法中常用的是卡尔曼滤波器,其状态转移方程为:
$$ x_t=F_tx_{t-1}+w_t$$
其中$F_t$是状态转移矩阵,$w_t$是状态转移过程中的噪声。假设$w_t\sim N(0,Q_t)$,则状态转移概率可以表示为:
$$ p(x_t|x_{t-1})=N(F_tx_{t-1},Q_t)$$
观测方程为:
$$z_t=H_tx_t+v_t$$
其中$H_t$是观测矩阵,$v_t$是观测噪声。假设$v_t\sim N(0,R_t)$,则观测概率可以表示为:
$$ p(z_t|x_t)=N(H_tx_t,R_t)$$
根据贝叶斯定理,我们可以得到后验概率分布:
$$ p(x_t|z_{1:t})=\frac{p(z_t|x_t)p(x_t|z_{1:t-1})}{p(z_t|z_{1:t-1})}$$
其中$p(x_t|z_{1:t-1})$可以通过递归的方式计算得到:
$$ p(x_t|z_{1:t-1})=\int p(x_t|x_{t-1})p(x_{t-1}|z_{1:t-1})dx_{t-1}$$
将$p(x_t|z_{1:t-1})$代入后验概率分布的公式中,我们可以得到:
$$ p(x_t|z_{1:t})=\frac{p(z_t|x_t)\int p(x_t|x_{t-1})p(x_{t-1}|z_{1:t-1})dx_{t-1}}{p(z_t|z_{1:t-1})}$$
我们将$p(z_t|x_t)$和$\int p(x_t|x_{t-1})p(x_{t-1}|z_{1:t-1})dx_{t-1}$合并,可以得到:
$$ p(x_t|z_{1:t})\propto p(z_t|x_t)\int p(x_t|x_{t-1})p(x_{t-1}|z_{1:t-1})dx_{t-1}$$
这里的$\propto$表示两边相差一个归一化常数,可以通过归一化得到完整的后验概率分布。我们可以将上式中的积分看作一个卷积操作,即:
$$ p(x_t|z_{1:t})\propto p(z_t|x_t)*(p(x_{t-1}|z_{1:t-1})\otimes p(x_t|x_{t-1}))$$
其中$*$表示卷积操作,$\otimes$表示乘积操作。我们将$p(z_t|x_t)$看作一个卷积核,$p(x_{t-1}|z_{1:t-1})$和$p(x_t|x_{t-1})$看作两个卷积的输入,可以得到卡尔曼滤波器中常用的更新公式:
$$\begin{aligned}
\hat{x}_{t|t}&=\hat{x}_{t|t-1}+K_t(z_t-H_t\hat{x}_{t|t-1})\\
P_{t|t}&=(I-K_tH_t)P_{t|t-1}\\
K_t&=P_{t|t-1}H_t^T(H_tP_{t|t-1}H_t^T+R_t)^{-1}
\end{aligned}$$
其中$\hat{x}_{t|t}$表示$x_t$的后验均值,$P_{t|t}$表示$x_t$的后验协方差矩阵,$K_t$表示卡尔曼增益。这里的$K_t$实际上是将观测数据$z_t$中的信息融合到$x_t$的估计中,从而得到更准确的$x_t$的估计。$\hat{x}_{t|t}$和$P_{t|t}$可以作为下一时刻$t+1$的先验估计。