设由来自总体X~N(u,1)的容量为100的样本测得样本均值X=5,则u的 置信度近似等于0.95的置信区间为
时间: 2023-08-31 21:35:35 浏览: 164
### 回答1:
假设总体 X~N(u,1) 的样本均值测量结果为 X=5,那么我们可以用置信区间来估计总体参数 u 的取值范围。
在这种情况下,设由来自总体X~N(u,1)的容量为100的样本测得样本均值X=5,则 u 的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 [u1, u2],其中 u1 和 u2 是两个临界值,使得置信度近似等于 0.95。
这个置信区间的计算方法有多种,其中一种是采用 t 分布来计算,假设样本标准差为 s,则 t 分布的自由度为 n-1(n 为样本容量),则 u1 和 u2 可以通过以下公式计算:
u1 = X - t(0.975, n-1) * s / sqrt(n)
u2 = X + t(0.975, n-1) * s / sqrt(n)
其中 t(0.975, n-1) 是 t 分布的临界值,使得 t 分布的置信度近似等于 0.95。
另外,还有一种常用的方法是采用正态分布来计算置信区间,在这种情况下,u1 和 u2 可以通过以下公式计算:
u1 = X - z(0.975) * s / sqrt(n)
u2 = X + z(0.975) * s / sqrt(n)
其中 z(0.975) 是正态分布的临界值,使得正态分布的置信度近似等于 0.95。
### 回答2:
根据题目信息,我们知道总体X服从正态分布N(u,1),样本容量为100,样本均值为5。
由于总体标准差未知,我们可以使用样本标准差s作为总体标准差的估计值。由中心极限定理可知,当样本容量足够大时,样本均值近似服从正态分布N(u,s^2/n)。
置信水平为0.95,即α=1-0.95=0.05。由于总体均值服从正态分布,我们可以用标准正态分布的分位数来确定置信区间。
根据标准正态分布表,当α/2=0.025时,对应的分位数为Z=1.96。置信区间的计算公式为:
置信区间 = X ± Z * (s/√n)
将题目中给出的数据带入计算,可得:
置信区间 = 5 ± 1.96 * (s/√100)
由于样本均值为5,样本容量为100,我们可以根据样本方差s^2的性质计算样本标准差s:
s = √[(∑(X-X)^2)/(n-1)]
将样本均值为5的100个观测值带入计算,得到样本标准差s的值。
最后,将得到的s的值代入置信区间的计算公式中,可得到近似等于0.95的置信区间。
### 回答3:
由于总体X服从正态分布N(u, 1),样本均值X也服从正态分布N(u, 1/100)。
在给定样本均值X=5的情况下,根据中心极限定理,样本均值X的分布会接近正态分布N(u, 1/100)。
我们知道,对于正态分布而言,95%的数据落在均值的两个标准差范围内。
按照这个规则,我们可以得到样本均值X=5的情况下u的置信度近似等于0.95的置信区间为:
5 - 2 * sqrt(1/100) < u < 5 + 2 * sqrt(1/100)。
化简得到的置信区间为:
5 - 2 * 0.1 < u < 5 + 2 * 0.1,
即
4.8 < u < 5.2。
因此,u的置信度近似等于0.95的置信区间为(4.8, 5.2)。
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