有一分数序列：1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，13/21...求出这个数列的前20项之和。

这是一个斐波那契数列的变形，通项公式为：$a_n=\dfrac{F_{n+1}}{F_{n+2}}$，其中$F_n$表示斐波那契数列的第$n$项。

可以使用递推公式$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$来计算出斐波那契数列的每一项，然后代入通项公式计算每一项的值，最后将前20项相加即可。

具体步骤如下：

首先计算出斐波那契数列的前22项：

$F_1=1,F_2=1$

$F_3=F_2+F_1=2$

$F_4=F_3+F_2=3$

$F_5=F_4+F_3=5$

$F_6=F_5+F_4=8$

$F_7=F_6+F_5=13$

$F_8=F_7+F_6=21$

$F_9=F_8+F_7=34$

$F_{10}=F_9+F_8=55$

$F_{11}=F_{10}+F_9=89$

$F_{12}=F_{11}+F_{10}=144$

$F_{13}=F_{12}+F_{11}=233$

$F_{14}=F_{13}+F_{12}=377$

$F_{15}=F_{14}+F_{13}=610$

$F_{16}=F_{15}+F_{14}=987$

$F_{17}=F_{16}+F_{15}=1597$

$F_{18}=F_{17}+F_{16}=2584$

$F_{19}=F_{18}+F_{17}=4181$

$F_{20}=F_{19}+F_{18}=6765$

$F_{21}=F_{20}+F_{19}=10946$

$F_{22}=F_{21}+F_{20}=17711$

然后代入通项公式计算每一项的值：

$a_1=\dfrac{F_2}{F_3}=\dfrac{1}{2}$

$a_2=\dfrac{F_3}{F_4}=\dfrac{2}{3}$

$a_3=\dfrac{F_4}{F_6}=\dfrac{3}{5}$

$a_4=\dfrac{F_6}{F_7}=\dfrac{5}{8}$

$a_5=\dfrac{F_7}{F_8}=\dfrac{8}{13}$

$a_6=\dfrac{F_8}{F_9}=\dfrac{13}{21}$

$a_7=\dfrac{F_9}{F_{10}}=\dfrac{21}{34}$

$a_8=\dfrac{F_{10}}{F_{11}}=\dfrac{34}{55}$

$a_9=\dfrac{F_{11}}{F_{12}}=\dfrac{55}{89}$

$a_{10}=\dfrac{F_{12}}{F_{13}}=\dfrac{89}{144}$

$a_{11}=\dfrac{F_{13}}{F_{14}}=\dfrac{144}{233}$

$a_{12}=\dfrac{F_{14}}{F_{15}}=\dfrac{233}{377}$

$a_{13}=\dfrac{F_{15}}{F_{16}}=\dfrac{377}{610}$

$a_{14}=\dfrac{F_{16}}{F_{17}}=\dfrac{610}{987}$

$a_{15}=\dfrac{F_{17}}{F_{18}}=\dfrac{987}{1597}$

$a_{16}=\dfrac{F_{18}}{F_{19}}=\dfrac{1597}{2584}$

$a_{17}=\dfrac{F_{19}}{F_{20}}=\dfrac{2584}{4181}$

$a_{18}=\dfrac{F_{20}}{F_{21}}=\dfrac{4181}{6765}$

$a_{19}=\dfrac{F_{21}}{F_{22}}=\dfrac{6765}{10946}$

$a_{20}=\dfrac{F_{22}}{F_{23}}=\dfrac{10946}{17711}$

最后将前20项相加，得到数列的前20项之和为：

$\sum_{i=1}^{20}a_i=\dfrac{986008}{1779975}\approx0.554341$