对两个以三元形式存储的同阶稀疏矩阵A，B，使用C++设计算法求C=A+B;

1. 对于A矩阵的每一行，找到B矩阵中所有列数与该行行数相同的元素（即A(i, j)和B(j, k)），将它们的乘积累加起来，得到C(i, k)的值。
2. 在这个过程中，可以使用一个稀疏矩阵来存储C矩阵，只存储非零元素的行、列和值。
3. 如果A或B矩阵中有一行或一列没有非零元素，可以跳过这个行或列，不进行计算，从而优化算法的效率。
4. 时间复杂度为O(n^2m)，其中n为矩阵的行数，m为矩阵的列数。如果A和B矩阵都是稀疏矩阵，时间复杂度会更小。

相关问题

c++求：对两个以三元组形式存储的同阶稀疏矩阵A、B，设计算法 求C=A+B。

稀疏矩阵乘法可以采用三元组存储方式进行优化，具体算法如下：

1. 对矩阵A进行行压缩，得到两个数组rowPtrA和colIdxA，其中rowPtrA[i]表示A中第i行的第一个非零元素在数据中的位置，colIdxA[k]表示第k个非零元素在A中的列数。

2. 对矩阵B进行列压缩，得到两个数组colPtrB和rowIdxB，其中colPtrB[j]表示B中第j列的第一个非零元素在数据中的位置，rowIdxB[k]表示第k个非零元素在B中的行数。

3. 初始化稀疏矩阵C的三元组存储数组rowIdxC、colIdxC和valueC，其中rowIdxC和colIdxC的含义与A、B相同，valueC用于存储结果矩阵C中的非零元素。

4. 对于A中的每一行i，遍历该行的所有非零元素A[i][k]，并在B中找到所有列j满足B[k][j]非零，将对应的乘积累加到C[i][j]中。具体实现可以利用rowPtrA、colIdxA、colPtrB和rowIdxB数组，以及两个指针k和j进行遍历和查找。

5. 返回稀疏矩阵C的三元组存储数组。

下面是Python代码实现：

def sparse_matrix_multiplication(A, B):
    # Step 1: row compression for matrix A
    rowPtrA, colIdxA = [], []
    for i in range(len(A)):
        rowPtrA.append(len(colIdxA))
        for j in range(len(A[0])):
            if A[i][j] != 0:
                colIdxA.append(j)
    rowPtrA.append(len(colIdxA))

    # Step 2: column compression for matrix B
    colPtrB, rowIdxB = [], []
    for j in range(len(B[0])):
        colPtrB.append(len(rowIdxB))
        for i in range(len(B)):
            if B[i][j] != 0:
                rowIdxB.append(i)
    colPtrB.append(len(rowIdxB))

    # Step 3: initialize sparse matrix C
    rowIdxC, colIdxC, valueC = [], [], []

    # Step 4: matrix multiplication
    for i in range(len(A)):
        for k in range(rowPtrA[i], rowPtrA[i+1]):
            colA = colIdxA[k]
            for l in range(colPtrB[colA], colPtrB[colA+1]):
                j = rowIdxB[l]
                valueCIndex = len(valueC) - 1
                while valueCIndex >= 0 and rowIdxC[valueCIndex] > i:
                    valueCIndex -= 1
                if valueCIndex < 0 or rowIdxC[valueCIndex] < i or colIdxC[valueCIndex] < j:
                    rowIdxC.insert(valueCIndex+1, i)
                    colIdxC.insert(valueCIndex+1, j)
                    valueC.insert(valueCIndex+1, 0)
                valueC[valueCIndex+1] += A[i][colA] * B[colA][j]

    return rowIdxC, colIdxC, valueC

该算法采用了稀疏矩阵乘法的优化方式，在稀疏矩阵A、B的情况下可以大幅提升计算效率。

两个同阶稀疏矩阵a和b分别都采用三元组表示，编写程序求c=a+b，要求c也采用三元组表示。

### 回答1：
可以按照以下步骤编写程序：

1. 定义三元组结构体，包括行数、列数、非零元素个数和三个数组：行下标、列下标、元素值。

2. 读入稀疏矩阵a和b的行数、列数和非零元素个数，以及三个数组的值。

3. 定义稀疏矩阵c的三元组结构体，行数和列数与a和b相同，非零元素个数初始化为，三个数组初始化为空。

4. 遍历a和b的三元组数组，将相同位置的元素相加，得到c的三元组数组。

5. 输出稀疏矩阵c的行数、列数和非零元素个数，以及三个数组的值。

下面是一个简单的示例代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXSIZE = 100;

struct Triplet {
    int row, col, num;
    int r[MAXSIZE], c[MAXSIZE];
    double v[MAXSIZE];
};

void add(Triplet a, Triplet b, Triplet &c) {
    int i = , j = , k = ;
    while (i < a.num && j < b.num) {
        if (a.r[i] < b.r[j] || (a.r[i] == b.r[j] && a.c[i] < b.c[j])) {
            c.r[k] = a.r[i];
            c.c[k] = a.c[i];
            c.v[k] = a.v[i];
            i++;
        } else if (a.r[i] > b.r[j] || (a.r[i] == b.r[j] && a.c[i] > b.c[j])) {
            c.r[k] = b.r[j];
            c.c[k] = b.c[j];
            c.v[k] = b.v[j];
            j++;
        } else {
            c.r[k] = a.r[i];
            c.c[k] = a.c[i];
            c.v[k] = a.v[i] + b.v[j];
            i++;
            j++;
        }
        k++;
    }
    while (i < a.num) {
        c.r[k] = a.r[i];
        c.c[k] = a.c[i];
        c.v[k] = a.v[i];
        i++;
        k++;
    }
    while (j < b.num) {
        c.r[k] = b.r[j];
        c.c[k] = b.c[j];
        c.v[k] = b.v[j];
        j++;
        k++;
    }
    c.row = a.row;
    c.col = a.col;
    c.num = k;
}

int main() {
    Triplet a, b, c;
    cout << "Enter the row, col and num of matrix a: ";
    cin >> a.row >> a.col >> a.num;
    cout << "Enter the row, col and num of matrix b: ";
    cin >> b.row >> b.col >> b.num;
    cout << "Enter the elements of matrix a: ";
    for (int i = ; i < a.num; i++) {
        cin >> a.r[i] >> a.c[i] >> a.v[i];
    }
    cout << "Enter the elements of matrix b: ";
    for (int i = ; i < b.num; i++) {
        cin >> b.r[i] >> b.c[i] >> b.v[i];
    }
    add(a, b, c);
    cout << "The result is: " << endl;
    cout << "row: " << c.row << ", col: " << c.col << ", num: " << c.num << endl;
    cout << "elements: " << endl;
    for (int i = ; i < c.num; i++) {
        cout << c.r[i] << " " << c.c[i] << " " << c.v[i] << endl;
    }
    return ;
}

### 回答2：
稀疏矩阵指的是大多数元素为零的矩阵。相比之下，稠密矩阵具有大多数元素不为零的矩阵。因为稀疏矩阵的优势是可以使用更小的存储空间来存储矩阵，因此特别适合处理大型数据。

稀疏矩阵通常用三元组表示法来存储，其中存储矩阵不为零的元素及其行、列信息。例如，一个3*3的稀疏矩阵可以如下表示：

[1 0 0
 0 0 2
 0 3 4]

则使用三元组表示法，可以得到：

value = [1 2 3 4]
row = [1 2 3 3]
col = [1 3 2 3]

其中，value表示存储的数值信息，row表示所存储的数字在矩阵的行数，col表示所存储的数字在矩阵的列数。

现在有两个同阶稀疏矩阵a和b，分别采用三元组表示。要求编写程序求c = a*b，其中c也采用三元组表示。

对于稀疏矩阵的乘法，通常会采用CSR（Compressed Sparse Row）或CSC（Compressed Sparse Column）格式来处理。这里简单介绍一下CSR方案：

首先，根据a和b的三元组表示，可以得到它们的CSR格式：

a_value = […]
a_row = […]
a_col = […]
b_value = […]
b_row = […]
b_col = […]

下一步，需要得到a和b的行指针（row_ptr）信息。行指针指的是a或b中每行的第一个非零元素在value中的索引。例如，row_ptr[0]表示第0行的第一个非零元素在a或b的value中的索引值。

为了得到行指针，需要遍历每一个行，计算该行第一个非零值的索引。即，假设第i行第一个非零元素在value中的索引为k，则有：

for (int i=0; i<num_rows; i++) {
    row_ptr[i] = k; // i行第一个非零元素在a或b的value中的索引
    for (int j=a_row[i]; j<a_row[i+1]; j++) {
        // 遍历a的第i行非零元素
        // TODO
    }
    for (int j=b_row[i]; j<b_row[i+1]; j++) {
        // 遍历b的第i行非零元素
        // TODO
    }
}
row_ptr[num_rows] = k; // 最后一个元素的后面肯定就是k了

接下来需要用到CSR方案的核心的数组c_value, c_row, c_col。依然按照a,b矩阵每行的顺序实现：

c_row_ptr = [0 for i in range(num_rows+1)] #c的多一项来记录最后一个非零元素的索引
c_value = []
c_row = []
c_col = []

接下来就是计算新的三元组c的算法核心了： 首先查看a,b的第i行和第j列是否都有非零元素，有则进行元素相乘，并累加到原来的结果中，同时记录乘积元素在c中的非零元素信息:

for (int i=0; i<num_rows; i++) {
    for (int j=0; j<num_cols; j++) {
        // 找到a,b第i行不为0和第j列不为0且能对应上的项
        int a_idx = a_row_ptr[i];
        int b_idx = b_row_ptr[i];
        while (a_idx<a_row_ptr[i+1] && a_col[a_idx]<j)
            a_idx++;
        while (b_idx<b_row_ptr[i+1] && b_col[b_idx]<j)
            b_idx++;
        if (a_idx<a_row_ptr[i+1] && b_idx<b_row_ptr[i+1] &&
            a_col[a_idx]==j && b_col[b_idx]==j) {
            // 计算乘积
            float prod = a_val[a_idx] * b_val[b_idx];
            // 累加乘积到c[i][j]
            // TODO
            // 记录新的非零元素信息c_val、c_row、c_col
            // TODO
        }
    }
}

最后需要通过完整的行指针信息c_row_ptr逆推出来c_row和c_col.

c_row_ptr[0] = 0 
for i in range(num_rows):
    c_row_ptr[i+1] = k #这一行的后面肯定是k
    for j in range(c_row_ptr[i], c_row_ptr[i+1]):
        c_row.append(i)
        c_col.append(j)

这样，就可以得到稀疏矩阵a和b的乘积，并转换成CSR格式来表示了。

### 回答3：
稀疏矩阵是指其中大部分元素都为零的矩阵，以三元组的形式存储可以大大减少存储空间。那么对于两个同阶稀疏矩阵a和b，如何求它们的乘积矩阵c呢？

首先，我们需要明确稀疏矩阵乘法的原理：对于a的第i行和b的第j列，若存在一个非零元素a[i,k]和b[k,j]，则c[i,j] += a[i,k] * b[k,j]。

为了实现乘法操作，我们需要定义三个结构体：SparseMatrix，用于存储稀疏矩阵的基本信息；Triple，用于存储三元组的信息，包括行、列和元素值；Element，用于存储每一行的第一个非零元素在三元组中的下标信息。

接下来，我们就可以按照上述原理，用C语言实现稀疏矩阵的乘法过程：

1.首先定义一个稀疏矩阵乘法函数，输入两个SparseMatrix类型的矩阵a和b，输出结果矩阵c。

SparseMatrix multiplication(SparseMatrix a, SparseMatrix b) {
    // 定义结果矩阵c
    SparseMatrix c;
    c.row_num = a.row_num;
    c.col_num = b.col_num;
    
    // 遍历a的每一行
    for (int i = 0; i < a.row_num; i++) {
        // 初始化Element结构体
        Element element_a = { -1, -1 };
        // 定义c的当前行的第一个非零元素的下标
        int current_c = -1;
        // 对a的第i行非零元素进行遍历
        for (int j = a.row_ptr[i]; j < a.row_ptr[i+1]; j++) {
            // 获取a第i行第j列的非零元素
            Triple a_triple = a.triples[j];
            // 遍历b的第a_triple.column列
            for (int k = b.col_ptr[a_triple.column]; k < b.col_ptr[a_triple.column+1]; k++) {
                // 如果b存在第a_triple.column行，第k列的非零元素，且该元素是b的第k行的第一个非零元素
                if (b.triples[k].row == a_triple.column && b.triples[k].elem_pos == 0) {
                    // 如果c的当前行还没有元素，记录当前元素为第一个非零元素
                    if (current_c == -1) {
                        current_c = c.nnz;
                        // 更新c的行指针
                        c.row_ptr[i] = current_c;
                    }
                    // 否则将当前元素的下标储存到当前行的最后一个元素的elem_pos中
                    else {
                        c.triples[current_c].elem_pos = c.nnz;
                        current_c = c.nnz;
                    }
                    // 更新c的元素结构体
                    c.triples[c.nnz].row = i;
                    c.triples[c.nnz].column = b.triples[k].column;
                    c.triples[c.nnz].elem_val += a_triple.elem_val * b.triples[k].elem_val;
                    c.nnz++;
                    // 如果a的同一行还有其他非零元素，保存该元素的下标以备下一轮使用
                    if (element_a.row != i) {
                        element_a = a_triple;
                    }
                }
            }
            // 检查是否需要向下找到a的下一行的非零元素
            if (a_triple.row != element_a.row) {
                // 检查当前行是否已经输出过非零元素，若未输出，更新c的列指针
                if (current_c != -1) {
                    c.triples[current_c].elem_pos = c.nnz;
                }
                // 重置c的当前行的第一个非零元素的下标
                current_c = -1;
                element_a = a.triples[a.row_ptr[i]];
            }
        }
        // 检查是否需要更新c的列指针
        if (current_c != -1) {
            c.triples[current_c].elem_pos = c.nnz;
        }
    }
    
    // 更新结果矩阵c的基本信息
    c.triples = (Triple *)realloc(c.triples, c.nnz * sizeof(Triple));
    c.col_ptr = (int *)realloc(c.col_ptr, (c.col_num + 1) * sizeof(int));
    return c;
}

2.然后定义一个打印三元组的函数，方便检查结果是否正确。

void printTriple(Triple *triple, int size) {
    for (int i = 0; i < size; i++) {
      printf("(%d,%d,%d)\n", triple[i].row, triple[i].column, triple[i].elem_val);
    }
}

3.最后在main函数中输入两个稀疏矩阵，调用乘法函数求出结果矩阵c，并打印输出结果。

int main() {
    SparseMatrix a, b;
    a = readSparseMatrix();
    b = readSparseMatrix();
    SparseMatrix c = multiplication(a, b);
    printTriple(c.triples, c.nnz);
    destroySparseMatrix(a);
    destroySparseMatrix(b);
    destroySparseMatrix(c);
    return 0;
}

在上述程序中，readSparseMatrix和destroySparseMatrix函数用于读入稀疏矩阵和释放内存；稀疏矩阵的三元组信息储存在triples数组中，其大小为nnz，行指针储存在row_ptr数组中，大小为row_num+1，列指针储存在col_ptr数组中，大小为col_num+1。

总结起来，实现稀疏矩阵的乘法需要以下几个步骤：定义稀疏矩阵、三元组和元素结构体；编写稀疏矩阵乘法函数，按照行乘列的方式计算乘积结果；编写打印函数，检查结果是否正确；最后对内存进行释放。