级数(-1/2)^n 乘 1/n^2是条件收敛?
时间: 2023-06-18 15:06:36 浏览: 76
我们可以使用比较判别法来判断级数的收敛性。首先,注意到级数的所有项都是非负数,因此我们可以只考虑级数的绝对值:
|(-1/2)^n * 1/n^2| = (1/2)^n * 1/n^2
现在我们需要找到一个已知的收敛级数来与之比较。考虑调和级数:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
对于所有的正整数 n,都有 1/n ≤ 1,因此
1/n^2 ≤ 1/n
于是我们可以得到:
(1/2)^n * 1/n^2 ≤ (1/2)^n * 1/n
右侧的级数是调和级数,已知它是发散的。因此,由比较判别法可知,原级数也是发散的。
综上所述,原级数是发散的。
相关问题
利用级数收敛的必要条件这一性质指出以下函数是否为发散的 1. Σ(-1)^n 2. Σ(-1/3)^n
根据级数收敛的必要条件,对于一个级数Σa_n来说,如果该级数收敛,则a_n必须趋于0。因此,我们可以利用这一性质来判断给出的这两个级数是否收敛。
1. Σ(-1)^n
此级数的通项公式为(-1)^n,显然当n为奇数时,该项为-1,当n为偶数时,该项为1。因此,该级数的部分和为:
S_n = 1 - 1 + 1 - 1 + ... + (-1)^n
当n为偶数时,S_n = 1,当n为奇数时,S_n = 0。因此,该级数的部分和不收敛,故该级数发散。
2. Σ(-1/3)^n
此级数的通项公式为(-1/3)^n,因此该级数的部分和为:
S_n = 1 - 1/3 + 1/9 - 1/27 + ... + (-1/3)^n
对于该级数的部分和,我们可以利用等比数列求和公式得到:
S_n = (1 - (-1/3)^{n+1})/(1+1/3) = (3/4)(1 - (-1/3)^{n+1})
当n趋向于无穷大时,(-1/3)^{n+1}趋于0,因此S_n趋于3/4。因此,该级数的部分和收敛于3/4,故该级数收敛。
综上所述,Σ(-1)^n发散,Σ(-1/3)^n收敛。
级数∑1/n×n^1/n是否收敛
我们可以使用 Cauchy 科技判别法来判断这个级数的收敛性。考虑以下式子:
lim(n→∞) (1/n×n^(1/n+1)) / (1/n+1×n^(1/n+1/n+1))
= lim(n→∞) (n+1)/n^(1/n+2)
= 1
因此,由 Cauchy 科技判别法可知,当 n 趋向于正无穷时,级数∑1/n×n^1/n 与∑1/n^(1+1/n) 同时收敛或同时发散。而我们知道∑1/n^(1+1/n) 是一个发散的级数,因此,级数∑1/n×n^1/n 也是一个发散的级数。