对于一个带权连通图，可以采用Prim算法构造出从某个顶点v出发的最小生成树，问该最小生成树是否一定包含从顶点v到其他所有顶点的最短路径。如果回答是，请予以证明；如果回答不是，请给出反例。

该最小生成树不一定包含从顶点v到其他所有顶点的最短路径。

反例：考虑以下带权连通图，其中v为起点：

     2
v-------a
|\     /| \
| \   / |  1
|  \ /  | /
|   b   |/
c-------d
     3

其中边的权值标在边上。如果使用Prim算法从顶点v出发构造最小生成树，得到的结果是：

     2
v-------a
|\        
| \       
|  \      
|   b     
|          
c-------d

此时最小生成树的总权值为5。但是，最短路径中要包括从v到b和d的路径，其权值为4，而最小生成树中没有这样的路径。因此，最小生成树不一定包含从顶点v到其他所有顶点的最短路径。

相关问题

建立一个带权无向图(用邻接矩阵表示)，判断此图是否连通，若是连通图，用prim算法输出该图的最小生成树。

### 回答1：
首先，建立一个带权无向图的邻接矩阵表示。假设图中有n个节点，那么邻接矩阵就是一个n*n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和节点j之间的边的权值。如果节点i和节点j之间没有边，则该元素为0。

接下来，判断该图是否连通。可以使用深度优先搜索或广度优先搜索来遍历整个图，如果能够遍历到所有的节点，则说明该图是连通的。如果存在未被遍历到的节点，则说明该图不连通。

如果该图是连通的，可以使用prim算法来输出最小生成树。prim算法是一种贪心算法，从一个起始节点开始，每次选择与当前生成树相邻的最小权值边所连接的节点加入生成树中，直到生成树包含所有节点为止。具体实现可以使用一个优先队列来维护当前生成树与未加入生成树的节点之间的最小权值边。

### 回答2：
建立带权无向图的邻接矩阵如下（图中用0表示没有连接）：

| 0 1 2 3 4
--|---------
0 | 0 7 0 5 0
1 | 7 0 8 9 7
2 | 0 8 0 0 5
3 | 5 9 0 0 6
4 | 0 7 5 6 0

为了判断该图是否连通，可以使用深度优先遍历算法或广度优先遍历算法来实现。我们以深度优先遍历算法为例进行说明。

从第一个节点（0号节点）开始遍历，我们可以达到节点1和节点3。然后从节点1开始遍历，我们可以达到节点0、2、3和4。节点2只能到达节点1和4。节点3只能到达节点0和1。节点4只能到达节点1和2。由此可知，该图至少有一个孤立的节点，即节点2。因此，该图不是连通图。

接下来，使用prim算法求解该图的最小生成树。prim算法的实现步骤如下：

1. 选择任意一个节点作为起始节点，并将其加入到已访问的节点集合中。
2. 从已访问的节点集合中找到与未访问的节点相连的权重最小的那条边，并将相连的节点加入到已访问的节点集合中。
3. 重复第二步，直到所有节点都被访问过。

以节点0为起始节点，执行prim算法的过程如下：

1. 节点0被加入到已访问的节点集合中。
2. 从节点0可以相连的节点中，选择权重最小的边(0, 3)，并将节点3加入到已访问的节点集合中。
3. 从已访问的节点集合中，可以连接到节点2的边权最小(5)，因此将节点2加入到已访问的节点集合中。
4. 从已访问的节点集合中，在节点1和节点3之间选择权重最小的边(7, 9)，并将节点1加入到已访问的节点集合中。
5. 从已访问的节点集合中，在节点1和节点4之间选择权重最小的边(7, 5)，并将节点4加入到已访问的节点集合中。

此时，已经访问所有节点，所得到的最小生成树为：

| 0 1 2 3 4
--|---------
0 | 0 0 0 5 0
1 | 0 0 0 0 7
2 | 0 8 0 0 0
3 | 5 0 0 0 0
4 | 0 7 0 0 0

因此，最小生成树的边集为{(0, 3), (3, 4), (0, 1), (1, 4)}。

### 回答3：
带权无向图是由若干节点和它们之间的边组成的，每条边都有一定的权值。通过邻接矩阵，可以更直观地表示图中节点之间的关系和权值。

首先可以通过遍历矩阵，统计出矩阵中的边数和节点数。若节点数不等于边数加1，则说明该图不是连通的。这是因为连通图中任意两个节点都是可以通过路径互相到达的，因此节点数应该等于边数加1。

若该图为连通图，则可以通过Prim算法输出该图的最小生成树。Prim算法是一种贪心算法，从一个起始节点开始，每次选择与当前已覆盖节点集合相邻的未覆盖节点中权值最小的节点加入集合中。该过程会不断扩展集合，直到所有节点都被覆盖，同时所选节点构成的所有边组成的树就是该连通图的最小生成树。

具体实现时，可以将节点集合分为已覆盖和未覆盖两部分，从起始节点开始先将其加入已覆盖集合中。然后依次遍历已覆盖节点集合中的每个节点，计算其与未覆盖节点集合中的所有节点的权值，并选择权值最小的一个加入已覆盖集合。不断重复该过程，直到未覆盖节点集合为空，最小生成树也就构建完成了。

在具体实现时，可以用一个数组来保存每个节点的状态，比如已覆盖或未覆盖，以及相邻节点组成的边的权值和。同时可以用一个数组来保存已经加入已覆盖节点集合的节点和相邻节点组成的边的权值，便于查找并选择权值最小的节点。

总的来说，在建立带权无向图并判断是否连通的基础上，通过Prim算法可以求出该图的最小生成树。

用c++ 编写一个程序，实现求解带权连通图中最小生成树的算法。 具体要求：如果利用普里姆算法输出图中从顶点0出发的一棵最小生成树

以下是用C++编写的普里姆算法求解带权连通图中最小生成树的程序：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

const int MAXN = 1005;  // 最大顶点数
const int INF = 0x3f3f3f3f;  // 无穷大

struct Edge {
    int to, weight;
    Edge(int t=0, int w=0): to(t), weight(w) {}
};

vector<Edge> adj[MAXN];  // 邻接表存图
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q;  // 小根堆

int prim() {
    int ans = 0;
    bool vis[MAXN] = {false};  // 标记是否已加入最小生成树
    vis[0] = true;
    for (Edge e : adj[0]) {
        q.push(make_pair(e.weight, e.to));
    }
    while (!q.empty()) {
        int w = q.top().first, v = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[v]) continue;
        vis[v] = true;
        ans += w;
        for (Edge e : adj[v]) {
            if (!vis[e.to]) {
                q.push(make_pair(e.weight, e.to));
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;  // 输入顶点数和边数
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;  // 输入边的起点、终点和权值
        adj[u].push_back(Edge(v, w));
        adj[v].push_back(Edge(u, w));
    }
    int ans = prim();  // 求解最小生成树的权值和
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

该程序的思路是：先用邻接表存储带权连通图，然后以顶点0为起点，将所有与顶点0相邻的边加入小根堆中，在每次循环中取出堆顶元素（即权值最小的边），如果该边的终点还没有被加入最小生成树，则将其加入最小生成树中，并将所有与该点相邻的边加入堆中。直到堆为空为止，此时得到的权值和即为最小生成树的权值和。

需要注意的是，由于输入的边是无向的，因此在邻接表中需要同时记录起点和终点，且在加边时需要将两个方向都加上。