∑1/n^(1+1/n)的收敛性
时间: 2023-06-12 13:03:53 浏览: 348
要判断级数∑1/n^(1+1/n)的收敛性,可以使用比较判别法。
首先,由于对于任意正整数n,都有n^(1/n)≤2,所以有:
1/n^(1+1/n) ≤ 1/n^(1+1/n)×n^(1/n) = 1/n^((n+1)/n)
考虑级数∑1/n^((n+1)/n),使用比较判别法,将每一项与调和级数的对应项比较:
1/n^((n+1)/n) ≤ 1/n
由于调和级数∑1/n发散,所以由比较判别法可知,级数∑1/n^((n+1)/n)也发散。
综上所述,级数∑1/n^(1+1/n)也发散。
相关问题
级数∑1/n×n^1/n是否收敛
我们可以使用 Cauchy 科技判别法来判断这个级数的收敛性。考虑以下式子:
lim(n→∞) (1/n×n^(1/n+1)) / (1/n+1×n^(1/n+1/n+1))
= lim(n→∞) (n+1)/n^(1/n+2)
= 1
因此,由 Cauchy 科技判别法可知,当 n 趋向于正无穷时,级数∑1/n×n^1/n 与∑1/n^(1+1/n) 同时收敛或同时发散。而我们知道∑1/n^(1+1/n) 是一个发散的级数,因此,级数∑1/n×n^1/n 也是一个发散的级数。
求∑ _n=0^∞ ((−1)^n sin(n + 1) 4/π) /2^( n+1/ 2) (z − 1)^n的收敛域
根据幂级数收敛定理,该幂级数的收敛半径为
$$
R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|
$$
其中,$a_n=\frac{(-1)^n\sin(n\pi/4)}{2^{\sqrt{n}}}$。
因为 $\sin(n\pi/4)$ 的周期为 $8$,当 $n=8k$ 时有 $\sin(n\pi/4)=0$,因此 $a_{8k}=0$。当 $n\neq 8k$ 时,$|\sin(n\pi/4)|=1$,因此 $|a_n|=|a_{n-8k}|=\frac{1}{2^{\sqrt{n}}}$。
当 $n\rightarrow\infty$ 时,$\sqrt{n}$ 的增长速度远大于 $8k$ 的增长速度,因此可以将 $n-8k$ 看作 $n$,即
$$
R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{\sqrt{n+1}}}{2^{\sqrt{n}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=2
$$
因此,该幂级数在 $|z-1|<2$ 的区域内绝对收敛,在 $|z-1|>2$ 的区域内发散。当 $|z-1|=2$ 时需要使用根值测试来确定收敛性。
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